基于改進(jìn)HHT方法的密集模態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別

黃天立，邱發(fā)強(qiáng)，樓夢(mèng)麟

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410075；2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200092)

Hilbert-Huang變換(Hilbert-Huang transform，HHT)[1-2]是一種全新的數(shù)據(jù)處理方法，由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Empirical mode decomposition，EMD)方法及 Hilbert變換(HT) 2部分組成，其基本思想是將時(shí)間序列通過經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獬蓴?shù)個(gè)固有模式函數(shù)(Intrinsic mode function，IMF)，然后，利用 Hilbert變換構(gòu)造解析信號(hào)，得出時(shí)間序列的瞬時(shí)頻率和振幅，進(jìn)而得到Hilbert譜。EMD分解是依賴數(shù)據(jù)本身的時(shí)間尺度特征進(jìn)行的，比傅里葉分析及小波分析更適合于處理非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。目前，此方法已在振動(dòng)工程、結(jié)構(gòu)損傷診斷、系

統(tǒng)識(shí)別[3-7]等許多工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。Yang等[3]利用 HHT方法系統(tǒng)研究了線性多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別問題，提出了識(shí)別結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)(頻率、振型、阻尼)和物理參數(shù)(質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣)的方法；陳雋等[4-5]研究了 HHT方法在模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用，并特別針對(duì)密頻結(jié)構(gòu)的阻尼識(shí)別問題進(jìn)行探討，發(fā)現(xiàn)基于 HHT的方法較傳統(tǒng)方法具有良好的識(shí)別密頻結(jié)構(gòu)阻尼的性能；黃天立等[6]研究了HHT方法在非線性多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別中的應(yīng)用；Yan等[7]比較研究了小波變換和 HHT方法在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的相關(guān)問題。從這些基于 HHT方法的模態(tài)參數(shù)識(shí)別研究結(jié)果可以看出，HHT方法能否較好地識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)在很大程度上取決于 2個(gè)因素：(1)EMD的模態(tài)分解能力或帶通濾波等前處理工具的模態(tài)分解能力；(2)EMD分解所得代表結(jié)構(gòu)模態(tài)響應(yīng)的IMF分量的質(zhì)量。關(guān)于 EMD的模態(tài)分解能力問題，大量的實(shí)踐和理論分析結(jié)果[8]表明：EMD的模態(tài)分解能力與信號(hào)中不同模態(tài)的頻率之比密切相關(guān)。2個(gè)頻率成分之間的頻率之比越大，則 EMD完全分離這兩階模態(tài)的可能性越大，反之越小。為此，本文作者采用波組(Wave group)信號(hào)前處理工具[9]予以處理，通過對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行相應(yīng)處理，使原始信號(hào)中各密集頻率成分之間的比值加大，從而能很好地適應(yīng) EMD有限的模態(tài)分解能力。關(guān)于EMD分解所得IMF分量的質(zhì)量問題，文獻(xiàn)[10]的研究結(jié)果表明：EMD分解不能保證信號(hào)分解的能量守恒，即所得IMF分量之間的正交在一定程度上影響了模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性和精確性。因此，本文采用正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Orthogonal empirical mode decomposition，OEMD)方法[10]，以獲得完備且完全正交的IMF分量，使其更接近結(jié)構(gòu)的真實(shí)模態(tài)響應(yīng)，從而使得模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果更加穩(wěn)定、精確。為敘述方便，將波組信號(hào)前處理結(jié)合正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸獾姆椒ǚQ為改進(jìn)的HHT方法。

