GM(1，1)模型改進技術在咸陽市地下水動態預測中的應用

郝健，劉俊民

(西北農林科技大學水利與建筑工程學院，陜西楊凌712100)

咸陽市位于關中平原中部，渭河北岸，九嵕山之南，市區建在渭河北岸一二級階地上。市區供水除北部黃土臺塬寶雞峽灌區有少量地表水引水灌溉以外，工業和城鄉生活用水全部依賴地下水。隨著經濟社會的發展，人民生活質量的不斷提高，對水的需求不斷增大，造成地下水嚴重超采，導致在市區形成城區復合漏斗、西橡地下水降落漏斗、渭河南灃東地下水降落漏斗，造成大面積的水位下降。2003年咸陽市水利局對超采區范圍進行了劃定，劃為城區地下水水超采區、西橡地下水超采區、灃東地下水超采區等3個超采區，總面積46.7 km2[1]。為了合理開發、綜合利用、科學保護地下水，必須對地下水動態進行全面研究分析[2]，并根據預測結果，結合實際情況，制定相應的防治方案與保護措施。

1 灰色GM(1，1)模型簡介

灰色預測模型(grey prediction model)簡稱GM模型，主要以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統為研究對象，通過對“部分”已知信息的生成、開發，實現對現實世界的正確描述[2]，已被廣泛應用于農業、商業、工業、經濟等諸多領域。GM(1，1)模型[3]是得到廣泛應用的一種預測模型，是由一個只包含單變量的一階微分方程構成的模型，其實質是對除第一點外的原始數據序列作指數曲線擬合[4]。

1.1 GM(1，1)模型的基本原理

1.1.1 模型的建立[5-7]若原始非負等時序列

對其進行一次累加，得到累加數列

式中:

建立預測模型白化微分方程:

式中:a——發展系數;u——灰色作用量。

利用最小二乘法解得a、u，用Laplace變換得到時間響應式，并將其離散性化得:

經累減，得到預測模型為

1.1.2 模型的檢驗 根據模型的計算值和以有數據的關系對預測模型進行檢驗[8]。記k時刻殘差為

原始數據方差為

小誤差概率為

C值越小越好，表明預測誤差離散性性小，原始數據離散性性大。P值越大越好，表明誤差小的概率越大，精度越高。將預測等級劃分為4等，見表1。

表1 綜合評定預測模型精度等級[9]

1.2 GM(1，1)*模型的建立

GM(1，1)模型預測具有要求原始數據少、不考慮分布規律、不考慮變化趨勢、運算方便、易于檢驗等優點，因此得到了廣泛應用，并取得了令人滿意的效果，但是也具有一定的局限性。當原始數據變多，數據的離散性程度變大，模型預測的精度就會變差。

本文通過滑動平均法對離散性程度較大的原始序列進行改造，減弱異常值對原始序列的影響，使原始數據的變化變得緩慢，再利用改造后的序列建立灰色模型即GM(1，1)*模型，進行預測。

將原始非負等時序列改造為

式中

兩端點計算

然后建立GM(1，1)模型進行預測，得到預測序列 y(1)={y(1)(1)，y(1)(2)，…，y(1)(n)}，再對預測結果進行精度檢驗，對符合預測精度要求的預測結果進行滑動平均的逆轉化，計算方法如下:

若逆轉化后的最終結果為

式中

兩端點計算

利用線性規劃求解上述公式，得最終結果

2 咸陽市地下水動態預測

咸陽市某觀測井2001-2009年平均地下水埋深的實測資料見表2，可以看出2002-2004年地下水埋深的變化幅度較大，離散性程度比較高。為了檢驗GM(1，1)*模型的預測效果，本文利用實測資料，分別建立 GM(1，1)模型和 GM(1，1)*模型，對地下水動態進行預測研究。

表2 咸陽市地下水埋深監測資料

2.1 建立模型

選取2001-2007年的實測資料為原始數據，分別建立 GM(1，1)模型和 GM(1，1)*模型，進行地下水埋深的擬合，結果見表3。

表3 兩種模型擬合效果對比表

由表3可知 a=0.0019，u=16.485，C=49.3%，P=85.7%，擬合的平均相對誤差為1.034%，GM(1 ，1)模型 為:?x(0)(k+1)=-8673.095e(-0.0019k)+8688.925

而a*=0.0012，u*=16.4226，C*=30.9%，P*=1，擬合的平均相對誤差為0.308%，GM(1，1)*模型為:?x(0)(k+1)=-14047.1955e(-0.0012k)+14063.1155

結合表1的后驗差方法，傳統GM(1，1)模型的預測精度為合格，而改進后的GM(1，1)*模型的預測精度為好，充分說明改進后的預測模型具有更好的預測效果，是切實可行的。

2.2 優越性檢驗

為了進一步驗證GM(1，1)*模型的優越性，利用GM(1，1)模型和GM(1，1)*模型對 2008年和 2009年的地下水埋深進行預測，并與這兩年的實測資料進行對比，結果見表4。GM(1，1)*模型的預測結果經逆轉化后，得到2008年、2009年的地下水埋深為16.34 m和16.21 m，平均相對誤差為0.526%，相對于GM(1，1)模型預測結果的平均相對誤差0.776%，更加精確。

2.3 預測結果

結合表3和表4可知，當地下水埋深離散性程度較大時，改進后的GM(1，1)*模型與傳統的相比，具有更高的預測精度和更強的可行性。采用GM(1，1)*模型對咸陽市2010-2012年的地下水埋深進行預測，分別為 16.27，16.21 ，16.20 m 。

表4 兩種模型預測結果對比

3 結論

利用GM(1，1)模型改進技術對咸陽市地下水埋深進行預測，結果科學、合理，說明在地下水動態變化離散性程度較大地區，通過滑動平均法進行改進方法可行，與傳統的GM(1，1)模型相比，既保持了傳統模型計算簡便的優點，又具有較高的預測精度。此外，GM(1，1)模型改進技術不僅適用于地下水動態預測，還可以在水質預測、需水量預測等方面進行應用。

通過對咸陽市地下水埋深的動態預測，可以看出地下水位有逐年回升的趨勢，說明該區域地下水資源量正逐漸恢復。利用GM(1，1)模型改進技術對地下水動態變化進行預測，可以為區域地下水資源合理開發利用、地下水和地表水聯合調度等提供依據。

[1] 齊保勤，史玲.咸陽市城區地下水超采問題及對策[J].地下水，2004，26(4):290-292.

[2] 于春霞，徐建新.優化GM(1，1)模型在地下水水位預測中的應用[J].安徽農業科學，2008，36(12):4810-4819.

[3] 鄧聚龍.灰色系統基本方法[M].武漢:華中工學院出版社，1987:96-108.

[4] 陳俊珍.GM(1，1)模型與曲線 Aeax擬合[J].系統工程理論與實踐，1988，8(4):67-71.

[5] 李生潛.GM(1，1)模型在甘肅灌溉用水量建模中的應用[J].人民黃河 ，2007 ，29(7):46-48.

[6] 郝文輝，任改娟，貢長青.基于MAT LAB的灰色模型對秦皇島市區地下水水位的預測[J].中國環境管理干部學院學報，2010，20(2):61-64.

[7] 白靜，劉俊民.基于 GM(1，1)模型的興平市地下水動態預測[J].人民黃河 ，2010，32(6):79-81.

[8] 劉俊民.灌區地下水年最高水位的灰色預測[J].地下水，1993(9):93-96.

[9] 孫志霞，孫英蘭.GM(1，1)模型研究及其在水質預測中的應用[J].海洋通報 ，2009，28(4):116-120.