基于不同故障類型的不完全預防維護模型

曲玉祥，吳 更生

(清華大學 工業工程系，北京 100084)

1 概述

維護 (或維修) 是使系統或設備維持在可用狀態或恢復故障缺陷的所有活動。如果維修可以使系統修復達到全新的狀況，稱為完全維護；現實中大部分系統很難通過維修活動達到全新的狀況，即不完全維護，如對機車發動機進行定期檢修，可以在極大程度上改善發動機的工作狀況，卻難以達到全新的效果。不完全維護是使系統的失效率恢復程度介于完全維護和最小修復之間，系統狀態介于“全新”和“如舊”狀態之間的維護活動[1-2]。目前，描述不完全維護對系統失效率的改善程度是研究不完全維護的一個關鍵性問題[2-6]。

Malik[2]在維修排序問題中引入改善因子的概念描述維修后系統失效率的改進程度。Lie 和 Chun[3]給出了維修費用與系統工齡函數關系的一系列曲線描述改善因子。Suresh 和 Chaudhuri[4]利用改善因子找出系統維修 后的初始狀態。Jayabalan和Chaudhui[5]利用常數的改善因子，通過分支演算法求解維修時間。Pham和Wang[6]將不完全維護的處理方法系統地歸納為8種類型。Martorell等[7]提出了工齡比例恢復和工齡比例減少兩種不同模型描述設備經過維護變“年輕”的效果。

構建不完全維護模型通過將維護對象視為單一部件系統，針對具有耗損特性的設備，考慮失效限度，實施周期預防維護策略；假設維護時間間隔為τ，通過單位時間維護成本最小化確定具體的維護策略。維護間隔內發生故障包含兩種類型，即Type I 和Type II[8](簡稱 I 型故障和 II 型故障)。I 型故障指系統故障可修，并進行最小修復，假設最小修復不改變設備的可靠度和失效率。II 型故障是指系統故障嚴重以至不得不更換全新部件甚至廠修的情況，此時最小修復無效，設備需要更換或進廠維修；執行一定次數的預防維護后進行預防更換。以鐵路機車故障維修為例，主要為機故 (機故是指機車在牽引中出現故障，申請到下一站側線進行修理，修理時間超過 30 min，機故不影響其他列車行駛) 導致的臨修和機破 (機破指機車在牽引過程中出現了難以修復的故障并且不能繼續前行) 導致的臨修或段修，此類維修以排除故障使機車恢復正常運行狀態為目標，對機車既有壽命及失效率產生的影響很小，視為最小修復。

不完全維護模型的基本假設包括每次投入的預防維護成本Cpm、預防更換成本Cpr及最小修復成本Cmr為常數，預防維護成本及最小修復成本不大于預防更換成本。相比設備正常運行時間，預防維護、最小修復及預防更換所需時間可以忽略不計。改善因子受設備有效工齡、預防維護成本率等因素影響，忽略環境條件、操作條件及人為操作不當等因素。

2 耗損型設備不完全維護模型的構建

2.1 改善因子

參考維護活動改善效應的相關研究，應用改善因子ηi，受設備工齡和預防維護成本率 (預防維護成本Cpm與預防更換成本Cpr的比值) 的影響。取值范圍0≤ηi≤1，當ηi=0 時表示最小修復，ηi=1代表完全維護，具體表達式如下。

2.2 有效工齡和可靠度

考慮維護活動的工齡恢復效應，由改善因子確定設備維護后的狀態，即設備的有效工齡，計算可靠度等指標。由公式(1)可知，若預防維護成本Cpm與預防更換成本Cpr的比值越大，改善因子越大，恢復效果越好，有效工齡越小。采用工齡比例減少模型，即只有前一次維護后的工齡可以得到比例恢復，則設備在第i次維護前后的有效工齡分別如公式(2)、公式(3)所示。

式中：τ為設備預防維護時間間隔；W-i、分別為設備在第i次維護前、后的有效工齡。

隨著維修次數的增加，即i的增加，改善因子減小，即隨著時間的增加，即使投入相同的預防維護成本，對系統的改善也會變差。設備執行完N－1 次預防維護后，在第N次進行預防更換，可以得到預防更換的時間點。

相應時間點的可靠度由設備的可靠度函數R(t)求出：

2.3 維護成本函數

假設設備使用期限為無限時間域時，以單位時間期望成本作為維護優化的目標函數。考慮2種故障類型[6]，假設系統發生 I 型故障的概率為1－θ，此時系統可以進行最小修復；當系統以概率θ發生 II 型故障時，最小修復無效，系統進行更換。鑒于我國目前的檢修現狀，考慮失效限度成本率最小化的預防維護模型。這種預防維護模型的成本函數包含3個部分：預防維護成本、最小修復成本和預防更換成本。期望總成本TC的表達式為：

式中：pi表示第i次發生故障的概率。

確定設備的壽命分布是進行維修決策的一個重要前提，由于威布爾分布具有較強的適應性和工程意義，在可靠性工程中被廣泛應用，能夠較好描述具有耗損特型的機械設備的壽命分布。假設系統的壽命分布為二參數威布爾分布，其失效率函數為：

式中：α為尺度參數，也稱為特征壽命，當可靠度R=e－1=0.368 時的壽命，用以描述產品達到的總體壽命水平；β為形狀參數，數值的大小決定失效率曲線的形狀。當β=1 時，威布爾分布簡化為指數分布，失效率是與時間無關的常數；β＞2 時，失效率函數是單調遞增的凸函數，即耗損型部件所具備的失效率特征。

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當系統的預防維護時間間隔為τ，則單位時間期望維護成本最小化的目標函數為：

