開關電容濾波器前置、后置濾波器的設計

趙天成，趙英俊

（1.武漢大學 遙感與信息工程學院，湖北 武漢 430079；2.華中科技大學 機械科學與工程學院，湖北 武漢 430074）

開關電容濾波器是一種以電荷轉移原理為基礎的濾波元件，與傳統的模擬濾波器相比，它具有易于生產、便于使用等優點，在各種測試系統中的應用日益廣泛[1-4]。

另一方面，開關電容濾波器本身也是一種采樣系統，其輸入信號的最高頻率要受到采樣定理的限制，其輸出則是臺階狀的離散時間信號。通常都要求為開關電容濾波器配置適當的前、后置濾波器，以解決抗混迭和重建的問題，但對前、后置濾波器的設計準則和過程則缺少系統的分析和說明。

為此，筆者以數據采集系統中的抗混迭濾波為例，討論開關電容濾波器的特征和它的前、后濾波的問題。

1 開關電容濾波器的特征

圖1是一個開關電容濾波器的典型結構。在這個開關電容濾波器中，除了輸入、輸出端外，還有一個時鐘輸入端，為之提供頻率為fclk的采樣脈沖。這個時鐘頻率fclk與開關電容濾波器的中心頻率或轉角頻率fc存在一定的對應關系，即fclk=Nfc，一般N為100或50。這樣頻率為fin的模擬輸入信號，經過開關電容濾波器的處理后，變成了離散的抽樣序列。

圖1 開關電容濾波器的典型結構Fig.1 Typical structure of a switched-capacitor filter

顯然，對開關電容濾波器自身而言，也存在一個抗混迭的問題，因此必須在開關電容濾波器之前對輸入信號進行前置濾波，以限制輸入信號的最高頻率。

開關電容濾波器的輸出是一連串的臺階，它不僅在時域上不連續，而且還在頻域上增添了新的高頻成分。因此，要通過適當的后置濾波，重建所需的波形。

值得指出的是，為了實際應用的方便，開關電容濾波器的前、后置濾波器應由模擬濾波器來承擔，以避免重復產生前面的問題。若非如此，則可能在應用中產生一些不必要的困擾[5]。

考慮到上述因素，可將開關電容濾波器的一般應用模式歸結為圖2[6]。下面對有關問題作進一步的討論。

圖2 開關電容濾波器的應用模式Fig.2 Application mode of switched-capacitor filter

1.1 前置濾波

1.1.1 設計指標

前置濾波的作用主要是限制開關電容濾波器輸入信號的最高頻率。理想狀態下，這種前置低通濾波器的設計參數只有一個，即低通濾波器的轉角頻率fpre。但是，在確定fpre之前，首先應該明確所需去除的頻率成分。

對一般的采樣系統，若其采樣頻率為fs，輸入信號頻率為fin，當 fin≥1/2 fs時，則會產生混迭，混迭后的頻率 fa可用式（1）計算，其中N取大于0自然數。

開關電容濾波器產生混迭的情況和式（1）有所不同，并非所有高于1/2 fclk的輸入頻率所產生的混迭都能形成有效的輸出。當混迭后的頻率位于開關電容濾波器的通帶之外時，便為開關電容濾波器所衰減，其影響可以忽略不計。因此，在設計開關電容濾波器的前置濾波器時，只需考慮混迭后會落入開關電容濾波器通帶之內的那些頻率成分。

為簡化討論，這里僅考慮時鐘基頻以內的情形。以一個fclk=Nfc的低通開關電容濾波器為例，通過簡單的分析不難得知：在理想狀態下，只有那些高于fST=（N-1）fc的輸入頻率所產生的混迭才會落在開關電容濾波器的通帶之內形成有效輸出（如圖3所示）。這時，只需用前置濾波器來濾除輸入信號中所有高于起始頻率fst的成分即可。