1 正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?/h2>

1.1 EMD分解

設(shè)X(t)為要分解的時(shí)程信號(hào)，EMD分解信號(hào)的步驟如下。

(1) 確定X(t)的所有極大、極小值點(diǎn)，用三次樣條函數(shù)曲線分別連接極大、極小值點(diǎn)形成上、下包絡(luò)線，求出上、下包絡(luò)線的均值線 m1(t)，定義 X(t)與 m1(t)的差為h1(t)=X(t)-m1(t)。若h1(t)滿足如下2個(gè)條件：① 在整個(gè)時(shí)程中，極值點(diǎn)數(shù)目和過零點(diǎn)數(shù)目相等或最多相差1個(gè)；② 在任意點(diǎn)，由局部極大值點(diǎn)和局部極小值點(diǎn)構(gòu)成的2條包絡(luò)線平均值為0，則h1(t)為第1階IMF分量。一般來說，h1(t)并不滿足上述條件，則將h1(t)看作新的時(shí)程曲線，重復(fù)上述篩選過程。假設(shè)重復(fù)k次后，h1k(t)= h1(k-1)(t)- m1k(t)滿足上述條件，則令c1(t)= h1k(t)為X(t)的第1階IMF分量。

(2) 令r1(t)=X(t)-c1(t)并將其視作新的時(shí)程信號(hào)，重復(fù)上述過程，即可得到第2階IMF分量c2(t)。當(dāng)?shù)趎階IMF分量cn(t)滿足：① cn(t)或rn(t)小于預(yù)先設(shè)定的數(shù)值；② 殘差rn(t)成為單調(diào)函數(shù)，不可能再?gòu)闹刑崛」逃心Ｊ胶瘮?shù)，或滿足這2個(gè)條件之一時(shí)，則整個(gè)篩選過程完成。

由此，X(t)被分解為n個(gè)IMF分量及余量rn(t)之和。

式(1)中，信號(hào)皆表示時(shí)間的連續(xù)形式。考慮到采集的信號(hào)都是離散的，是在N個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的不同數(shù)值，這里給出信號(hào)的離散向量表達(dá)形式：

1.2 OEMD分解

通過對(duì)EMD分解得到的各階IMF分量進(jìn)行正交化處理，可得到完全正交的各階IMF分量，其步驟如下。

(1) 由EMD分解得到時(shí)程信號(hào)X(t)的第1階IMF分量，記作c1(t)。令c1( t) = c1(t)，稱為時(shí)程信號(hào)X(t)的第1階正交化IMF分量。

(2) r1(t)=X(t)-c1(t)，將r1(t)當(dāng)作一新的時(shí)程信號(hào)進(jìn)行 EMD分解，可得到第 2階初始 IMF分量，記作c2(t)。從形成c2(t)的過程中可以看出：并不能保證c2(t)與c1(t)對(duì)時(shí)間的分布具有正交的性質(zhì)。為了得到時(shí)程信號(hào)X(t)的第2階正交化IMF分量，應(yīng)從c2(t)中消除所含的c1(t)分量，即

式中：c2(t)稱為時(shí)程信號(hào)X(t)的第2階正交化IMF分量；β21稱為c2(t)與 c1(t)之間的正交化系數(shù)。為了得到β21，可將式(2)的兩邊同乘以c1(t)并對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分，利用c2(t)與c1(t)的正交性，得到：

將β21表示成離散形式：

(3) 采用與上述相同的方法，從EMD分解得到時(shí)程信號(hào)X(t)的第j+1階初始IMF分量中消除所有前j階正交化IMF分量，則可得到時(shí)程信號(hào)X(t)的第j+1階正交化IMF分量cj+1(t)(j=2, …, n)。具體的計(jì)算過程如下。

(a) 計(jì)算：

將rj(t)當(dāng)作一新的時(shí)程信號(hào)進(jìn)行EMD分解，可得到第j+1階初始IMF分量，記作。正交化計(jì)算公式為：

(b) 為了得到1,jiβ+，將式(6)兩邊同乘以ck(t)(k≤j)并對(duì)時(shí)間t進(jìn)行積分，利用ck(t)與ci(t)(i≠k)以及cj+1(t)間的正交性，得到：

當(dāng)i=k時(shí)，即可得到：

(c) 將1,jiβ+表示成離散形式：

當(dāng)滿足：①cn(t)或 rn(t)小于預(yù)先設(shè)定的數(shù)值和②殘差rn(t)成為單調(diào)函數(shù)這2個(gè)條件之一時(shí)，則分解終止，整個(gè)篩選過程完成。

