非等模數非等壓力角NGW型行星齒輪系靜力學均載行為

葉福民 ，朱如鵬，鮑和云

(1. 南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京，210016；2. 江蘇科技大學 機械工程學院，江蘇 鎮江，212003)

非等模數非等壓力角的齒輪傳動是指嚙合的一對齒輪滿足法節相等的嚙合條件，但齒輪的模數與壓力角并不相等。針對航空產品需要質量小、體積小、承載能力大的行星傳動系統的要求，采用內外嚙合副的模數與壓力角都不相等的設計，可以增加內外嚙合副的重合度，綜合提高齒輪的承載能力[1]。在行星傳動系統中，由多個行星輪形成的功率分流，理論上行星輪可以共同分擔載荷。實際上，由于制造與安裝偏心誤差和齒形誤差的影響，載荷在各路傳動上的分配很難均勻。最常用的方法是依靠基本構件的浮動，達到載荷分流均衡的目的[2-7]。20世紀90年代，Timothy[3]開始對齒輪傳動的均載性能開始進行研究；Kahraman等[4-5]對行星齒輪裝置進行了靜態力學分析和實驗，在該模型中，考慮了齒輪的位置度偏差和齒形誤差；陸俊華等[6]用靜態力學的方法，對行星輪系中各種均載機構中誤差和均載系數的關系進行了研究；袁茹[8]等研究了浮動構件的支承剛度對行星齒輪功率分流動態均衡性的影響；另外，有許多研究者[7-15]從靜力學或者動力學角度出發，研究了各種誤差、浮動量和構件剛度對行星齒輪或星型齒輪功率分流均衡性的影響。他們研究側重點各有不同，建立的模型也有較大差別。本文針對非等模數非等壓力角行星齒輪系，考慮齒輪的偏心誤差和齒頻誤差、齒輪副的嚙合剛度、各構件的支撐剛度以及輸入軸、輸出軸的扭轉剛度等，建立了靜力學平衡方程，求解方程并對行星齒輪系統的均載性能進行定量評價，尤其對在齒輪系的模數與壓力角是否相等、齒輪壓力角發生較大改變等情況下的均載效果進行比較，以便為非等模數非等壓力角行星齒輪系的均載機構設計和浮動量確定提供依據。

1 系統的等效力學模型

圖1所示為行星傳動系統的傳動簡圖，輸入扭矩TD經太陽輪Z分流給行星輪Zpi(i=1, 2, …, N；N為行星輪個數)，再由內齒輪ZI匯流到行星架C上，傳送到輸出扭矩TL。該輪系的太陽輪、行星架和行星輪的中心在外力作用下，均有切向、徑向及扭轉方向的浮動能力，以此來緩沖輪系各構件間沖擊力，減小了行星輪所受載荷的不均勻性。

圖1 行星傳動系統的傳動簡圖Fig.1 Sketch map of planetary gear train

圖2 所示為系統靜力學均載的計算模型。將行星齒輪系的各構件看作剛體，采用集中質量模型，不計齒輪側隙與摩擦力的影響，建立以行星架轉速ωc旋轉的動坐標系，嚙合副、回轉副及支承處的彈性變形用等效彈簧剛度表示。其中：Ksp為太陽輪和行星輪間的等效嚙合剛度；KpI為行星輪和內齒輪間的等效嚙合剛度；Ks，Kc和Kp分別為太陽輪，行星架和行星輪支承處的支撐剛度。齒輪副的嚙合剛度由GB 3480—97進行計算，支撐剛度由文獻[16]中所述方法計算。

該系統共有(8+3N)個自由度，廣義坐標為：

式中：xs，Hs和Vs分別為太陽輪沿嚙合線方向、中心橫向和中心縱向微位移；xpi，Hpi和 Vpi分別為第 i個行星輪沿嚙合線方向、中心徑向和中心切向微位移；xc，Hc和Vc分別為行星架的切向、中心橫向和中心縱向微位移；xD和 xL分別為輸入和輸出軸的等效微位移；內齒輪固定，故不考慮其各項位移。

圖2 系統的靜力學均載計算模型Fig.2 Static analysis model of planetary gear train

2 系統的嚙合角計算

非等模數非等壓力角齒輪副，即使在不變位的情況下，它們的分度圓也是不相切的，此時，嚙合角不等于任何一個齒輪壓力角?？赏茖С鲎兾粫r的齒輪副無側隙嚙合方程式：

式中：invα為漸開線函數，invα = tanα-α，α為嚙合角；x1和x2為該對齒輪的變位系數；α1和α2為該對齒輪的壓力角；z1和 z2為該對齒輪的齒數；“+”用于外嚙合副，“–”用于內嚙合副。

