變力做功解題方法探討

摘 要：本文介紹常用的幾種求變力功的方法：一、微元法，二、圖像法，三、利用公式W＝Pt求變力做功法，四、利用動(dòng)能定理求解等。

關(guān)鍵詞：變力；做功；方法

公式W=Fscosθ適用于恒力功的計(jì)算，對(duì)于變力做功的計(jì)算，一般有以下幾種方法。

一、微元法

對(duì)于變力做功，不能直接用W=Fscosθ進(jìn)行計(jì)算，但是我們可以把運(yùn)動(dòng)過(guò)程分成很多小段，每一小段內(nèi)可認(rèn)為F是恒力，用W=Fscosθ求出每一小段內(nèi)力F所做的功，然后累加起來(lái)就得到整個(gè)過(guò)程中變力所做的功。這種處理問(wèn)題的方法稱為微元法，這種方法具有普遍的適用性。但在高中階段主要用于解決大小不變、方向總與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反的變力的做功問(wèn)題。

例1 用水平拉力，拉著滑塊沿半徑為R的水平圓軌道運(yùn)動(dòng)一周，如圖1所示，已知物塊的質(zhì)量為m，物塊與軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。求此過(guò)程中摩擦力所做的功。

思路點(diǎn)撥 由題可知，物塊受的摩擦力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中大小Ff=μmg不變，方向時(shí)刻變化，是變力，不能直接用W=Fscosθ求解；但是我們可以把圓周分成無(wú)數(shù)小微元段，如圖2所示，每一小段可近似成直線，從而摩擦力在每一小段上的方向可認(rèn)為不變，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起來(lái)，便可求得結(jié)果。

正確解答 把圓軌道分成無(wú)窮多個(gè)微元段s1、s2、s3、…、sn，摩擦力在每一段上可認(rèn)為是恒力，則每一段上摩擦力做的功分別為W1=-μmgs1，W2=-μmgs2，W3=-μmgs3，…，Wn=-μmgsn，摩擦力在一周內(nèi)所做的功W=W1+W2+W3+…+Wn=-μmg（s1+s2+s3+…+sn）=-2πμmgR。

誤點(diǎn)警示 對(duì)于此題，若不加分析死套功的公式，誤認(rèn)為位移s＝0，得到W＝0，這是錯(cuò)誤的。必須注意本題中的F是變力。

小結(jié)點(diǎn)評(píng) 對(duì)于變力做功，一般不能用功的公式直接進(jìn)行計(jì)算，但有時(shí)可以根據(jù)變力的特點(diǎn)變通使用功的公式。如力的大小不變而方向總與運(yùn)動(dòng)方向相同或相反時(shí)，可用W=Fscosθ計(jì)算該力的功，但式子中的s不是物體運(yùn)動(dòng)的位移，而是物體運(yùn)動(dòng)的路程。

［發(fā)散演習(xí)］

如圖3所示，某個(gè)力F＝10N作用于半徑R＝1m的轉(zhuǎn)盤(pán)的邊緣上，力F的大小保持不變，但方向任何時(shí)刻與作用點(diǎn)處的切線方向保持一致。則轉(zhuǎn)動(dòng)半圓，這個(gè)力F做功多少？

答案 31.4J。

二、圖象法

在直角坐標(biāo)系中，用縱坐標(biāo)表示作用在物體上的力F，橫坐標(biāo)表示物體在力的方向上的位移s。如果作用在物體上的力是恒力，則其F－s圖象如圖4所示。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間物體發(fā)生的位移為s0，則圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積（陰影面積）在數(shù)值上等于力對(duì)物體做的功W＝Fs，x軸上方的面積表示力對(duì)物體做正功（如圖4（a）所示），x軸下方的面積表示力對(duì)物體做負(fù)功（如圖4（b）所示）。

如果F－s圖象是一條曲線（如圖5所示），表示力的大小隨位移不斷變化，在曲線下方作階梯形折線，則折線下方每個(gè)小矩形面積分別表示相應(yīng)恒力做的功。當(dāng)階梯折線越分越密時(shí)，這些小矩形的總面積越趨近于曲線下方的總面積，可見(jiàn)曲線與坐標(biāo)軸所圍成的面積在數(shù)值上等于變力所做的功。由于F－s圖象可以計(jì)算功，因此F－s圖象又稱為示功圖。