圖3 開關電容濾波器中的混迭Fig.3 Aliasing in a switched-capacitor filter

考慮到實際開關電容濾波器有限的衰減系數，起始頻率fST可按下式選取∶

其中，D為反映開關電容濾波器衰減特性的系數，一般取 2～4。

這樣，在理想狀態下，前置濾波器轉角頻率fpre只要滿足以下條件即可∶

其中，fc為開關電容濾波器設定的轉角頻率，fST為開關電容濾波器產生混迭輸出的起始頻率。物理意義上，上式的前一部分保證不對有用信號造成損失，后一部分則阻止任何可能產生混迭的成分通過。

對于實際濾波器，由于衰減系數有限，因此在設計實際的前置低通濾波器時，需要考慮2個指標∶轉角頻率fpre和衰減量A。前者確定被阻止信號的頻率范圍，后者確定對這些頻率成分的衰減程度。

實際設計時，先定衰減量A，再定轉角頻率fpre。

1.1.2 衰減量的確定

以數據采集系統為例，對于某個超出fST的頻率成分fin，前置濾波器必須對它進行足夠的衰減，才能保證它不再對數據采集系統形成明顯的干擾。嚴格時，應將它衰減到開關電容濾波器的殘余噪聲水平。一般也應將之降至與A/D轉換器的量化噪聲相當的水平。

理想情況下，A/D轉換器的量化噪聲信噪比為[7]

其中，n為數據采集系統的分辨率。

表1給出了典型A/D轉換器的分辨率與量化噪聲的信噪比，它們可以作為確定前置濾波器阻帶衰減量的參考。例如，對一個12位的A/D轉換器，就必須使前置濾波器的衰減量A>74 dB。

表1 A/D轉換器的分辨率與信噪比Tab.1 Resolution and S/N of signal-to-noise ratio of A/D converters

值得說明的是，以上的衰減量相當于信噪比為1時的情況。如果預先了解輸入信號的信噪比，可以相應地減小衰減量。

1.1.3 轉角頻率的確定

確定前置濾波器的衰減量之后，可根據所選前置濾波器的衰減系數來確定所需的轉角頻率fpre，即保證：

其中，Ca為濾波器每10倍頻程的衰減系數。解上式得

結合式（3）綜合考慮，有

以四階巴特沃思低通濾波器為例，其衰減系數Ca為每10倍頻程80 dB。對于一個12位的數據采集系統和fclk=50fc的開關電容濾波器，取總衰減量A為74 dB，D為4，則由式（6）可算出前置濾波器轉角頻率fpre的取值范圍為：

1.2 后置濾波

1.2.1 設計指標

后置濾波的作用是消除開關電容濾波器的采樣臺階和時鐘干擾，重建模擬波形，因此仍用連續型模擬濾波器。

理想狀態下，后前置低通濾波器的設計參數也只有一個，即此低通濾波器的轉角頻率fpost。這時fpost的選擇只要滿足以下條件即可∶

其中，fc為開關電容濾波器設定的轉角頻率，fclk為開關電容濾波器的時鐘頻率。物理意義上，式（9）的前一部分保證不對有用信號造成損失，后一部分則阻止任何高于時鐘頻率的成分通過。

由于實際濾波器的衰減系數有限，因此在設計后置濾波器時，也要考慮衰減量A和轉角頻率fpost2個參數。

實際設計時，先定衰減量A，再定轉角頻率fpost。

1.2.2 衰減量的確定

要求后置濾波器具有足夠的衰減能力，能將任何≥fclk的頻率成分衰減到后面數據采集系統可以接受的水平 （1個LSB所對應的輸入范圍之內）。另一方面，考慮到開關電容濾波器輸出的高頻噪聲實際水平，可以將衰減量取為30 dB左右。

1.2.3 轉角頻率的確定

定下后置濾波器的衰減量后，再根據所選后置濾波器的衰減系數確定所需的轉角頻率fpost，使

其中，Ca為濾波器每10倍頻程的衰減系數。解上式得

結合式（9）綜合考慮，有

以二階巴特沃思低通濾波器為例，其衰減系數CA為每10倍頻程40 dB。對于一個fclk=50fc的開關電容濾波器，取總衰減量A為30 dB，則由式（12）可算出后置濾波器轉角頻率fpost的取值范圍為∶