經(jīng)過上述步驟以后，X(t)被分解成如下形式：

顯然，分量cj(t)(j=1, 2, …, n)之間是完全正交的，將各 cj(t)分量作線性變換不會(huì)改變各分量之間的正交性，因此，)(t (j=1, 2, …, n)之間是完全正交的。這樣，信號(hào)X(t)被分解成為n個(gè)正交IMF分量)(t (j=1,2, …, n)及余量rn(t)之和。

2 波組信號(hào)前處理方法

EMD的模態(tài)分解能力與信號(hào)中不同模態(tài)頻率之比密切相關(guān)，2個(gè)頻率成分之間的頻率之比越大，則EMD完全分離這兩階模態(tài)的可能性越大，反之便越小。為了增加信號(hào)不同頻率之間的比值，Wang[9]提出了一個(gè)簡(jiǎn)單的針對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行前處理的方法，其基本思想如下。

考慮 1條由 2個(gè)不同頻率余弦信號(hào)構(gòu)成的信號(hào)x(t)，即所謂波組(Wave Group，WG)信號(hào)，

定義頻率比α=ω2/ω1，當(dāng)2個(gè)頻率成分比較靠近時(shí)，頻率之比較小。若將頻率比的分子和分母同時(shí)減去 1個(gè)合適的瞬時(shí)頻率ω0，則頻率比值α=(ω2-ω0)/(ω1-ω0)被顯著放大。對(duì)于實(shí)值信號(hào)，可通過如下步驟來實(shí)現(xiàn)這一基本思想。

(1) 求取實(shí)值信號(hào) x(t)的 Hilbert變換 H[x(t)]，構(gòu)造相應(yīng)的復(fù)解析信號(hào)X(t)為：

(2) 將復(fù)解析信號(hào)X(t)乘以指數(shù)函數(shù) e-iω0t構(gòu)造新的復(fù)解析信號(hào)Z(t)：

這樣就實(shí)現(xiàn)了信號(hào)頻率的下移(Downshifting)。

(3) 通過選擇合適的0ω，使得相應(yīng)的頻率比α增大，則Zr(t)和Zj(t)就能由EMD分解為：

式中：Crk(t)和 Cjk(t)分別為 Zr(t)和 Zj(t)的 IMF分量；rnr和rnj為相應(yīng)的余量。

(4) 將復(fù)解析信號(hào)Z(t)進(jìn)一步表示為：

式中：Ck(t)和Rn為復(fù)數(shù)。

(5) 由式(12)可知：

因此，原始信號(hào)x(t)可表示為：

3 基于改進(jìn)HHT方法的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

從波組信號(hào)前處理方法中看出，該方法的基本思想是對(duì)從原始信號(hào)構(gòu)造出的對(duì)應(yīng)解析信號(hào)的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行 EMD分解，而避免了直接對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行分解所帶來的 EMD頻率分離能力不足問題。由于要進(jìn)行2次EMD分解，故EMD分解所帶來的能量不守恒問題將更加嚴(yán)重，因而，必須采用正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒▽?duì)EMD分解所產(chǎn)生的IMF分量進(jìn)行正交化處理。將正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ㄈ谌肷鲜霾ńM信號(hào)前處理方法之中，對(duì)EMD分解所得IMF分量進(jìn)行正交化處理。最后，從分解所得Ck(t)中選取代表相應(yīng)模態(tài)響應(yīng)的IMF分量，按基于Hilbert變換(HT)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法[6]即可識(shí)別出相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)。

4 數(shù)值算例

考慮圖1所示三自由度密集模態(tài)線性系統(tǒng)，系統(tǒng)物理參數(shù)如下：m1=m2=m3=1 t，k1=k4=30 kN/m，k2=k3=15 kN/m，c1=c4=120 N·s/m，c2=c3=45 N·s/m。計(jì)算得到該系統(tǒng)的各階頻率f1分別為0.672 9，1.180 3和1.303 9 Hz；模態(tài)阻尼比1ξ分別為0.64%，1.11%和1.23%。

