柱面共形陣列天線盲極化波達方向估計算法

齊子森 郭 英 王布宏 姚戰宏

(1.空軍工程大學電訊工程學院，陜西 西安 710077； 2.空軍工程大學電子信息系統綜合集成重點實驗室，陜西 西安 710051)

1.引 言

“靈巧蒙皮”的共形陣列天線[1]在未來艦載、彈載雷達以及航天飛行器的天線設計中具有廣泛的應用前景，已成為未來天線的發展方向。對共形陣列天線高速、高精度信源方位估計技術的研究具有重要的現實意義。利用共形陣列天線實現信源方位估計必須考慮陣列流形多極化特性(polarization diversity)[2-4]的影響，即共形天線的流形建模必須考慮單元方向圖的影響，共形陣列天線的方位估計需要與信源極化狀態聯合進行[5-7]。因此許多適用于經典陣列(線陣、面陣)的波達方向(DOA)估計方法在共形陣列天線中無法簡單移植應用。基于多維搜索的算法因極化參數的引入，使得計算量急劇增加，工程實現不可接受。

對共形陣列天線DOA估計方法的研究已取得一定成果[5-13]，但多數已有文獻[8]-[13]都壓縮了待估參數空間，假設了不現實的前提條件，簡化了共形陣列天線的流形模型。完全考慮共形天線多極化的流形特點進行方位估計的研究報道并不多見[5-7]。文獻[2]-[4]完整構建了共形天線陣列流形的數學模型，給出了共形天線陣列流形建模的統一方法，為全面考慮共形陣列天線特點的信號處理研究奠定了基礎。文獻[5]在假設信源極化狀態已知條件下，詳細分析了多重信號分類法(MUSIC)[14]算法在不同陣列形式(錐面、柱面以及球面)中的DOA估計性能。文獻[6]-[7]針對錐面共形載體，通過合理的陣元設置，結合旋轉不變子空間算法(ESPRIT，estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)[15]參數估計的特殊要求，提出了錐面共形陣列天線盲極化DOA估計算法。該算法通過將信源極化參數與方位參數去耦合，實現了錐面共形陣列天線的高分辨DOA估計。但是該算法利用了錐面共形載體的單曲率特性以及錐面母線間的不同夾角，其僅適用于錐面共形陣列，不能解決其他共形載體的信源方位估計問題。柱面共形載體是構成大多數飛行器的基本結構，具有廣泛的應用環境，是最為常見的共形載體之一。柱面共形載體亦具有單曲率特性，但其母線夾角為零的特點使得上述盲極化DOA估計算法不再適用。可見，對共形陣列天線高分辨DOA估計技術的研究很不充分，探討其他共形結構陣列的高分辨DOA估計方法是迫切而有必要的。

基于此，本文針對柱面共形陣列天線的單曲率特點，在給出柱面共形陣列天線窄帶數據模型的基礎上，通過合理的陣元排列結構，結合DOA估計的子空間原理[14]與秩損理論[16-17]，實現了信源方位角、俯仰角以及極化狀態的去耦合，提出了獨立信源條件下的柱面共形陣列天線盲極化DOA估計方法。該方法無需參數配對，通過參數的一維搜索，可實現信源方位估計，計算量小，陣元利用率高。針對相干信源情況，推導了柱面共形陣列天線的解相干算法，在此基礎上實現了柱面共形陣列天線相干信源的盲極化DOA估計。最后，通過計算機Monte-Carlo仿真實驗驗證了所提算法的有效性。