2 隨動跟蹤前、后濾波

2.1 隨動方式

在實際數據采集系統中，可用開關電容濾波器的可程控性能，在很寬的頻率范圍內，隨時指定開關電容濾波器的時鐘頻率fclk，進而改變濾波器的轉角頻率fc。這時，開關電容濾波器的前、后置濾波器的頻率也應隨之改變，即實現隨動跟蹤前、后置濾波。

實現隨動跟蹤濾波時，為簡化硬件設計，可在滿足最低衰減量的前提下，使開關電容濾波器的轉角頻率變化若干檔后，前、后置濾波器的轉角頻率才變化一檔，即將前、后置濾波器的若干檔轉角頻率合為一檔。具體的判別方法如下：

根據式（7）可知，對于開關電容濾波器指定的轉角頻率fc，其前置濾波器的轉角頻率fpre可以在一定的頻率范圍內取值，記其最小值為 min（fpre），最大值為 max（fpre）。 對于 fci

后置濾波器的情形與之類似，如果 min（fpostj）

圖4 前、后置濾波器頻率檔次的合并Fig.4 Frequency range combination of pre-filter and post-filter for SCF

2.2 實例

在一數據采集系統中，選用MAX295開關電容濾波器[7]作A/D轉換器的抗混迭濾波器。

MAX295是一種時鐘可編程的八階巴特沃思低通濾波器，轉角頻率可在0.1 Hz～50 kHz的范圍內任意設置，其時鐘頻率fclk與轉角頻率fc之比N=50。根據系統要求，抗混迭濾波器的轉角頻率應在10 Hz～50 kHz的范圍內，按1-2-5的分度，分為12檔。

此數據采集系統A/D轉換器的分辨率為12位，根據表1可以確定，前置濾波器的衰減量A應大于74 dB。考慮到實際可能，這里用2個LM318構成一個四階通帶紋波為0.5 dB的Chebyshev濾波器作前置濾波，設置53 Hz，530 Hz，5.3 kHz和53 kHz 4個轉角頻率覆蓋整個頻程。

MAX295輸出噪聲甚低（THD+N典型值-70 dB），因此后置濾波器的衰減量大于10 dB即可滿足要求。為此用其自帶的運算放大器構成一個二階巴特沃思低通濾波器，并設置53 Hz，530 Hz，5.3 kHz和53 kHz 4個轉角頻率覆蓋整個頻程。

圖5為此程控抗混濾波器的結構，三級濾波器的頻率設置及最小衰減量如表2所示。其中，前、后置濾波器的一個轉角頻率可覆蓋開關電容濾波的3個頻率。例如，前置濾波器與后置濾波器置在53 Hz的轉角頻率可與開關電容濾波的10 Hz，20 Hz和50 Hz 3個頻率對應，其余類推。

所有濾波器元件的參數計算及校核用美國TI公司的“FilterProTM低通濾波器設計程序”[8-9]完成。理論計算和實測結果均表明，該濾波器完全可以滿足數據采集系統的要求。

圖5 一種程控抗混濾波器的結構Fig.5 Structure diagram of a programmable anti-aliasing filter

表2 一種程控抗混濾波器的設計參數Tab.2 Design parameters of a programmable anti-aliasing filter

3 結束語

筆者提出了開關電容濾波器前置（抗混）濾波器和后置（重建）濾波器的設計參數和設計步驟，并結合數據采集系統的工程實例，討論了隨動跟蹤前后置濾波器的設計問題。實驗表明，筆者提出的設計方法簡明可靠、行之有效，可作為開關電容濾波器應用的參考。

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[9]Texas Instruments.FilterProTMMFB and Sallen-Key Low-Pass Filter Design Program User Guide （Rev.C） [EB/OL].（2011-02-25） [2011-03-15].http：//www.ti.com/litv/pdf/sbfa001c.