圖2所示為在m3上作用脈沖荷載時(shí)的加速度響應(yīng)時(shí)程曲線(信號(hào)采樣頻率為10 Hz，時(shí)間長(zhǎng)度為100 s)及其Fourier幅值譜。由圖2可見：結(jié)構(gòu)的第2和第3階模態(tài)比較密集。

圖1 三自由度密集模態(tài)系統(tǒng)Fig.1 3-DOF system with closely spaced modes

圖2 加速度響應(yīng)及Fourier幅值譜Fig.2 Acceleration response and Fourier amplitude spectrum

對(duì)該加速度響應(yīng)時(shí)程進(jìn)行EMD分解所得前2階IMF分量及其Fourier幅值譜如圖3所示。由第1階IMF分量的Fourier幅值譜可知：第1階IMF分量中包含結(jié)構(gòu)的第2和第3階模態(tài)，這表明EMD不具備將該信號(hào)的第2和第3階密集模態(tài)分離的能力。

本文分別采用3種方法研究該密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別問題。

4.1 帶通濾波+EMD+HT

為增強(qiáng) EMD的分解能力，采用帶通濾波作為前處理工具，而后采用基于 EMD+HT的方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。針對(duì)圖 2所示加速度響應(yīng)信號(hào)，選擇0.50～0.80，1.10～1.20 和 1.25～1.35 Hz 3 個(gè)帶通濾波范圍，分別將該信號(hào)進(jìn)行帶通濾波，得到3條窄帶信號(hào)，然后，將這3條窄帶信號(hào)進(jìn)行EMD分解得到與之相關(guān)系數(shù)最大的 IMF分量代表結(jié)構(gòu)的模態(tài)響應(yīng)，基于HT的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法即可識(shí)別出模態(tài)參數(shù)，識(shí)別結(jié)果如表1所示。

從表1可以看出：第1階模態(tài)的頻率和阻尼識(shí)別結(jié)果較好，而第2和第3階模態(tài)的頻率和阻尼識(shí)別效果均不理想。這主要是結(jié)構(gòu)第2和第3階模態(tài)頻率比較靠近，使得帶通濾波器的參數(shù)取值困難且設(shè)計(jì)出的帶通濾波器效果較差而造成的，因而需要進(jìn)一步改進(jìn)。

圖3 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸釬ig.3 Empirical mode decomposition

表1 密集模態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Table 1 Results of modal parameters of structure with closely spaced modes

4.2 濾波+WG+EMD/OEMD+HT

為了進(jìn)一步增強(qiáng) EMD的分解能力，在濾波的基礎(chǔ)上增加波組信號(hào)前處理(WG)，而后采用EMD/OEMD+HT的方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

(1) 針對(duì)信號(hào)中的第 1階模態(tài)響應(yīng)，選用 10階Chebyshev Ⅱ型低通濾波器，設(shè)定截止頻率為0.8 Hz，得到結(jié)構(gòu)的第1階模態(tài)響應(yīng)，對(duì)其進(jìn)行EMD分解，選擇相應(yīng)的可代表此模態(tài)響應(yīng)分量的IMF分量，按前述基于HT的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行識(shí)別，識(shí)別結(jié)果見表1。結(jié)果表明：第1階模態(tài)的頻率和阻尼識(shí)別結(jié)果很好。

(2) 針對(duì)信號(hào)中的第2和第3階模態(tài)響應(yīng)，選用10階Chebyshev Ⅱ型高通濾波器，截止頻率為0.8 Hz得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng) x(t)及其 Fourier幅值譜，如圖 4所示。從圖4可看出：結(jié)構(gòu)第2和第3階模態(tài)皆包含在此分量中。

