一種新的用于圖像邊緣檢測的濾波器設計

王玉茜

(江南機電設計研究所，貴州 貴陽 550006)

分數階微分理論(或稱非整數階微分)，從建立至今已經有300多年的歷史。近幾十年來，分數階微積分在不同的自然科學領域(如機械、電子、化學、生物、經濟、控制理論以及自動化等學科[1-2]領域)開始發揮其重要的作用，分形圖像壓縮等課題也開始引進分數階理論。近幾年，國內一些學者嘗試將該理論引入圖像處理領域[3-5]。

在圖像處理領域，邊緣檢測通常利用整數階微分算子，常見的有：基于一階微分算子的Sobel算子、Prewitt算子和基于二階微分算子的Laplacian算子。分數階微分算子可以看作是整數階的推廣，有學者對基于分數階微分的圖像邊緣提取做了一定研究[4-5]，但都是基于工程上最廣泛應用的Günwald-Letnikov分數階微分的原始定義，并未做較大變動，而且該定義下的分數階微分對非零常信號的響應并不為零，這對信號突變部分檢測會造成不利影響。本文在之前一些學者的研究基礎上，設計了一種新的用于提取圖像邊緣的濾波器，并通過實驗總結了該濾波器兩個參數的作用，證明了該方法在圖像邊緣信號提取方面的優越性。

1 一維中心對稱分數階微分濾波器

1.1 結構

由分數階微分的G-L定義式[6]可知，連續信號在某點的分數階微分是整數階向后差分的推廣，本質上是單方向的差分和。同時，由于各項的系數之和不為零，導致了非零常信號的分數階微分不為零，這對檢測邊緣等突變信號會產生不利影響。因為對于圖像邊緣檢測來說，所要求的濾波器應在灰度突變部分有極大響應，其他平穩部分有極小或者無響應。如果要滿足平穩信號的分數階微分為零這個條件，必須構造一個對稱算子，使得各項的系數和為零。從這一思想出發，本文設計了一種新的能夠滿足要求的分數階微分算子。

假設函數f(t)為一維光滑信號，其一階中心差分公式為：

其中，h為步長(下同)；t為自變量。因而，f(t)的一階導可記為：

相比向前或向后差分公式的精度O(h)，中心差分的精度得到了提高。將上式舍去高階項，得：

根據參考文獻[7]中的思想，隨著t的增加和減少分別可得兩種微分表達式：

從而，可得中心對稱的分數階微分算子：

在對信號求近似分數階微分時可進行線性插值，令：

從而得：

根據上式，可直接得出一元信號(f(t)(t∈[a，b])的中心對稱分數階差分表達式為：

設一維圖像邊緣模擬信號 (可看成圖像灰度變化剖面圖)的數學表達式為：

該信號的圖形及其中心對稱分數階差分結果如圖1所示。

圖1 一維圖像邊緣模擬信號及中心對稱分數階微分曲線

由圖1可知，中心對稱分數階差分算子對信號作用后，在信號的平穩段響應幾乎為零，在[0，200]段信號發生變化的區間內有顯著響應，同時在拐點處響應達到最大。

1.2 頻幅特性

為考察中心對稱分數階微分的濾波原理，本設計通過變換域的方法考察其對信號的作用。信號的中心對稱分數階微分的Flourier變換為：

式中，F(ω)為信號 f(t)的 Flourier 變換；F[Dαf(t)；ω]為分數階微分 Dαf(t)的 Flourier變換；ω 為歸一化頻率；i為復數的虛部單位，i2=-1，下同)。

所以，對于離散有限長信號，其頻率濾波函數為：

根據式(2)畫出不同階次分數階微分的頻幅特性曲線如圖2所示。從圖2可知，中心對稱分數階微分濾波器本質上是一個帶通濾波器。階次在0～1之間的濾波器具有抑低通高的作用，而隨著階次的提高，曲線的極值點向低頻處偏移，對高頻部分的抑制作用增強，具有通低頻的功能。但是，從空間響應來看(圖1(b))，與平穩信號的零響應相比，其對信號的突變部分仍然有極大響應。因此，對于近似拋物線型的變化的信號，中心對稱分數階微分算子仍可以有效地檢測到其邊緣部分。同時，由于高階次的中心對稱分數階微分算子具有阻高頻的作用，而噪聲屬于高頻成分，因而從理論上分析可知，適當階次的微分算子對噪聲有一定的抑制作用。

圖2 中心對稱分數階微分濾波器的幅頻曲線

2 數字圖像中心對稱分數階差分濾波器的構造

在第1節中，主要分析了中心對稱分數階微分算子對一維信號的空間響應和幅頻特性，并得到了一些結論。本節將其拓展到二維空間并應用于圖像邊緣檢測。對于一幅大小為M×N二維圖像f(x，y)，每個點處的分數階微分可看作是分別沿x和y方向上的分數階偏微分，而且不可能取到精確值，所以應用如下分數階差分來逼近：

由于圖像尺寸的限制，點(x，y)處的差分尺寸 2n+1最大為圖像本身的尺度 min{M，N}，且由于像素是離散值，因此最小間隔h為1。所以式(3)可變為：

根據此定義，構造垂直、水平、左對角線、右對角線4個方向的差分模板，如圖3所示。

掩模1和掩模2是計算x軸方向和y軸方向上的像素的中心對稱分數階差分值。為了增強圖像的抗旋轉性，添加了掩模3和掩模4。灰度圖像的中心對稱分數階差分濾波的運算步驟如下：

