f+v分解與分形圖像修復算法設計

2011-05-21 00:41:46白宗文張威虎周美麗

電子設計工程 2011年12期

關鍵詞：模型

白宗文，張威虎，周美麗

（延安大學物理與電子信息學院，陜西延安 716000）

數字圖像修復是指用一定的算法來對指定區域缺損數據進行填充的過程，包括受損圖像恢復，剔除或者取代圖像中指定部分，達到圖像復原或者接近原圖像的視覺效果。本文提出的修復模型首先需要對圖象進行分解，將其分解成紋理部分和結構部分，結構部分采用文獻[1]提出的CDD模型進行修復，紋理部分以分形維度作為相似度度量函數進行修復，達到了很好的修復效果。

1 圖像分解

文獻[2]給出了一種圖像分解方法。圖像分解有兩個關鍵要素，第一是針對圖像噪聲和恢復的整體變分最小化，第二是描述紋理或者噪聲的空間振蕩函數。

設 I：R2→IR 是一幅給定的目標圖像，I∈L2（R2）。 I是包含圖像u或者是一幅紋理圖像，則u是圖像I簡單近似圖像。

引入另外一個函數v，u和I的關系由簡單線性模型表示成：

I（x，y）=u（x，y）+v（x，y）

從圖像I重構u的問題其實是按照如下關系，對一個空間有界變分函數BV（R2）最小化

其中λ＞0是一個調節參數，能量的第二項是保真項，而第一項是調節項，用來去除噪聲或者一些細節，而保持重要特征或者尖銳邊緣。

文獻[3]證明了當λ較小時，模型將消除圖像中的紋理。為了能夠從圖像I中提取出u∈BV和v作為振蕩函數，Meyer提出使用不同的空間函數，在某種程度上說是雙BV空間。他引入了以下定義。

定義1：設G表示構成所有通用函數 v（x，y）屬于 Banach空間，其可以寫成

文獻[3]Meyer指出：如果v分量表示紋理或者噪聲，則v∈G，并給出了如下圖像恢復模型inf{E（u）=

這種模型可以用于結構和紋理分解。下面是一種最小化方法：

其中λ，u＞0是可調參數，并且p→∞，第一項確保u∈BV（R2），第二項保證滿足 I≈u+div（g1， g2），第三項是 G 的范式v=div（g1， g2）。當 p→∞，λ→∞，則就是 Meyer提出的模型。

令0＜p＜10，實驗結果表明效果非常接近。然而p=1時，計算速度快，所以這里令p=1，則可以給出歐拉-拉格朗日方程形式為：

根據以上模型，可以從一幅給定的紋理圖像I中分離出分量 v 和分量 u。這里 u 是圖像的近似骨架（結構），v=div（g1，g2）表示圖像的紋理或者噪聲。

2 圖像結構部分修復

按照以上算法將圖像分解成了結構部分和紋理部分，根據各部分圖像的不同特征，對于結構部分采用CDD（Curvature-Drive Diffusions），這是一種典型基于PDE的修復模型[1]，是對TV模型的一種改進，主要是為了克服TV模型中的視覺不連續問題，由于這種模型傳導系數系數依賴于曲率，因此我們稱之為曲率驅動擴散。在文獻 [1]給出的TV模型當中，擴散強度僅依賴等照度的對比度和強度，這反映在傳導系數的表達式

因此，傳輸強度并不依賴于等照度線強度的幾何信息。對于平面曲線，其幾何特性通過曲率尺度反映。

這樣，當等照度線具有更大曲率的時候得到的擴散更強，當等照度線伸出的時候擴散自然消失。當選擇 g（∞）=∞則擴散過于強烈，選擇 g（0）=0 則擴散過弱，如果 g（0）≠a≠0。則CDD模型退化成TV模型修復的二階方程。這樣又可能出現不連通。因此，需要通過實驗來確定該值的選擇。

于是，令

像素點X處的曲率k是由該點的等照度線的曲率可以由下式給定

u=u0，X∈λ，其他

這里修復域D從數學上理解為開集，并不包含其邊界，u0為圖像的已知部分。當求解時域匹配方程時，則初始條件可以是任何合理猜測，也就是任意 u（X，0）只要滿足 u（X，0）=u0（X），x∈Ω∈即可。

