基于趨近律滑模的臺車式倒立擺系統(tǒng)控制研究*

宋瑩 樊立萍 張君

1 引言

滑模變結(jié)構(gòu)控制是前蘇聯(lián)學者 Emeleyanov、Ut-kin、Itkin在20世紀60年代初提出的一種控制方法[1],其本質(zhì)是一類特殊的非線性控制，且非線性表現(xiàn)為控制的不連續(xù)性。這種控制策略與其他控制的不同之處在于系統(tǒng)的“結(jié)構(gòu)”并不固定,而是可以在動態(tài)過程中，即根據(jù)系統(tǒng)當前的狀態(tài)有目的地不斷變化，迫使系統(tǒng)按照預(yù)定“滑動模態(tài)”的狀態(tài)軌跡運動。滑模控制的優(yōu)點是能夠克服系統(tǒng)的不確定性, 對干擾和未建模動態(tài)具有很強的魯棒性,尤其是對非線性系統(tǒng)的控制具有良好的控制效果[2]。近年來,在機器人控制、電機伺服控制等復(fù)雜的非線性控制系統(tǒng)中,滑模變結(jié)構(gòu)控制因為其強魯棒性而得到廣泛應(yīng)用和發(fā)展。因此,越來越受到人們的重視。

滑模運動包括趨近運動和滑模運動兩個過程[3]。系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向切換面，直到到達切換面的運動稱為趨近運動，即趨近運動為s→0的過程。根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)的原理，滑模可達性條件僅保證由狀態(tài)空間任意位置運動點在有限時間內(nèi)到達切換面的要求，而對于趨近運動軌跡未作任何限制，采用趨近律的方法可以改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)。

趨近律方法是滑模變結(jié)構(gòu)控制的一種典型的控制策略，它不僅可以對系統(tǒng)在切換面附近或沿切換面的滑模運動段進行分析，而且可有效地對系統(tǒng)趨近段的動態(tài)過程進行分析和設(shè)計，從而保證系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間內(nèi)具有良好的運動品質(zhì)。本文提出了一種指數(shù)趨近律，當正常運動段遠離切換面時，能快速地趨向切換面；當運動接近切換面時，趨近速度又大大降低。與等速趨近律相比，其過渡時間、系統(tǒng)的抖動以及所需的控制力都能進一步減小。

為了驗證所提出的指數(shù)趨近律滑模控制的有效性，本文對一級臺車式倒立擺模型[4]進行分析和建立數(shù)學模型，然后利用滑模變結(jié)構(gòu)控制對小車的位置控制問題、擺角度控制問題和控制器的輸出進行詳細的研究。在Matlab/Simulink仿真環(huán)境下進行仿真實驗。

2 臺車式倒立擺系統(tǒng)

倒立擺系統(tǒng)的控制問題一直是控制研究中的一個典型問題。控制目標是通過給小車底座施加一個控制量，使小車停留在預(yù)定的位置，并使豎立的桿不倒下，即不超過一預(yù)先定義好的垂直偏離角度范圍。圖1為一級倒立擺的示意圖，小車的質(zhì)量為M，擺的質(zhì)量為m，小車的位置為x，擺的角度為α，桿長為2a 。

圖1 臺式車倒立擺系統(tǒng)

倒立擺的狀態(tài)方程為：

其中：

其中， C1為彈性硬度， g = 9 .8 m /s2,u和 f ( t )分別為控制輸入和干擾力，且f(t)≤f0，f0為常數(shù)。

3 滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計

文中采用了兩種變結(jié)構(gòu)的控制方法實現(xiàn)了臺車式倒立擺小車和擺角的控制。在該控制律中，采用了Ackermann公式設(shè)計滑模控制律中的C值。

考慮如下系統(tǒng)：

設(shè)計滑模變結(jié)構(gòu)控制的任務(wù)在于選擇滑模面s，即確定C并確定控制U，使閉環(huán)系統(tǒng)中滑模面上存在滑動模態(tài)，且所有相軌跡在有限時間內(nèi)到達s上的滑動模態(tài)區(qū)域并保證滑動模態(tài)漸近穩(wěn)定且具有良好的品質(zhì)[5]。

