牛頓－拉夫遜潮流計算中檢測雅可比矩陣奇異性和網絡孤島的新方法

張勇明 王 濤 周 敏

（重慶市電力公司綦南供電局，重慶401420）

1.問題的提出

電力系統靜態安全分析、可靠性評估，都要進行潮流計算，如果采用牛頓－拉夫遜方法，經常會遇到雅可比矩陣奇異的現象。其實，在常規牛頓－拉夫遜計算潮流計算時，有時，也會遇到這種情況，由于這種現象對所研究的問題結果沒有產生特別的影響，因此，人們往往不太注意，一筆代過。其實，在某些情況下，這種現象對所研究的問題有意想不到的影響，對此，很有必要進行分析。我們知道，引起雅可比矩陣出現奇異的原因很多，網絡孤島（無平衡節點的網絡）是其中的一個原因。那么，怎樣檢測雅可比矩陣奇異性、怎樣識別網絡孤島，是本文所要解決問題。

2.目前研究的現狀

雅可比矩陣奇異現象，在牛頓－拉夫遜計算潮流中經常會遇到，這是由多種原因造成的。網絡孤島是雅可比矩陣出現奇異性的一個重要原因。許多文獻由此提出了許多識別網絡孤島拓樸論基礎上的方法。例如：基于Boolean乘法關聯矩陣的判別方法、一種簡單的樹類型尋找的方法、深度優先搜索方法等。

拓樸論基礎上搜索網絡孤島至少有以下三個缺陷。第一，網絡孤島并不是雅可比矩陣出現奇異的唯一原因；第二，即便是一個分裂的網絡，只要孤島中存在平衡母線，潮流問題也是可以解決的；第三，拓樸論上的方法，不論網絡是否連通，在潮流計算前都被執行，比較費時。

【2】中方法，克服了上述缺陷只需對分解后的雅可比矩陣進行判斷，如果奇異，僅需對分解后的雅可比矩陣進行回代運算，計算列相關系數，判斷網絡孤島。但在該文中，用NM方法比用FD方法速度慢得多。

3.基本原理

A是n×n階矩陣，無論A是否奇異，都可經過如下規格化、消去過程，分解成LDU的形式：

由式(1a)、(1b)可明顯看出：

當aii＝0時，規格化、消去過程不能進行下去。對此，作如下處理：

（i）如果 aik＝0(k＞i)，就繞過此行繼續進行分解過程。

（ii）如果aik(k＞i)不全是零，就推遲此行的規格化、消去過程。

A矩陣經過(1a)、(1b)式的運算后，可表示為：A=LDU=LU*=L*U

其中：L是n×n階下三角矩陣，對角元素全為1；

U是n×n階上三角矩陣，對角元素全為1；

D是n×n階對角矩陣。

由線性代數知識，可引出如下定理：

定理一 矩陣奇異當且僅當矩陣分解后，(2a)或(2b)式中一個成立：

即：U*中有一零行或L*中有一零列，那么矩陣奇異。

由于U*中有一零行或L*中有一零列，則│U*│=0 或│L*│=0

所以，│A│=0，矩陣奇異。

充分性：矩陣A奇異，那么│A│=0

由 (3)式可得：│D│=0由于D是對角矩陣，因此，至少有一對角元素為0。

因為U*=DU，L*=LD

所以(2a)或(2b)式有一個成立，即U*中有一零行或L*中有一零列。

U*中行為零，這是行相關情況；L*中列為零，這是列相關情況。

A矩陣奇異，那么A矩陣行向量、列向量線性相關，即:

其中，ri和ci分別是A矩陣的行向量和列向量，δi和ηi是不全為零的系數。

另一個有用的結論在下面給出：

推論一 當行相關或列相關發生時，即(4a)或(4b)式成立時，對應最后一個不為零的δi和ηi是U*的零行或L*的零列。

證明:設rk和ck是最后一個δk≠0（ηk≠0）對應的行或列。顯然，由前k-1行（列）向量確定的向量空間的維數不因增加第k行（列）而增加。因為行（列）空間的維數等于U*(或 L*)中非零行（列）的個數，這可推出U*(L*)中第k行（列）必是一個零行（列）。