例2 子彈以速度υ0射入墻壁，入射深度為h。若子彈在墻中受到的阻力與深度成正比，欲使子彈的入射深度為2h，求子彈的速度應(yīng)增大到多少？

思路點(diǎn)撥 阻力隨深度的變化圖象如圖6所示，由圖象求出子彈克服阻力做的功，再由動(dòng)能進(jìn)行求解。

解法一 設(shè)射入深度為h時(shí)，子彈克服阻力做功W1；射入深度為2h時(shí)，子彈克服阻力做功W2。由圖6可知

W2=4W1①

根據(jù)動(dòng)能定理，子彈減少的動(dòng)能用于克服阻力做功，有

W1=mv02-0②

W2=mv2-0③

①②③聯(lián)立求解得v=2v0。

解法二 設(shè)阻力與深度間的比例系數(shù)為k，F(xiàn)f＝ks。由于Ff隨位移是線性變化的，所以Ff的平均值為

=(0+ks)。

根據(jù)動(dòng)能定理，有

-(0+kh)h=0-mv02 ①

-(0+k2h)2h=0-mv2 ②

① ②聯(lián)立求解得v=2v0。

小結(jié)點(diǎn)評(píng)：若力隨位移按一次方函數(shù)關(guān)系變化時(shí)，求功時(shí)可用平均作用力來(lái)代替這個(gè)變力，用恒力功的公式求功，也可用F－s圖象求功；若力隨位移的變化不是一次函數(shù)關(guān)系，則可用圖象求功，而不能用平均值求功。

［發(fā)散練習(xí)］

1. 如圖7所示，有一勁度系數(shù)k＝500N/m的輕彈簧，左端固定在墻壁上，右端緊靠一質(zhì)量m＝2kg的物塊，物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4，彈簧處于自然狀態(tài)。現(xiàn)緩慢推動(dòng)物塊使彈簧從B到A處壓縮10cm，然后由靜止釋放物塊，求（1）彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，物塊的動(dòng)能為多大？（2）在彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)的過(guò)程中，物塊的最大動(dòng)能為多大？

答案 （1）1.7J；（2）1.764J。

提示：（1）從A到B的過(guò)程，對(duì)物體應(yīng)用動(dòng)能定理得EkB=WkB-W摩，其中W摩=μmgx1。W彈可利用示功圖求出，畫(huà)出彈簧彈力隨位移變化的圖象（如圖8所示） F1＝kx1，彈力做功的值等于△OAB的面積，即W彈=kx1x1，所以EkB=×500×0.12J-0.4×2×10×0.1J=1.7J。

（2）放開(kāi)物體后，物體做的是加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)彈簧的彈力等于摩擦力時(shí)，物體有最大的動(dòng)能。設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x2。

由kx2=μmg得x2==m=0.016m。物體的位移s2=x1-x2=0.1m-0.016m=0.084m。在這一過(guò)程中彈力的功在數(shù)值上等于圖8中梯形OADC的面積，即W′彈=，所以物塊的最大動(dòng)能為EkB=W′彈-W′摩=k（x1+x2）s2-μmgs2=×500×（0.1+0.016)×0.084J-0.4×2×10×0.084J=1.764J

三、利用W＝Pt求變力做功

這是一種等效代換的觀點(diǎn)，用W＝Pt計(jì)算功時(shí)，必須滿足變力的功率是一定的。

例3 汽車(chē)的質(zhì)量為m，輸出功率恒為P，沿平直公路前進(jìn)距離s的過(guò)程中，其速度由v1增至最大速度。假定汽車(chē)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受阻力恒定，則汽車(chē)通過(guò)距離s所用的時(shí)間為 。

思路點(diǎn)撥 汽車(chē)以恒定的功率P加速時(shí)，由P＝Fv可知，牽引力逐漸減小，汽車(chē)做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F＝Ff時(shí)，加速度減小到零，速度達(dá)到最大，然后以最大的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

正確解答 當(dāng)F＝Ff 時(shí)，汽車(chē)的速度達(dá)到最大v2，

由P=Fv可得Ff = ①

對(duì)汽車(chē)，根據(jù)動(dòng)能定理，有

Ft-Ff s=mv22-mv12②

①②兩式聯(lián)立得

t=+。

誤點(diǎn)警示 有同學(xué)可能這樣解：平均速度=（v1+v2），時(shí)間t==。這樣解是錯(cuò)誤的，因?yàn)槠?chē)的運(yùn)動(dòng)不是勻加速運(yùn)動(dòng)，不能用=（v1+v2）求平均速度。