對于行星齒輪系統，齒輪的變位系數、壓力角和齒數分別為xj，αj和zj(j對應s, pi, I，分別表示太陽輪、行星輪和內齒輪)，由式(2)可以計算出該行星齒輪系的內外嚙合的實際嚙合角α2′和α1′。

3 系統的嚙合力確定

齒輪副在轉動時，內外嚙合線上的嚙合力由各構件在嚙合線上的相對位移和嚙合剛度確定。嚙合線上相對位移由各構件中心橫向(或徑向)位移與縱向(或切向)位移的等效位移、各齒輪誤差的等效位移、齒輪嚙合線上的相對轉動位移而構成。

基本構件浮動會引起中心位移的變化，忽略各齒輪中心移動時引起嚙合角的微小變化，將各構件的中心位移投影到嚙合線上。由嚙合的幾何關系，太陽輪和行星輪浮動引起的內外嚙合線上的側隙改變量Ipiδ和ispδ為：

式中：φi為各行星輪的位置角，φi=2 π (i -1)/N，i=1, 2, …, N。

各齒輪偏心誤差的激勵體現在嚙合線方向上的位移激勵，需將其投影到嚙合線方向上。齒輪誤差種類很多，為便于研究，本文進行簡化處理，認為行星架安裝和制造偏心誤差均包含在太陽輪和內齒輪的偏心誤差中，只需考慮各個齒輪的偏心誤差影響即可，其值可用其齒圈的徑向跳動公差的一半來表示；齒輪傳動的齒頻誤差可用齒形偏差來表示[15]，于是，內外嚙合線上產生的當量累計嚙合誤差 epiI和 espi分別為：

式中： EpiI和 Espi分別為內、外嚙合副的齒頻誤差；φpiI和φspi為初相位；Es，Epi和EI分別為各齒輪的偏心誤差；φs，φpi和φI為初相位；ω為行星輪系的嚙合齒頻；為各構件相對于行星架的轉速(j為s, pi,I)。t為時間。

行星傳動中由轉動位移引起的齒輪副內外嚙合線方向的相對位移Ipix 和ixsp分別為：

再由式(3)～(5)得內外嚙合線上的嚙合力 PpiI和Pspi為：

其中：i=1, 2, …, N。

4 均載的力學方程與求解

選擇合適的坐標系，建立系統的靜力平衡方程組：

式中：KD和KL分別為輸入端與太陽輪之間和輸出端與行星架之間軸的扭轉剛度；rbs和 rbc分別為太陽輪的基圓半徑和行星架的等效基圓半徑；FD和 FL分別為輸入轉矩和負載轉矩的等效力，FD=TD/rbs，FL=TL/rbc。

求解方程組(7)得到廣義坐標 X的值，代入式(3)～(6)得內外齒輪副的嚙合力IpiP 和iPsp，再由式(8)得到第i(i=1, 2, …, N)個行星輪的均載系數iΩp為：

定義行星輪均載系數的最大值為系統的均載系數，即maxp)(iΩΩ=。

5 參數影響分析

某行星齒輪減速器的功率為250 kW，輸入軸轉速為12 000 r/min，行星輪個數為3，采用非等模數非等壓力角結構，系統主要參數如表1所示。

表1 系統的主要參數Table 1 Primary data of planetary gear train

此時的分度圓齒寬系數為0.12，計算出內外嚙合剛度KpI和Ksp分別為1.718×108和4.026×108N/m；太陽輪和行星輪的支承剛度Ks和Kp分別為7.887×107和 4.095×107N/m；輸入軸和輸出軸的扭轉剛度 KD和KL分別為 5.26×105和7.46×105N·m/rad；行星架支承剛度Kc為1.119×108N/m。各齒輪的精度等級均為5級，由齒輪標準查得相應誤差并計算，結果如表2所示。誤差相位隨機產生。經計算得各行星輪的均載曲線如圖3(a)所示，系統的均載系數為1.022 1。

表2 偏心誤差與齒頻誤差Table 2 Values of eccentric error and tooth-frequency error μm

5.1 與等模數等壓力角均載的比較

承載相同扭矩條件下，采用等模數等壓力角的原設計，太陽輪、行星輪和內齒輪的齒數分別為20，40和100，模數為2.4，壓力角為20°，齒寬系數與前面的相同，重新計算嚙合剛度、支撐剛度和扭轉剛度等。齒輪精度及各構件誤差與前面的相同，計算得各行星輪的均載曲線如圖3(b)所示，系統的均載系數為1.024 5。這是由于齒數、模數和壓力角等的改變，各種位移在嚙合線上的分量產生了變化，內外嚙合線上的嚙合力與均載系數可能隨之發生改變。這里，后者比前者均載系數有所增大，故采用非等模數非等壓力角的新型設計，在滿足承載能力且系統體積最小時，均載效果有所改善。