(3) 根據(jù)前述波組信號(hào)前處理的基本原理，選擇ω0= 1.0 Hz，使得此兩階密集頻率比由 α =ω3/ω2≈1.1提高到 α =(ω3-ω0)/(ω2-ω0)≈1.6，將圖4所示高通濾波信號(hào)x(t)進(jìn)行Hilbert變換，構(gòu)造出相應(yīng)的解析信號(hào)X(t)，并乘以指數(shù)函數(shù) e-iω0t構(gòu)造出新的復(fù)解析信號(hào) Z (t) = X(t) exp(- iω0t)。Z(t)的實(shí)部和虛部如圖 5所示。

(4) 對(duì)Z(t)的實(shí)部和虛部分別進(jìn)行EMD分解，得到Z(t)實(shí)部和虛部前2階IMF分量；采用OEMD處理后得到實(shí)部和虛部前2階正交IMF分量，如圖6所示。由圖6可見：二者在形狀上差別不大，但幅值上有些差別。這是EMD分解中存在能量泄漏造成的。

圖4 高通濾波后結(jié)構(gòu)響應(yīng)x(t)及其Fourier幅值譜Fig.4 x(t) response after high-pass filtering and Fourier amplitude spectrum

圖5 Z(t)的實(shí)部和虛部Fig.5 Real and imaginary part of Z(t)

圖6 Z(t)實(shí)部和虛部IMF及其正交IMF分量Fig.6 IMF/OIMF components of real and imaginary part of Z(t)

(5) 將按IMF分量或正交IMF分量展開的Z(t)乘以指數(shù)函數(shù) eiω0t即得到以IMF分量或正交IMF分量表示的原始信號(hào)，即

圖7和圖8所示分別為x(t)的前2階IMF/正交IMF分量及其Fourier幅值譜。由圖7和圖8可見：由于采用了波組信號(hào)前處理方法，第2和第3階模態(tài)響應(yīng)得到了較好分離。對(duì)比IMF和正交IMF分量可見：正交IMF分量c1比IMF分量c1有所提高，表現(xiàn)在部分消除了c1分量Fourier幅值譜中代表第2階模態(tài)頻率的小峰值；正交IMF分量c2與IMF分量c2相比沒有太大變化。

(6) 對(duì)此3階IMF/正交IMF分量按基于HT的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法即可識(shí)別出相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)，相應(yīng)的IMF/正交 IMF分量對(duì)數(shù)幅值和相位曲線如圖 9和圖10所示(圖中虛線為實(shí)際曲線，實(shí)線為最小二乘擬合曲線)，識(shí)別結(jié)果見表1。從表1可以看出：

圖7 x(t)前2階IMF分量及其Fourier幅值譜Fig.7 The first two IMF component of x(t) and their Fourier amplitude spectrum

圖8 x(t)前2階正交IMF分量及其Fourier幅值譜Fig.8 The first two OIMF component of x(t) and their Fourier amplitude spectrum

圖9 IMF分量對(duì)數(shù)幅值和相位曲線Fig.9 Log amplitude and phase curve of IMF component

圖10 正交IMF分量對(duì)數(shù)幅值和相位曲線Fig.10 Log amplitude and phase curve of OIMF component

(1) 由于采用了波組信號(hào)前處理使得密集模態(tài)得到了很好分離，因而基于“濾波+WG+EMD/OEMD+HT”的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法優(yōu)于基于“帶通濾波+EMD+HT”的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，且識(shí)別結(jié)果更接近理論值。

(2) 由于基于濾波+WG+OEMD獲得的正交 IMF分量在能量上很好地修正了基于濾波+WG+EMD獲得的IMF分量，因此，基于“濾波+WG+OEMD+HT”的阻尼識(shí)別結(jié)果優(yōu)于基于“濾波+WG+EMD+HT”的阻尼識(shí)別結(jié)果，且識(shí)別結(jié)果更接近理論值。這表明對(duì)IMF分量進(jìn)行正交化處理有利于阻尼的精確識(shí)別。