4.網絡孤島的識別方法

4.1 原理

系統中若存在孤立節點，在形成導納矩陣就可檢測出，因為孤立節點在導納矩陣中所在的行和列全是零。因此，在本文中，不考慮孤立節點的情況。由于平衡節點不參與雅可比矩陣的運算，因此，在H矩陣中，它所對應的行和列全為零，在判斷奇異性和列相關時，要排除這種情況。

潮流方程是依靠流經線路及變壓器產生電壓、相角差建立的。由牛頓－拉夫遜潮流可知，如果一個網絡由至少一個分離不含平衡節點的孤島組成時，必有如下結論:

其中：Pi、Qi是 i母線的有功和無功，θj是 j母線的電壓相角，s是組成孤島的那一組母線。

這一結論不僅適用于經典牛拉法，也適用于P-Q分解法，對于P-Q分解法，該結論 只適用于實數雅可比矩陣。

潮流雅可比矩陣計算一個有用的結論下面給出：

引理 潮流計算中，如果雅可比矩陣的子矩陣H奇異，那么，雅可比矩陣奇異。

證明:雅可比矩陣可表示為如下分塊形式：

設該潮流計算是n節點系統。

其中：ck1是H矩陣的列向量，ηk是相關系數。由潮流雅可比矩陣元素計算可知：

對同一節點，H元素和J元素的計算具有完全相似的表達式，因此，J矩陣的各個列向量也應滿足(6)式，即：

其中：ck2是J矩陣的列向量，ηk是相關系數。

所以，雅可比矩陣奇異。

由3可知：H矩陣也可經規格化、消去過程分解成LDU的形式，但這里要說明的是，在分解過程中，當 aii=0，aik(k＞i)不全是零時，由于H矩陣對角元素所在的行或列對應一個節點，因此，推遲消去過程中，對角元素始終還是對角元素，基于這種情況，可按如下方法進行推遲消去過程；如果aik(k＞i)≠0，那么交換H矩陣的第k行和第i行、第k列和第i列，然后繼續進行。

根據3的結論，網絡分裂的發生產生列相關性問題，第k列為零列是與孤島中最后一母線相聯系的，因為母線k與母線k＋1，……，n不相聯系。

監測孤島網絡的充分條件下面給出：

定理二 如果H矩陣的某一列如k列與它前面的列線性相關，那么(8)且ηi=0或-1（ηi不全為0），該網絡不含有平衡節點或至少存在一個無平衡節點的孤島。證明:H矩陣任一行元素的表達式為：

初次計算H矩陣各元素時：θij=0，(9a)、(9b)變為：

由于H矩陣前k列線性相關，有：

由 (10a)、(10b)可明顯看出：ηi=0或-1（ηi不全為0），由式(8)和式(5)可知，該網絡不含有平衡節點或者至少存在一個無平衡節點的孤島。

下面給出一個用于識別母線是否屬于同一孤島的簡單算法：

推論二 與定理二相同條件下，一個孤島是由所有ηj=-1的j母線和k母線組成。由以上論述可知：定理一和推論一是由線性代數推出的一般結論，是孤島檢測的理論基礎；定理二和引理適用于潮流計算孤島檢測的基本原理；推論二給出了孤島檢測的算法。

4.2 檢測網絡孤島的算法

（1）分解H矩陣，進行奇異性判斷。如果矩陣非奇異，直接進行潮流計算，否則，轉入（2）。（2）判斷列相關情況，由式（8）求出 ηi。（3）對列相關系數進行檢測，判斷網絡孤島。

如果列相關系數全為-1，系統沒有解列，只是沒有平衡節點；如果列相關系數全為0和-1，系統解列，相關系數為-1的屬于同一孤島；如果存在不是0和-1的相關系數，輸出引起H矩陣奇異的列號。

結束語：本文在參考文獻【2】的基礎上,提出了一種通過H矩陣奇異性來探測網絡孤島的更為簡單有效的方法。即：對分解后的H矩陣進行判斷、計算列相關系數，進而判斷網絡孤島。

參考文獻

【1】西安交通大學等：電力系統計算，水利電力出版社，1978年；

【2】M.montagna,G.P.Granelli：Detection of Jacobian Singcdar and network Islanding in power flow compritations IEE Proc-gener.Jransin.Distrob vol.142.NO.6.November.1995；

【3】張伯明、陳壽孫：高等電力網絡分析，清華大學出版社，1996年。