圖3 各誤差共同作用下的均載系數Fig.3 Coefficient of load sharing under errors

5.2 分度圓壓力角對均載的影響

研究非等模數非等壓力角行星齒輪系中壓力角對均載系數的影響。為便于比較，設計承載相同扭矩，保持齒寬系數相同，同時各齒輪的齒數不變。(1) 外嚙合相等內嚙合不等，即太陽輪壓力角與行星輪相同，均為20°，內齒輪壓力角3α分別在21°～25°之間變化，如表 3所示；(2) 外嚙合不等內嚙合相等，即行星輪壓力角與內齒輪相同，均為20°，太陽輪壓力角1α分別在21°～25°之間變化，如表4所示。

壓力角變化時，模數也隨之變化，均載系數如表3和表4所示。由此可見：采用非等模數非等壓力角的設計，即使壓力角變化幅度大(文中驗證的壓力角范圍為 21°～25°，對于滿足承載能力和嚙合條件的更大壓力角范圍，文中未列出)，均載系數的變化較小，因此該設計在顯著減小系統體積的同時，均載效果不會因為壓力角的改變而變壞。

表3 不同內齒輪壓力角下的均載系數Table 3 Coefficient of load sharing under different pressure angles of ring gear

表4 不同太陽輪壓力角下的均載系數Table 4 Coefficient of load sharing under different pressure angles of sun gear

5.3 齒輪偏心誤差對均載的影響

研究各構件誤差對均載系數的影響，為了便于比較，改變被研究構件誤差為6 μm，同時保持表1中其他誤差不變，圖4(a)～(c)所示為各偏心誤差作用時各行星輪的均載曲線。從圖4可見：太陽輪的偏心誤差對均載影響最大，內齒輪次之，行星輪最小。此時系統的均載系數分別為1.032 6，1.030 6和1.025 6。由于太陽輪質量小，體積也小，太陽輪浮動較內齒輪浮動方便，應用也更為廣泛，必要時可選擇內齒輪浮動的機構[2]。

研究各行星輪偏心誤差或齒形誤差不同時系統均載系數的變化。為與圖 4(c)比較，改變行星輪偏心誤差分別為6，3和3 μm，均載系數為1.031 8(齒頻誤差作用時沒有列圖)，如圖4(d)所示。因此，在系統進行裝配時，應盡可能保證行星輪誤差大致相同，以有利于傳動系統的均載效果。

圖4 不同單個誤差的均載系數Fig.4 Coefficient of load sharing under different eccentric errors

5.4 剛度對均載的影響

由于太陽輪、行星輪具有較大的浮動量，均載效果較好，內外嚙合的嚙合剛度變化對均載效果影響不大。而隨著太陽輪和行星輪支撐剛度增大，系統均載效果逐漸變差，如表5和表6所示。文獻[12]通過齒輪的浮動量考察了太陽輪支撐剛度與均載的關系，其結果與本研究結果一致。因此，在布置太陽輪和行星輪時，應盡量采用柔性布置，比如太陽輪與輸入軸間可以增加雙齒聯軸器等[2]。行星架支撐剛度和輸入和輸出軸的扭轉剛度影響輸入和輸出端的動力藕合，而對均載效果影響不大。

表5 太陽輪支撐剛度與均載系數Table 5 Coefficient of load sharing and sun support stiffness

表6 行星輪支撐剛度與均載系數Table 6 Coefficient of load sharing and planets support stiffness

6 結論

(1) 建立了非等模數非等壓力角 NGW 型行星齒輪系的計算模型和靜力學方程；對方程進行求解并與等模數等壓力角齒輪系的均載效果進行了比較；討論了壓力角、齒輪誤差、嚙合剛度與支撐剛度對該系統均載特性的影響。

(2) 非等模數非等壓力角行星齒輪系的設計與等模數等壓力角齒輪系相比，在質量減小、承載能力提高的同時，均載效果還能有所改善，它為該齒輪系在航空產品上的應用提供了理論支持。

(3) 非等模數非等壓力角行星齒輪系的設計時，嚙合齒輪壓力角可能不相等，且有較大的變化幅度，它的改變對于均載影響不大，均載特性不會隨著壓力角改變而產生較大的波動。

(4) 太陽輪和內齒輪的浮動對系統的均載性能影響較大；減小太陽輪和行星輪支撐剛度均有利于系統的均載。

(5) 傳動系統進行裝配時，選擇相同誤差的行星齒輪，其對系統的均載效果明顯，在實際生產中，可以選擇同一批次的行星齒輪，以保證誤差的一致性。

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