基于最大似然算法的OFDM頻偏估計研究

趙 黎，張 燕，石介沛，祝 捷

（1.西安工業大學 電子信息工程學院，陜西 西安 710032；2.陜西工業職業技術學院 電氣工程系，陜西 咸陽 712000；3.蘭州軍區 68026部隊，甘肅 蘭州 730000）

OFDM系統相對于單載波系統而言，具有頻譜利用率高、抗干擾能力強的優點，但是由于OFDM系統采用多個頻譜互相混疊的正交子載波進行調制，因此其對同步誤差比單載波系統更加敏感，即OFDM的高頻譜利用率和傳輸可靠性均是以子載波間的正交性為基礎的，當接收端與發送端存在頻偏時，子載波間的正交性就會遭到破壞，導致嚴重的子載波間干擾，從而對系統造成非常嚴重的影響［1］。

為了能夠有效地消除符號間干擾，幾乎所有OFDM符號都會引入循環前綴［2］。由OFDM符號的結構可以看出，插入循環前綴后，每對間隔為N的樣值之間都存在相關性，因此可以利用該相關特性進行載波頻率偏差的估計。因此本文利用循環前綴對有用數據重復的幀結構，按照最大似然準則來完成載波頻率偏差的估計。

1 載波頻偏對OFDM系統的影響

在OFDM系統中，收發端均有各自的本地晶振，由于發射機和接收機晶體振蕩器的不同步造成子載波頻率發生偏移，OFDM各子載波之間的正交性受到破壞，引起嚴重的載波間干擾，使解調性能急劇惡化［3-4］。圖1給出了載波頻偏對OFDM系統影響的示意圖，當接收端和發射端采樣頻率一致，即不存在載波頻偏時，如圖1(a)所示，各個子載波間就不會存在干擾；如果存在載波頻偏，信號的采樣點就會出現偏離，采樣的幅度下降，子載波之間就會存在相互干擾。假設發射端調制載波與接收端解調載波之間的絕對頻偏為，f 為發射端調制載波的頻率，為接收端解調載波的頻率，T為一個OFDM符號的持續時間。通常載波頻偏表示為時域上接收信號的相位旋轉，所以當存在頻率偏移ε=時，接收到的時域信號為：

圖1 載波頻偏對OFDM系統影響的示意圖Fig1 Influences caused by frequency offset

其中 w（n）表示噪聲，ε1為整數頻偏，ε2為小數頻偏。

上式中第一項為有用信號，Ik為頻偏ε引起的載波間干擾ICI：

由式（3）可以發現，當系統僅存在整數倍頻偏時，Ik=0，Rk=Sk-ε1Hk-ε1+Wk，即整數倍頻偏只會引起接收信號在頻域內發生偏移，并不會破壞子載波之間的正交性，頻率采樣點偏移了ε1個子載波位置，使映射到OFDM頻譜內的數據符號循環移位。當系統存在小數頻偏時，有用信號的幅度衰減了相位偏移了 πε2（1-1/N），同時子載波的正交性遭到了破壞，引起了ICI，使信噪比降低。

由以上分析可以看出，載波頻率偏差的影響主要有兩種［5］：1）使系統信噪比下降，衰減了有用信號；2）帶來了嚴重的載波間干擾。

2 基于最大似然的頻偏估計

基于循環前綴的ML（Maximum Likelihood ML）估計算法，即最大似然估計算法，是Van de Beek等提出的一種用于OFDM系統的同步算法，它是利用循環前綴對有用數據重復的幀結構，按照最大似然準則來完成載波頻率偏差估計的方法[6]。

對于含有N個子載波，循環前綴長度為L的OFDM系統中，每個OFDM符號的實際長度為N+L個樣值。經過信道傳輸后，接收到存在定時偏差和頻率偏差的時域信號可表示為：

其中d是符號定時同步點，即OFDM符號的起始位置。Δfc表示相對頻偏，η（n）為均值為零的高斯白噪聲。如圖2所示為包含2N+L個樣值的符號r（n），該符號中包含一個完整的N+L個樣值的OFDM符號，圖中集合I中的元素與集合I′相同。

圖2 帶有循環前綴的OFDM符號結構圖Fig.2 OFDM symbol with cyclic prefix

設 f（r|d，Δfc）為給定符號起始時間 d和頻率偏差 Δfc條件下，2N+L個抽樣點的聯合條件概率密度函數，則對數似然函數 Λ（d，Δfc）被定義為概率密度函數 f（r|d，Δfc）的對數，即：