2.柱面共形陣列天線窄帶數據模型

我們前期工作[6-7]已詳細論述了利用陣列分割克服共形載體遮蔽效應的原理。借鑒其陣列分割思想，將柱面共形陣列天線(全局坐標系為X′Y′Z′，坐標原點為o′，子陣坐標系為XYZ，坐標原點為o，如圖1(a)所示)劃分為多個結構相同的子陣，每個子陣列負責估計的方位角范圍為α(如圖1(b)所示，α=2arccos([abs(ΔP1)/2/d])，d表示半徑，arccos(·)表示求(·)的反余弦，abs(·)為求(·)的模)，在信源方位未知情況下，各子陣僅負責所屬方位角范圍內的信源方位估計，最終通過綜合各子陣估計結果得到所有信源的方位估計[6-7]。由于柱面結構上的對稱性，各子陣結構相同，因而，每一子陣DOA估計算法也相同，所以，僅對其中一個子陣進行算法詳述和仿真。圖1中，同一圓柱橫截面上的兩陣元間隔為λ/4，相鄰橫截面之間的間隔為λ/4(對于獨立信源間隔可以不相等，此處設置為相同間隔來完成柱面共形陣列天線對相干信源的解相干預處理)，橫截面半徑為d(單位為λ)，λ為信號波長。

對于圖1所示的柱面共形陣列天線子陣，建立如圖1(a)所示的坐標系XYZ，則其窄帶快拍數據模型可表示為式(1)～(16)。

(a) 柱面共形載體上的陣元結構

(b) 柱面共形陣列俯視圖

(c) 信源方向矢量u圖1 柱面共形陣列天線

(1)

u= sinθcosφX+sinθsinφY+cosθZ

(2)

=|gi||pl|cosθigk

=gi·pl

=gi θkθ+gi φkφ

(3)

gi=gi θ(θ,φ)uθ+gi φ(θ,φ)uφ

(4)

pl=kθuθ+kφuφ

(5)

uθ= cosθcosφX+cosθsinφY-sinθZ

(6)

uφ=-sinφX+cosφY

(7)

(·)1·(·)2表示兩矢量(·)1與(·)2的點乘運算；ri表示共形陣列天線中第i個陣元在全局坐標系中對單位強度入射信號的響應[6]；gi表示第i個陣元的單元方向圖；giθ，giφ為第i個陣元單元方向圖在基矢量上的分量；kθ,kφ表示入射信號極化狀態，即入射信號電場矢量pl在基矢量上的分量；θigk為gi與pl的夾角；pi為第i個陣元位置與坐標原點構成的矢量；2m為陣元個數；(·)T表示取(·)的轉置。

當信源個數為n時，窄帶數據模型為

X=AS+N=(AθKθ+AφKφ)S+N

(8)

S=[s1,s2,…，sn]T

(9)

N=[n1,n2,…,nn]T

(10)

Aθ=[aθ(θ1,φ1),aθ(θ2,φ2),…,aθ(θn,φn)]

(11)

Aφ=[aφ(θ1,φ1),aφ(θ2,φ2),…,aφ(θn,φn)]

(12)

Kθ=diag(k1θ，k2θ，…,knθ)

(13)

Kφ=diag(k1φ，k2φ，…,knφ)

(14)

式中：A為流形矩陣；S為信號矢量；N為噪聲矢量；n為信源個數；K=diag(k1,k2,…,kn)表示矩陣K為以k1,k2,…，kn為主對角線元素構成的對角陣；θi,φi表示第i個入射信號在全局坐標系中的俯仰角與方位角；kiθ,kiθ分別為第i個入射信號極化矢量在uθ,uφ上的分量。當空間存在相干信源時，所謂相干是指信源之間差一個復常數，即

si=βis0

(15)

若n個信源均為相干信源，則信號矢量S為

S=[β1,β2,…,βn]Ts0

(16)

綜上可發現，共形陣列天線的快拍數據建模必需考慮天線單元方向圖的影響，所以共形天線快拍數據建模時必需完成單元方向圖在局部坐標系到全局坐標系的旋轉變換[2-4]，因此共形天線的陣列流形具有了多極化特性。