小結(jié)點(diǎn)評(píng) 汽車(chē)以恒定的功率起動(dòng)時(shí)，牽引力是變力，牽引力的功不能用W＝Fs計(jì)算，但可以用W＝Pt計(jì)算；若用W＝F#8226;s=(+)s求牽引力的功也是錯(cuò)誤的，因?yàn)闋恳﹄S位移的變化不是線性關(guān)系，不能用F＝(F1+F2)求平均牽引力。

［發(fā)散演習(xí)］

質(zhì)量為m的汽車(chē)在平直的公路上從速度v0開(kāi)始加速行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后，前進(jìn)了距離s，此時(shí)恰好達(dá)到其最大速度vmax，設(shè)此過(guò)程中汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)始終以額定功率P工作，汽車(chē)所受的阻力為恒力Ff，則這段時(shí)間里，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為（ ）

A. Ff vmaxtB.Pt

C. msD. Ff t

答案 A、B

提示：發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功即為發(fā)動(dòng)機(jī)牽引力做的功，由功率定義可知W＝Pt，選項(xiàng)B正確。汽車(chē)以恒定功率起動(dòng)，當(dāng)F＝Ff時(shí)，達(dá)到最大速度vmax，應(yīng)有P=Fvmax=Ff vmax，所以P=Fvmax=Ff vmax t，選項(xiàng)A正確。選項(xiàng)C、D均將汽車(chē)的運(yùn)動(dòng)看作勻變速運(yùn)動(dòng)，其中選項(xiàng)C是先求出a，再求出合外力ma的功，選項(xiàng)D是先算出平均速度，然后用Ff t表示發(fā)動(dòng)機(jī)做的功，顯然都是錯(cuò)誤的，因?yàn)闄C(jī)車(chē)的運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)而不是勻變速運(yùn)動(dòng)。

四、利用功能關(guān)系求變力功

求變力所做的功，往往根據(jù)動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律和功能關(guān)系等規(guī)律，用能量的變化量等效代換變力所做的功。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是不考慮變力做功過(guò)程中力的大小及方向的細(xì)節(jié)，只考慮變力做功的效果;能量變化，解題過(guò)程簡(jiǎn)捷，是求變力功的首選方法。

例4 如圖9所示，質(zhì)量m＝2kg的小球系在輕細(xì)橡皮條一端，另一端固定在懸點(diǎn)O處。將橡皮條拉直至水平位置OA處（橡皮條無(wú)形變）然后將小球由A處?kù)o止釋放，小球到達(dá)O點(diǎn)正下方h＝0.5m處的B點(diǎn)時(shí)的速度為v＝2m/s。求小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中橡皮條的彈力對(duì)小球所做的功。取g＝10m/s2。

思路點(diǎn)撥 取小球、橡皮條和地球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，在小球從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，只有系統(tǒng)內(nèi)的重力和彈力做功，機(jī)械能守恒。

正確解答 取過(guò)B點(diǎn)的水平面為零重力勢(shì)能參考平面，橡皮條為原長(zhǎng)時(shí)的彈性勢(shì)能為零。設(shè)在B時(shí)橡皮條的彈性勢(shì)能為Ep2，由機(jī)械能守恒定律得

mv2+Ep2=mgh

則Ep2=mgh-mv2=2×10×0.5J-×2×22J=6J。

橡皮條的彈性勢(shì)能增加6J，則小球的機(jī)械能必減少6J，故橡皮條的彈力對(duì)小球做功－6J。

小結(jié)點(diǎn)評(píng) 彈簧或橡皮條的彈力是變力，求此類(lèi)彈力做功可用機(jī)械能守恒定律結(jié)合彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系。

［發(fā)散演習(xí)］

提示：對(duì)整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理。

1. 如圖10所示，物體沿曲面從A點(diǎn)無(wú)初速度滑下，滑至曲面的最低點(diǎn)B時(shí)，下滑的高度為5m，速度為6m/s。若物體的質(zhì)量為1kg。則下滑過(guò)程中物體克服阻力所做的功為多少？

答案 根據(jù)動(dòng)能定理可得

WG-Wf=EkB-EkA

Wf =WG - EkB = 32J。

參考文獻(xiàn)：

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