(3) 在頻率識(shí)別方面，基于“濾波+WG+OEMD+HT”的識(shí)別方法與基于“濾波+WG+EMD+HT”的識(shí)別方法沒有明顯改進(jìn)。

5 結(jié)論

(1) 針對(duì)HHT方法在識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)中存在的EMD模態(tài)分解能力不足以及IMF分量之間不正交這2個(gè)問題，提出了采用波組信號(hào)前處理和正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒ǖ母倪M(jìn)措施即改進(jìn)的 Hilbert-Huang變換方法，并將其應(yīng)用于具有低頻密集模態(tài)的結(jié)構(gòu)參數(shù)識(shí)別。

(2) 由于波組信號(hào)前處理對(duì) EMD模態(tài)分解能力增強(qiáng)，在低頻密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的參數(shù)識(shí)別中，基于改進(jìn)HHT方法的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法優(yōu)于基于HHT的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。

(3) 由于正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸鈱?duì)IMF分量在能量上進(jìn)行修正，基于“濾波+WG+OEMD+HT”的阻尼識(shí)別結(jié)果優(yōu)于基于“濾波+WG+EMD+HT”的阻尼識(shí)別結(jié)果，且識(shí)別結(jié)果更接近理論值。

[1] Huang N E, Shen Z, Long S R, et al. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analysis[J]. Proc R Soc Lond A, 1998,454: 903-995.

[2] Huang N E, Shen Z, Long S R. A new view of nonlinear water waves: the Hilbert Spectrum[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1999, 31: 417.

[3] Yang J N, Lei Y, Pan S, et al. System identification of linear structures based on Hilbert Huang spectral analysis. Part 1:Normal modes[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 2003, 32: 1443.

[4] 陳雋, 徐幼麟. HHT方法在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2003, 16(3): 383-388.CHEN Jun, XU You-lin. Application of HHT for modal parameter identification to civil structures[J]. Journal of Vibration Engineering, 2003, 16(3): 383-388.

[5] 陳雋, 徐幼麟, 李杰. Hilbert-Huang變換在密頻結(jié)構(gòu)阻尼識(shí)別中的應(yīng)用[J]. 地震工程與工程振動(dòng), 2003, 23(4): 34-42.CHEN Jun, XU You-lin, LI Jie. Hilbert-Huang transform for damping ratio identification of structures with closely spaced modes of vibration[J]. Earthquake Engineering & Engineering Vibration: Chinese Edition, 2003, 23(4): 34-42.

[6] 黃天立, 樓夢(mèng)麟. 基于 HHT的非線性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)識(shí)別研究[J].地震工程與工程振動(dòng), 2006, 26(3): 48-52.HUANG Tian-li, LOU Meng-lin. System identification of nonlinear structures based on HHT[J]. Earthquake Engineering& Engineering vibration: Chinese Edition, 2006, 26(3): 48-52.

[7] Yan B F, Miyamoto A. A comparative study of modal parameter identification based on wavelet and Hilbert-Huang transforms[J].Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering, 2006, 21:9-23.

[8] 沈國(guó)際, 陶利民, 陳仲生. 多頻信號(hào)經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的理論研究及應(yīng)用[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2005, 18(1): 91-94.SHEN Guo-ji, TAO Li-min, CHEN Zhong-sheng. Theoretical research on empirical mode decomposition of multi-frequency signal and its application[J]. Journal of Vibration Engineering,2005, 18(1): 91-94.

[9] Wang W. Decomposition of wave groups with EMD method[C]//Huang N E. The Hilbert-Huang transform in engineering. Taylor& Francis Group. London: CRC Press, 2005: 267-280.

[10] 樓夢(mèng)麟, 黃天立. 正交化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸夥椒╗J]. 同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2007, 35(3): 293-298.LOU Meng-lin, HUANG Tian-li. The orthogonal empirical mode decomposition[J]. Journal of Tongji University: Natural Science, 2007, 35(3): 293-298.