3.獨立信源盲極化DOA估計算法

共形陣列天線信源方位估計是多參數估計問題，由于導向矢量的精確建模需要已知信源極化狀態的表征參數，從而增加了參數維數，使基于多維搜索DOA估計算法的計算量驟然增加。充分利用矩陣的特征向量與特征值進行多參數去耦并聯合估計[16-18]可有效的減小計算量。基于此思想，本文利用柱面共形載體的單曲率特點，結合特殊的陣元排列結構，將信源俯仰角、方位角以及極化狀態參數去耦合，通過一維搜索實現了盲極化柱面共形陣列天線的DOA估計，減小了計算量，保證了陣元的利用率(可估計最大信源數僅比陣元數小2，即nmax=2m-2)。

(17)

由共形載體的單曲率特性可知，處于同一母線上的天線單元具有相同的指向，此時有

r1=r2=…=rm

(18)

rm+1=rm+2=…=r2m

(19)

將式(18)、(19)代入式(1)，可得

=QB

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：0m×1為m×1階的零矩陣； ΔP如圖1(b)所示。由子空間原理[13]可知，導向矢量屬于信號子空間，與噪聲子空間正交，由于噪聲影響，式(25)近似為零，即

=0

(25)

(26)

因為B各元素不為零，所以如果式(25)成立，則有矩陣Z奇異或出現秩損現象，只有在真實信源方位時，矩陣Z奇異[16-17]。且由于Pi,i=1,2,…,m僅在坐標軸Z上有分量，所以式(23)由信源俯仰角確定。基于此原理，信源俯仰角可通過最大化式(27)獲得。

(27)

(28)

此時有

(29)

(30)

angle(·)表示求復數(·)的相角。所以有

(31)

因為

ΔP=sinθΔPcosφΔPX

(32)

又因為|ΔP|=λ/4，且θΔP=π/2,φΔP=π，結合式(2)、式(31)以及式(32)，則有

(33)

所以，柱面共形陣列天線獨立信源盲極化DOA估計算法步驟如下：

3) 對式(21)～(24)構造矩陣Q,B；

4) 將式(27)所示譜估計器的n個最高峰值對應的空間方位作為信源俯仰角估計值；

5) 結合式(29)與式(33)以及4)中獲得的俯仰角估計值，求得信源方位角的估計值，從而實現信源方位估計。

4.相干信源盲極化DOA估計算法

相干信源使得信源協方差矩陣的秩小于信源個數，相應的通過特征值分解獲得的信號子空間的維數亦小于信源個數，這就使得陣列流形矩陣張成的信號子空間與特征值分解獲得的信號子空間不一致，從而導致基于特征值分解的高分辨DOA估計算法在空間存在相干信源時無法準確估計信源方位。空間平滑算法[19-20]是一種常用的解相干預處理算法，它利用均勻線陣的平移不變性，將均勻線陣劃分為相互重疊的L個子陣，對應的每個子陣陣元個數為q，分別計算各子陣的自協方差矩陣，然后進行算術平均，從而得到一個等效的q階子陣列的協方差矩陣。在均勻線陣中，當子陣陣元個數q大于信源個數時，經過空間平滑所得的q階陣列協方差矩陣對應的信源協方差矩陣的秩恢復為信源數[18]。然而空間平滑算法對陣列的特殊要求限制了它的應用范圍。在共形陣列天線中，陣列的均勻線陣結構一般不被滿足，且由于共形載體曲率影響，天線單元方向圖指向不一致，此時不可簡單假設天線單元為全向單元。因此，在共形陣列天線中應用空間平滑算法面臨巨大的困難。本文所述算法基于協方差矩陣特征值分解的子空間劃分，為了適用于空間存在相干信源的情況，需要解相干預處理。

在圖1所示陣列中，選取陣元1～q/2與陣元m+1～m+q/2構成子陣列h10，q為偶數；選取陣元2～q/2+1與陣元m+2～m+q/2+1構成子陣列h11；同理可得子陣h12,h13,…,h1L-1.子陣h1L-1由陣元L～q/2+L-1與陣元m+L～m+q/2+L-1構成，且q/2+L-1≤m,m+q/2+L-1≤2m，即保證陣元1～q/2+L-1與陣元m+1～m+q/2+L-1分別在兩條母線上。由此可發現，陣列h10,h11,…,h1L-1雖不是均勻線陣，但具有相同的空間結構，子陣間距離矢量滿足空間平滑算法的要求，且與單元方向圖無關，此時可將空間平滑思想引入。各子陣接收相干信源數據為