因此，CDD等照度修復模型又可以表示成

因為其和梯度相反所以是穩定的，可以將圖像函數u看作某種特定粒子的強度函數。原始圖像的已知部分可看作通過邊界條件約束的恒定場源。

大多數情況下，原始圖像的已知部分u0是含有噪聲的，因為噪聲將會通過邊界進入修復區域，所以CDD修復方案對噪聲很敏感。為了保證CDD修復效果，需要對圖像做降噪處理。而本文采用經分解后，結構部分相當于已經進行了降噪處理。曲率驅動擴散的流動場為：

3 紋理部分修復

對于紋理圖像經常采用紋理合成的方法進行修復，但目前沒有很好的相似性度量函數，大部分采用的是顏色平方差的和（sum of squared difference，簡稱 SSD），該度量函數不符合人的視覺特性。紋理是物體表面不規則程度的一種度量，而圖像的分形維數正好反映這種變化，它與人類視覺系統對圖像紋理粗度的感知是一致的，因此本文提出一種以分形維度作為相似性度量函數的方法，用來實現紋理部分修復。

修復順序是本算法的關鍵，文獻[5]基于等照度線和樣本的方法，對邊界點進行優先級計算。給定一個點p∈?Ω，定義p的優先級 P（p）=c（p）D（p），并有

本文在紋理匹配時根據圖像修復得到分形維度（FD）。對于Ψp中的每一個未知像素，以圖像修復的結果作為它的已知值，并與Ψq（Pq∈Ψq，q∈I-Ω，Ψq中的每一個點為已知）中的點進行比較， FD（Ψp，Ψq）=FP-Fq（?p∈φp，?p∈φq）。尋找與Ψp間最小的FD，Ψq對Ψp進行紋理填充。

4 數值分析

對于（2）式求解，設迭代的初始條件為：u0=f，g01=

令 ui，j=u（ih，jh）， fi，j=f（ih，jh），g1，i，j=g1（ih，jh），g2，i，j=g2（ih，jh），其中 h＞0，表示步長，（ih，jh），表示離散點。對于 0≤i，j≤M，為了能夠簡單的表示，引入記號 H由以上符號定義，可以將離散的方程表示如下：

經推導最終可得

通過（13）式可以計算出分量u和v，參數選擇如下，通常h=1，迭代次數 n=100，p=1。

對（7）式的求解采用中心差分法，以下迭代算法如下：

其中 Δt為時間步長，（n）表示在 nΔt的采樣，接下來進行時域離散化。

隨著時間步長的增長，圖像函數u能夠穩定的收斂于最終的結果。通常用來解決大尺度圖像。因此有必要研究如何提高速度。

本文采用了的一項簡單的技術就是在使用CDD時間匹配的開始就用一個好的初始值u（u，0）。首先運行TV模型，其輸出結果作為好的初始猜測饋入到CDD修復過程中。由于TV修復模型是二階的，時間匹配步驟可以比三階的CDD更大，輸出收斂更快。對于TV修復模型，除了時間匹配方法，Chan和Shen通過線性化和放寬技術也直接解出其穩態方程解。

分形維度計算采用文獻[6]給出的公式：

5 結論

本節給出采用本文提出的先分解成結構和紋理，然后分別采用BSCB修復模型和以形維度的相似度數的紋理部分修復，圖1中（a）為原始圖像，圖像分解時參數選擇為：h=1，迭代次數 n=100，p=1，（b）和（c）分別表示受損圖像的結構部分和分，實驗表明這種方法實現分解效果明顯，所得（c）的紋理圖像紋理性非常明顯，接近標準性紋理。采用BSCB算法修復結構部分迭代次數 n=100，結果如（d）所示。（e）是以分形維度作為相似度度量函數的修復結果，圖（f）表示f=u+v，即合成結果。

圖1 圖像修復Fig.1 Image restoration

[1]Chan T F，Shen J H.Non-texture inpainting by curaturedriven diffusions[J].Journal of Vision communication and Image Representation，2001，12（4）：436-449.

[2]Luminita A V，Osher S J.Modeling textures with total variation minimization and oscillating patterns in image processing[J].Journal of Scientific Computing，2003，19 （1）：553-572.

[3]Meyer Y.Oscillating patterns in image processing and nolinear evolutionequations[D].AMSuniversityLectureSeries，2002.

[4]Potlapalli H，Luo R C.Fractal-based classification of natural textures[J].IEEE transanctions on Industrial Electronics，1998，45（1）：142-150.

[5]Cisi A，Perez P，Toyama K.Object removal by exemplarbased inpainting[C]//Proceedings of Euro，2003.