最大似然估計是要估計出使對數似然函數Λ（d，Δfc）取得最大值時d和Δfc的取值，由于乘積項是對所有2N+L個樣值點求乘積，因此與符號起始時間d無關；假設信源為獨立等概分布，則r（n）的實部和虛部相互獨立，所以值與頻率偏差Δfc也無關。因此省去項并不會影響對d和 f（r（n））的估計。 所以，上式可簡化為：

根據圖2定義的OFDM符號結構，上式可簡化為：

其中ρ表示r（n）和r（n+N）之間的相關系數的幅度，由SNR 確定。 c1和 c2都是常數，并且 c1，c2＞0，因此其取值不會對最大似然判決產生影響，式(7)可簡化為：

定義：

∠γ（d）表示復數 γ（d）的輻角。 γ（m）表示連續 L 個相距為N的樣值對之間的相關值之和，式(8)的第一項為γ（m）的加權模值，其中權值由頻率偏差來決定，第二項是獨立于頻率偏差的能量項，取決于相關系數ρ。

最大似然算法要同時估計符號定時同步位置和載波頻率偏差，因此對數似然函數的最大化過程應該分兩步來實現，即

當符號起始時間d已知的情況下，要實現（8）的最大化，必須使其中的 cos項為 1，即 2π△fc+∠γ（d）=2nπ，n 為整數，對其進行計算可以得到頻率偏差△fc的最大似然估計值為：

通常，載波頻率偏差應該在一個較小的范圍內，故取n=0，所以，

第二步，估計定時偏差，令式（8）中的cos項為1，則定時偏差d的最大似然函數為：

在利用最大似然算法進行符號定時和載波頻率聯合估計時，首先將接收信號的2N+L個抽樣點存儲在緩存器里，分別按（9）、（10）式計算 γ（m）和 φ（m），然后按（15）、（16）式作估計。

3 仿真分析

為了驗證ML算法對載波頻偏估計的性能，本文采用Monte Carlo方法對其進行了仿真驗證，仿真參數為：子載波數N=1 024，保護間隔長度L=24，載波頻率偏差△f=0.25，SNR=15 dB。圖3（a）為根據式（15）確定的符號定時同步位置的示意圖，可以看出當最大似然函數值達到最大的時候恰好是一個符號的起始位置，圖3（b）為在此位置上，根據式（16）得到的載波頻率偏差的最大似然估計值，由圖中可以看出，在符號起始位置處所估計出的載波頻偏恰好等于0.25，即基于ML的估計算法可以很好地對系統載波頻偏進行估計。

圖3 最大似然估計聯合確定符號定時與載波頻率偏差的示意圖Fig.3 Diagram of determining timing and frequency offset using ML algorithm

4 結束語

由于OFDM各子信道帶寬較小，其對載波頻偏的敏感程度非常高，因此需要非常精確的載波同步。本文首先分析了載波頻偏對OFDM系統的影響，然后根據OFDM符號的特殊結構，采用最大似然估計算法對OFDM系統頻率偏差進行了有效的估計，最后通過Monte Carlo方法對其進行了仿真驗證，結果表明最大似然算法可以有效的估計出載波頻率偏差的大小。

[1]尹長川，羅濤，樂光新.多載波寬帶無線通信技術[M].北京：北京郵電大學出版社，2004：42-43.

[2]Peled A.Ruiz A.Frequency domain data transmission using reduced computational complexity algorithms [C]∥Proc.IEEE Int.Conf.Acoust Speech Signal Processing， Denver，Co,1980：964-967.

[3]Moose P H.A technique for OFDM frequency offset correction[J].IEEE Transactions on Communications，1994， 42 （10）：2908-2914.

[4]Wei L，Schlegel C.Synchronization requirements for multiuser OFDM on satellite mobile and two Path Rayleigh fading channels[J].IEEE Transactions on Communications，1995（43）：887-895

[5]趙黎.FSO-OFDM系統關鍵技術研究[D].西安：西安理工大學，2009.

[6]Van De Beek J J，Sandell M,Borjesson P O.Ml estimation of time and frequency offset in OFDM systems[J].IEEE Transactions on Broadcasting， 1997， 45（7）：1800-1805.