Xh1i=Ah1iS+Nh1i

(34)

Ah1i= [ah1i(θ1,φ1),ah1i(θ2,φ2),…，

ah1i(θn,φn)]

(35)

(36)

式中，S如式(16)所示。由圖1(a)結合各子陣陣元位置，可得

(37)

Ah1i=Ah10Di-1

(38)

(39)

各子陣的協方差矩陣為

(40)

式中，Ah1i表示陣列h1i所對應的流形矩陣。將L個子陣所得協方差矩陣做算數平均，有

(41)

將式(40)帶入式(41)，得

(42)

所以有

(43)

(44)

在完成解相干預處理的基礎上，結合柱面共形陣列天線獨立信源盲極化DOA估計算法，可實現柱面共形陣列天線相干信源盲極化DOA估計。算法步驟如下：

3) 將陣元個數2m換為2q(且2q>n)，即在陣列h10上應用獨立信源條件下的盲極化DOA估計算法，實現信源方位估計，最終完成柱面共形陣列天線相干信源的盲極化信源方位估計。

5.仿真實驗

上述各節推導了算法機理，并給出了算法步驟，本節在此基礎上進行Monte-Carlo仿真實驗驗證算法的有效性。其中，對成功實驗的定義為：估計偏差小于2°的試驗為成功實驗。成功概率的定義為：成功試驗次數與試驗次數的比值。估計偏差定義為：在成功實驗中，估計均值與真值之差的絕對值。估計標準差定義為：在成功實驗中，估計值與估計均值之差的均方值開方。在此前提條件下，進行200次獨立仿真實驗。

仿真實驗一

陣列結構如圖1；快拍數N=100；信噪比SNR∈[5,30]；信源個數n=2，且相互獨立；陣列陣元個數為32，即m=16，柱面橫截面半徑d=5λ；在全局坐標系中θ1=85°,φ1=70°;θ2=90°,φ2=75°;k1θ=0.3,k1φ=0.7;k2θ=0.8,k2φ=0.2.單元方向圖為

(45)

(46)

(47)

(48)

(a) 成功概率與信噪比的關系

(b) 估計偏差與信噪比的關系

(c) 估計標準差與信噪比的關系圖2 100次快拍的獨立信源盲極化DOA估計

仿真實驗二

陣列陣元個數為34，即m=17；快拍數N=200；q=18；L=9；信源為相干信源，信源個數n=2，其他條件與仿真實驗一相同。仿真結果如圖3所示。由仿真結果可知，對相干信源方位的估計成功概率、估計偏差以及估計標準差都隨著信噪比與陣元個數的增加而逐漸變好，達到了令人滿意的效果。充分驗證了算法對相干信源估計的有效性(如圖3所示)。

(a) 成功概率與信噪比的關系

(b) 估計偏差與信噪比的關系

(c) 估計標準差與信噪比的關系圖3 200次快拍的相干信源盲極化DOA估計

6.結 論

針對共形陣列天線中DOA估計需與信源極化狀態聯合進行的難題，論文利用柱面共形陣列天線的單曲率特點結合子空間原理，提出了柱面共形陣列天線盲極化DOA估計算法。詳細推導了算法機理，給出了算法步驟。在此基礎上針對相干信源方位估計問題，通過合理的陣元選取，討論了柱面共形陣列天線的解相干預處理算法，從而實現了信源極化狀態未知條件下相干信源的高分辨方位估計。計算機Monte-Carlo仿真實驗表明，所提算法可以很好地解決柱面共形陣列天線盲極化條件下獨立和相干信源的方位估計問題，從而驗證了所提算法的有效性。

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