(1)分別將4個掩模的中心點位置(掩模尺寸為2n+1)對應到圖像上的待濾波的像素點(x，y)處。

圖3 4個中心對稱分數階差分掩模

(2)將掩模上的系數值分別與對應點處的圖像像素灰度值相乘，相加得到的結果即為中心點像素的響應。

(3)4個掩模都對待處理的像素點進行步驟(2)作用后，可得到4個響應值，取其絕對值最大的作為待濾波像素點的最終響應值。

(4)為顯示濾波后的圖像，對圖像的所有像素點都進行(1)～(3)步處理，然后進行灰度拉伸，使得像素值在0～255之間。

在逐一進行像素平移時，為了不使掩模的行或列超出待處理的數字圖像平面，必須使掩模的中心點距圖像邊緣像素的距離不小于n。在處理彩色圖像時，可先轉成灰度圖像后再處理。這樣構造的濾波器具有階次(α)和尺寸(2n+1)兩個可調參數。

3 實驗仿真及結果分析

實驗一：本實驗中濾波器兩個參數分別為α=0.8，n=2，從實驗結果可知，本文提出方法能夠很好地提取圖像邊緣信息，包括細小的邊緣都能檢測到。對灰度圖像和彩色圖像的邊緣檢測效果如圖4所示。

實驗二：考察在處理不含噪圖像時濾波器兩個參數的作用，以對棋盤格圖像進行處理為例，首先給出如圖5(a)所示的不同階次濾波效果圖。

圖4 對灰度圖像和彩色圖像的邊緣檢測效果

實驗中采用的濾波尺寸n固定為5。由實驗結果圖5(a)可知，階次越大，邊緣輪廓線越粗，且變得模糊，這說明較低階次的中心對稱微分濾波器對邊緣這樣的高頻信息的響應更為明顯。根據多次實驗可得：在處理不含噪圖像時，比較合適的階次應取在0.5～0.9之間。掩模尺寸越大，則整幅圖像四周未處理的像素就越多，但是隨掩模尺寸變大，濾波后圖像中邊緣粗細變化不明顯。如圖5(b)所示。

圖5 處理不含噪圖像時濾波器兩個參數的作用

實驗三：考察對于含噪圖像中心對稱微分濾波器的兩個參數的作用。首先固定尺寸n為7，對棋盤格圖像加入均值為0、方差為0.05的高斯噪聲。

從圖6可以看出，對于受到噪聲污染比較嚴重的圖像，隨著階次的增大，濾波器對噪聲的免疫力增強，圖像內部圖形的邊緣更加清晰。低階次濾波后的圖像邊緣比較細，對噪聲的響應也較大，而高階次的邊緣越來越粗，同時對噪聲的響應也較弱。由圖可知，4.1階次的濾波效果最好。驗證了隨著階次的提高，中心對稱分數階微分算子通低頻阻高頻的作用增強。

圖7顯示了模板的尺寸在抗噪過程中的作用。取定階次為4.1，隨著掩模尺寸變大，對噪聲的敏感度逐漸降低，即抗噪能力逐漸增強。

經實驗可知，通過調整掩模的兩個參數(α)和(2n+1)，可以靈活地調整對含噪圖像的處理效果。事實上，邊緣提取和降噪是一對矛盾體，因此，采用中心對稱分數階差分濾波算子時，階次的選擇必須采用折中的辦法。因為低階次對邊緣響應大，同時對噪聲的響應也大。而高階次對噪聲響應較小，但對邊緣的檢測也相對模糊。經過試驗分析，本設計選擇階次α在3.5～5.5之間。掩模尺寸過大時，圖像四周有過多的邊緣像素無法處理，因此，考慮到降噪和圖像處理的全面性，尺寸n選擇在7～9之間。

圖6 受噪聲污染嚴重的圖像及其不同階次濾波器濾波結果

圖7 階次固定而尺寸不同的濾波器對圖像的處理結果(二值化后)

實驗四：實驗中選擇的濾波算子包括參考文獻[4]中構造的用于邊緣提取的分數階掩模Tiansi算子以及常用的一些整數階邊緣檢測算子、基于最優理論的Canny算子。為更清晰比較各個掩模算子對含噪信號邊緣檢測的效果，特別對濾波后的圖像做二值化處理。各種濾波算子在處理含噪圖像時的效果如圖8所示。

圖8 不同濾波算子對含噪聲圖像的濾波結果

由圖8可知，對含有較高噪聲的圖像，相對于常用的一階和二階邊緣檢測算子，適當階次和尺寸的中心對稱差分算子對含較高噪聲圖像的邊緣的響應比較明顯，邊緣比較清晰。而經典的二階微分LOG(Laplacian Of Gaussian)算子處理過的圖像已經難以看清邊緣，其他的一階算子處理后的邊緣不連續。由分數階思想構造的Tiansi算子處理過的圖像雖然也能看出內部圖形的大致輪廓，但是對噪聲的響應比較大。Canny算子雖然理論上是將抗噪和邊緣提取進行最優結合的一種方法，但是從實驗結果來看，與本文提出的方法還有較大的差距。

本文提出的針對圖像邊緣提取的中心對稱分數階微分濾波模板在處理圖像時，比傳統整數階微分濾波器具有更優越的性能，這種有兩個可調參數的基于分數階思想的濾波器有較高的抗噪性和魯棒性，更適合于圖像處理。本文對二維中心對稱分數階差分濾波器的兩個參數的作用作了初步的討論，但如何自適應地選擇更合適的參數還需進一步研究。同時，將分數階的思想引入信號處理領域也是一個值得繼續研究的方向。

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