① 等速趨近律

其中，常數(shù)ε表示系統(tǒng)的運動點趨近切換面s= 0 的速率。ε小，趨近律速度慢；ε大，則運動點到達切換面時將具有較高的速度，引起的抖振也較大。

② 指數(shù)趨近律

式中，s = - k s ，是指數(shù)趨近項，其解為s = s ( 0 )e-kt。

指數(shù)趨近中，趨近速度從較大的值逐步減小到零，這不僅縮短了趨近時間，而且運動點到達切換面時的速度也很小。對單純的指數(shù)趨近，運動點逼近切換面是一個漸進的過程，不能保證有限時間內(nèi)到達，切換面上也就不存在滑動模態(tài)了，所以要增加一個等速的趨近項 s˙ = -εsgn(s)，當s接近于零時，趨近速度是ε而不是零，可以保證有效時間內(nèi)到達。

在指數(shù)趨近律[6]中，為了保證快速趨近的同時削減抖振，可在增大k的同時減小ε。控制律取:

4 仿真結(jié)果

為了驗證所設(shè)計的指數(shù)趨近律滑模控制的有效性，對一級臺車式倒立擺系統(tǒng)進行了一系列仿真實驗。

倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程如式（1）所示。倒立擺參數(shù)取為： g = 9 .8m/s2（重力加速度）， M = 5.0kg（小車質(zhì)量）， m = 1 k g(桿的質(zhì)量)， a = 0 .6m(桿的半長)， C1= 1 ， f ( t ) = 0.4sin(3t )。

仿真中所用的采樣時間T = 0 .02s，仿真時間為30s。初始條件取 x (0) = 0 . 4，α(0)=0.3，x˙(0)=0，α˙(0) = 0,其中擺動角度單位為弧度。

在控制系統(tǒng)中，由于n=4，故取λ1=-1，λ1= -2，λ1=-3，根據(jù)Ackermann公式設(shè)計滑模控制律中的 C 值，即根據(jù)式(2)，可得CT=[-4 . 7 673, 48.3564, - 8 . 7 401, 18.6534]。

在仿真程序中，圖2采用等速趨近律，圖3采用指數(shù)趨近律，ε=5，k=10仿真結(jié)果如下圖2、圖3所示。

圖2 a) 小車位置控制

圖3 a) 小車位置控制

圖2 b) 擺角度控制

圖3 b) 擺角度控制

圖2 c) 切換函數(shù)

圖3 c) 切換函數(shù)

圖2 d) 控制器輸出

圖3 d) 控制器輸出

從仿真結(jié)果可以看出，本文提出的指數(shù)趨近律方法設(shè)計的滑模控制器不僅使系統(tǒng)具有良好的控制性能，縮短了趨近時間，而且更好地消除了常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制所固有的高頻顫動現(xiàn)象，對模型不確定性和外部干擾具有較強的魯棒性，同時保證了系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間內(nèi)具有較好的運動品質(zhì)，使系統(tǒng)快速到達滑模面。

5 結(jié)束語

本文用兩種趨近律方法設(shè)計的滑模控制器應(yīng)用到臺車式倒立擺中，從仿真結(jié)果可以得出：指數(shù)趨近律方法設(shè)計的滑模控制器不僅縮短了過渡時間，減少了常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制所固有的高頻顫動現(xiàn)象，而且改善了系統(tǒng)的控制性能，提高了系統(tǒng)的魯棒性。

[1] Emelyanov,SVV.ariable Structure Control Systems.Nauka.Moscow, 1967 (In Russian).

[2] 陳峰.滑模變結(jié)構(gòu)控制理論及其在機器人中的應(yīng)用研究[D].江南大學,2008.

[3] 孔祥梅,李宏光.滑模控制中一類趨近律的改進[J].鞍山科技大學學報,2007,(04).

[4] 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真[M].北京:清華大學出版社,2005.

[5] YUAN,Xing-zhong,JIANG,Xin-jian.Stabilizing control of inverted pendulum using sliding modescheme[J].Control Theory & Applications,2004,21(5):721-723.

[6] 張昌凡,何靜.滑模變結(jié)構(gòu)的智能控制理論與應(yīng)用研究[M].北京:科技出版社,2005.