一種超混沌自動(dòng)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析

伍俊杰，孫友林，陳 君

（廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 510006）

與混沌系統(tǒng)相比，超混沌系統(tǒng)具有2個(gè)或2個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)，相軌在更多方向上分離，其動(dòng)力學(xué)行為更為復(fù)雜。復(fù)雜的超混沌系統(tǒng)集可提高混沌保密通信和混沌信息加密的安全性。因此，對(duì)超混沌系統(tǒng)的研究將是保密通信安全領(lǐng)域中混沌應(yīng)用的一個(gè)重要課題[1-7]。

由于混沌系統(tǒng)具有對(duì)初始值高度敏感的特性，現(xiàn)在，混沌系統(tǒng)的保密安全性利用越來(lái)越多，越來(lái)越多的人也開(kāi)始研究一些方法去生成混沌系統(tǒng)。但是，超混沌系統(tǒng)的生成仍是一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)，迄今仍沒(méi)有一個(gè)生成超混沌系統(tǒng)的系統(tǒng)方法[2-3]，但越來(lái)越多的研究人員開(kāi)始對(duì)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究，希望通過(guò)對(duì)超混沌系統(tǒng)的研究，合得通信保密領(lǐng)域的安全性能進(jìn)一步加強(qiáng)。

提出了一種實(shí)現(xiàn)超混沌的自動(dòng)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)，將一種超混沌系統(tǒng)利用開(kāi)關(guān)函數(shù)自動(dòng)轉(zhuǎn)換為另外一種超混沌系統(tǒng)，用matlab對(duì)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行仿真，對(duì)超混沌系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，通過(guò)觀察超混沌系統(tǒng)吸引子相圖和Lyapunov圖并進(jìn)行分析研究，理論分析結(jié)果與仿真結(jié)果完全一致。

1 超混沌系統(tǒng)自動(dòng)轉(zhuǎn)換模型構(gòu)造及分析

文獻(xiàn)[4]中構(gòu)造的超混沌系統(tǒng)：

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù) a=15，b=50，c=6，d=0.4，m=17 時(shí)，系統(tǒng)（1）處于超混沌狀態(tài)[4]，計(jì)算機(jī)仿真表明，此時(shí)系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)為：LE1=1.383 5，LE2=0.119 6，LE3=-0.284 7，LE4=-21.218 4，其超混沌吸引子的計(jì)算機(jī)仿真圖如圖1所示。

在系統(tǒng)（1）中，把第3個(gè)方程中的非線性項(xiàng)xy變成x2，其他不變，得到如下新的超混沌系統(tǒng)：方程的維數(shù)不小于4；系統(tǒng)方程至

少有3個(gè)非線性乘積項(xiàng)。在與系統(tǒng)（1）相同的參數(shù)條件下，系

圖1 系統(tǒng)（1）各平面吸引子相圖Fig.1 System （1） phase diagrams of the plane attractors

產(chǎn)生超混沌吸引子的幾個(gè)必要條件：具有耗散結(jié)構(gòu)，即統(tǒng)（2）△V=-a+1-c+m=-15+1-6=-20＜0，且系統(tǒng)維數(shù)為 4，有 3個(gè)非線性項(xiàng)，故滿足超混沌的幾個(gè)必要條件，故系統(tǒng)（2）有可能導(dǎo)致超混沌產(chǎn)生。若系統(tǒng)（2）Lyapunov指數(shù)有兩個(gè)為正，則能產(chǎn)生超混沌。計(jì)算機(jī)仿真表明，系統(tǒng)（2）的Lyapunov指數(shù)為：LE1=2.602 2，LE2=2.483 5，LE3=-2.521 2，LE4=-22.503 5，其超混沌吸引子的計(jì)算機(jī)仿真如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)（2）各平面吸引子相圖Fig.2 System （2） phase diagrams of the plane attractors

文獻(xiàn)[5]中，利用1個(gè)開(kāi)關(guān)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了由2個(gè)超混沌系統(tǒng)組成的自動(dòng)切換超混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[5]使用的開(kāi)關(guān)函數(shù)為：

本文構(gòu)造的開(kāi)關(guān)函數(shù)為：

系統(tǒng)（1）到系統(tǒng)（2）的超混沌自動(dòng)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)如下：

在系統(tǒng)（1）和系統(tǒng)（2）相同的參數(shù)條件下，經(jīng)計(jì)算機(jī)仿真表明，系統(tǒng)（5）的 Lyapunov 指數(shù)為：LE1=2.425 6，LE2=2.417 8，LE3=-3.247 8，LE4=-22.502 6。 此時(shí)，系統(tǒng)（5）也處于超混沌狀態(tài)。 當(dāng) x≥0，系統(tǒng)（5）運(yùn)行子系統(tǒng)（2）狀態(tài)；當(dāng) x<0，系統(tǒng)（5）運(yùn)行子系統(tǒng)（1）狀態(tài)。因此，在整個(gè)混沌系統(tǒng)過(guò)種中，即t→∞過(guò)程中，系統(tǒng)（5）一直在子系統(tǒng)（1）與子系統(tǒng)（2）之間隨機(jī)轉(zhuǎn)換[5]。

圖3 自動(dòng)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)各平面吸引子相圖Fig.3 Automatic conversion system phase diagrams of the plane attractors

2 Lyapunov指數(shù)譜及其分析

系統(tǒng)（2）的Jacobia矩陣為：

系統(tǒng)（5）的Jacobia矩陣為：

經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，系統(tǒng)（2）的Lyapunov指數(shù)如圖4，系統(tǒng)（5）的 Lyapunov 指數(shù)如圖 5。 其中系統(tǒng)（2）和系統(tǒng)（5）都有兩個(gè)正的 Lyapunov 指數(shù)（LE1，LE2），有兩個(gè)負(fù)的 Lyapunov 指數(shù)（LE3，LE4）。

利用Lyapunov指數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，對(duì)于平衡點(diǎn)有LE40，LE2=0，LE4LE2>0，LE4

圖4 系統(tǒng)（2）Lyapunov指數(shù)Fig.4 Lyapunov index of system （2）

圖5 系統(tǒng)（5）Lyapunov指數(shù)Fig.5 Lyapunov index of system （5）

3 結(jié)束語(yǔ)

構(gòu)造了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)，它與已有的超混沌系統(tǒng)構(gòu)成了一個(gè)自動(dòng)轉(zhuǎn)換超混沌系統(tǒng)，分析了新的超混沌系統(tǒng)與自動(dòng)轉(zhuǎn)換超混沌系統(tǒng)的Lyapunov圖及吸引子相圖，將這個(gè)超混沌自動(dòng)轉(zhuǎn)換系統(tǒng)應(yīng)用于保密通信，可以增強(qiáng)通信的安全性，使得系統(tǒng)間的切換更加靈活，從而使通信系統(tǒng)更難以被破解。因此這種可以自動(dòng)切換的超混沌系統(tǒng)具有潛在的應(yīng)用前景。

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