2.4 模型的其他約束條件及求解

以維護時間間隔τ和預防更換點N為決策變量，在單位時間期望成本最小的目標下，求取τ和N的最優解：

在此基礎上，為了滿足系統運行的需要，可以預先設定可靠度水平Rmin，當系統可靠度等于此限制時，執行預防更換動作。若為設備預防更換時間點，則要求：

由系統的失效率函數，即可得到最優維護間隔，利用 Matlab 對模型編程求解。

3 數值驗證與分析

對模型進行數值驗證，確認2種預防維護模型的求解方法是可行的。為此，需要給定部件失效模式、維護成本等相關參數，如表1所示。

表 1 用于驗證模型的相關參數

3.1 成本率曲線、預防更換時間及最優化維修策略

假設模型中的可靠度限制水平Rmin=0.6 和Rmin=e－1=0.368，取發生 II 型故障的概率為θ= 0.1，另有預防更換的壽命為T=Nτ。通過計算，可以得到在不同可靠度要求下的成本率曲線和系統的預防更換壽命曲線，如圖1所示。

從圖 1a 中可以看出：系統預防更換的壽命會隨著總預防維護次數的增加而先增加后降低，也就是系統的預防更換壽命存在極值點，極值點對應最優維護成本率時的預防維修次數。此外，預先設定的可靠性水平越高，則系統越容易被淘汰，即相同條件下，預防更換的壽命相對較短。

圖 1b 表示了不同的可靠度要求時，系統預防維護成本率隨著總預防維修次數的變化曲線。系統的維護成本率存在極值點。當Rmin=0.6 時，最優維護次數為 25，其所對應的預防維護成本率為 0.436萬元；當Rmin=0.368 時，最優維護次數為 24，所對應的預防維護成本率為 0.407 萬元。較高的可靠度限制水平對應較高的預防維護成本，表明了成本率對可靠度的敏感度關系。

圖 1 系統的預防更換壽命及維護成本率隨預防維修次數的變化曲線

模型考慮了失效限度使得系統在運行和維護過程中具有較好的可靠性能，更符合實際應用的需要，設定可靠度限制水平Rmin對系統的不完全維護策略具有重要意義。因此，在制定設備維護方案時，決策者需要對設備可靠運行的需求進行綜合考慮，在可靠度限制水平與維護成本間找到一個平衡點。

3.2 II型故障對成本率曲線的影響

模型中考慮了2種故障類型，即存在 Type II 故障類型，它的發生幾率θ對成本率也具有較大的影響。在不同θ的情況下，預防維護成本率的變化，如圖2所示。

由圖2中可以看出，θ的增加會降低系統預防維護的成本。一般情況下，發生II型故障，必須更換新的器件，最小修復不再起作用，維護終止，維護成本整體會降低。隨著θ的增加，系統維護成本率最小值所對應的最佳維修次數隨之增加，即系統需要進行更加頻繁的預防維護。

圖 2 不同的II型故障發生率情況下的成本率隨預防維護次數變化曲線 (Rmin=0.368)

3.3 威布爾參數的敏感度分析

對部件的威布爾分布參數進行敏感度分析中，形狀參數β是最重要的參數，決定了威布爾分布的形狀和變化趨勢。只改變形狀參數β，表1中的其他參數保持不變，對模型進行求解優化。從圖3中可以看出，當單位時間成本C(τ，N) 最小時，β越大，模型的維護時間間隔τ和預防更換點N越小，維護成本率因總時間T的縮減而增加，更換點的可靠度水平因T的縮減而增加，總體上都比較低。β較小時，τ、N以及維護成本率受β的影響較為顯著。

按照類似的方法對尺度參數α進行敏感度分析，只改變尺度參數α，其他參數保持不變。從圖4可以看出，模型維護時間間隔都隨著α的增加而增加，維護成本率則相應地減小。

圖 3 不同 β 條件下預防維護時間間隔及成本率隨預防維護次數的變化

圖 4 不同 α 條件下預防維護時間間隔及成本率隨預防維護次數的變化

4 結束語

通過引入受維修次數、預防維護費用共同制約的改善因子，全面考慮兩種不同的故障類型，建立不完全維護模型，以壽命期內的最小維護成本率為目標，求解相應系統裝備的維修策略，即最佳的預防維修時間間隔以及最佳的預防維修次數。模型假設部件壽命服從威布爾分布，引入第二種故障類型發生概率為θ的假設，給出成本率的解析表達式。可以預先設定系統可靠度的最低值，實現不同可靠度條件下的系統最優維護方案。

通過設定不同的參數β、θ等，分析成本率曲線、時間間隔，以及系統壽命對不同參數的敏感度，并且對各種參數對系統最佳維修次數的影響進行了詳細的分析。模型重點考慮單部件耗損型設備，對于其他類裝備的不完全維修策略也具有一定的參考價值。

[1] Wireman T. World class maintenance management[M]. New York：Industrial Press，1990.

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[3] Lie C H，Chun Y H. An algorithm for preventive maintenance policy[J]. IEEE Transactions on Reliability，1986，35(1)：71-75.

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[5] Jayabalan V，Chaudhuri D. Optimal maintenance replacement policy under imperfect maintenance[J]. Reliability Engineering and System Safety，1992(36)：l65-l69.

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[7] Martorell S，Sanchez A and Vicente Serradell. Age-dependent reliability model considering effects of maintenance and working conditions[J]. Reliability Engineering and System Safety，1999，64(1)：19-31.

[8] Sheu S H，Chen J A. Optimal lot-sizing problem with imperfect maintenance and imperfect production[J]. International Journal of System Science 2004，35(1)：69-77.