非理想載波同步對多載波直擴系統的性能影響

和 欣 張曉林

(北京航空航天大學電子信息工程學院， 北京 100191)

1． 引 言

隨著直接序列擴頻在微波抗干擾通信、遙測遙控等領域的廣泛應用，直擴系統中傳輸速率與處理增益間的矛盾已成為日益突出的技術瓶頸[1]。隨著正交頻分復用(OFDM)技術的成熟，多載波擴頻已成為高速可靠通信的首選方案。根據擴頻方式不同，多載波擴頻可分為多載波頻域擴頻(MC-CDMA)與多載波時域擴頻(MC-DSSS)。多載波時域擴頻具有子載波個數少、峰均比小且接收機復雜度低等優勢，通常可進一步分為正交MC-DSSS與MT-DSSS[2]。兩者均采用了多載波時域擴頻方式，即對高速數據流串-并變換所產生的低速并行數據流分別進行直接序列擴頻，再對多路直擴信號完成多載波調制。但前者的子載波間隔為1/Tc(Tc為擴頻碼片周期)而后者為1/Ts(Ts為符號周期)，因此前者屬于多載波正交調制而后者為非正交調制(可認為是一種采用直接序列擴頻的OFDM系統)。而在相同接收機復雜度及頻帶利用率條件下，更大的處理增益使多音調制(MT)系統具有理想的抗干擾性能及多用戶容量，從而成為一種可靠的寬帶擴頻系統。

與單載波直擴相比，MT系統在相同抗干擾性能下提高了傳輸速率，但由于非正交子載波的頻譜重疊導致其對載波同步誤差更加敏感。尤其在高動態信道及惡劣工作環境中，多普勒效應和系統本振及鎖相環工作狀態不理想將嚴重影響子載波解調并加劇載波間串擾。文獻[3]-[8]研究了載波頻偏與相位噪聲對OFDM、MC-CDMA以及MC-DSSS等多載波系統的性能影響，但相關研究很少涉及MT-DSSS。文獻[9]分析了MT系統對頻偏的敏感性，但沒有討論相噪的影響且缺少對隨機誤差的理論建模。本文分別以頻偏及相噪兩種形式對MT系統載波同步誤差進行隨機過程建模，對非理想載波同步條件下系統的誤碼率進行了理論計算，并通過仿真驗證了相關結論。

2. 系統及誤差模型

為了分析載波同步誤差對MT系統的性能影響，本文在分析前給出如下假設：

1)系統工作在單用戶加性高斯白噪聲(AWGN)信道，不考慮多址干擾(MAI)及信道選擇性衰落；

2) 理想時序同步，不考慮延遲鎖定環(DLL)誤差；

3) 系統采用二進制相移鍵控(BPSK)調制及相關檢測，以便在相同接收機復雜度下進行性能對比；

2.1 MT系統

圖1、圖2為MT系統的中頻原理框圖。圖1中，設發射端輸入的BPSK序列為

圖1 MT系統發射端

(1)

式中：Eb為比特能量；Tb為比特周期；dn∈{-1,1}。d(t)經過串-并變換(S:P)后，第i個子載波的碼元序列為

(2)

式中:Ts=MTb，M為子載波個數;Es=Eb;Ii(m)∈{±1}。每個子載波由偽隨機序列ci(t)進行擴頻，其中：

(3)

ci(n)∈{±1}表示第n個碼片，Tc為碼片周期，N為擴頻增益。擴頻后通過脈沖成型濾波器(為便于計算，設hTi(t)=1)與子載波cos(2πfci,Tt+θi,T)相乘，其中fci,T=fc+fi,T，fc為統一中頻，fi,T表示發射端第i個子載波與fc的頻率間隔，θi,T為載波相位。則發射端輸出的中頻信號ν(t)為

cos(2πfci,Tt+θi,T)

(4)

式中[·]表示取整運算。

圖2 MT系統接收端

如圖2，MT相關接收系統包括M個獨立通道。經過單用戶AWGN信道后，中頻接收信號r(t)為

τ)]·cos(2πfci,Rt+θi,R)+n(t)

(5)

Δφji(t)]dt+ni

(6)

式中： Δfji(t)=fcj,R(t)-fci,E(t)=fj,R(t)-fi,E(t)表示接收端第j個子載波的理想頻率與發射端第i個子載波的估計頻率之間的頻差； Δφji(t)=θj,R(t)-θi,E(t)表示接收端第j個子載波的理想相位與發射端第i個子載波的估計相位之間的相差；Ij(1)為子載波j的第1比特數據；Lp{·}表示低通濾波。

2.2 載波同步誤差

非理想載波同步中頻率偏移與相位噪聲是指接收端捕獲與跟蹤模塊生成本地載波的頻率、相位估計值與接收信號頻率、相位實際值存在隨機誤差。通常兩類誤差在系統中并存。為便于分析，本文對頻偏與相噪分別單獨加以討論。

2.2.1 頻率偏移Δfji(t)

頻率偏移是指由于系統本振誤差或者多普勒補償不理想而導致的載波頻率隨機擾動。本文將頻率偏移Δfji(t)建模為碼元周期Ts內緩慢變化且相互獨立的高斯隨機過程，其均值可表示為接收端第j個子載波與發射端第i個子載波理想頻率之差即(j-i)/Ts，且方差可相應表示為(δji/Ts)2，其中δji為歸一化頻偏因子。

2.2.2 相位噪聲Δφji(t)

相關接收機中通常采用鎖相環(PLL)對載波相位進行捕獲跟蹤。假設系統不存在頻率偏移，當PLL鎖定于穩定狀態時，Δfji(t)=(j-i)/Ts且Δφji(t)服從Tikhonov分布[10]。由于實際相噪的方差足夠小，故可將Δφji(t)近似為Ts內緩慢變化的零均值高斯隨機過程。同時，文獻[11]證明相噪可近似為一種廣義平穩隨機過程，即Δφji(t)=Δφ(t)，其雙邊功率譜密度為

(7)

(8)

3. 性能分析與計算

3.1 頻偏的影響

設系統不存在相噪，即Δφ(t)=0.在第i個相關通道內，對于任意子載波j，Δfji(t)相互獨立且具有相同頻偏因子δji=δ.考慮到Ts內頻偏緩慢變化，因此(Δfji為常數)則判決統計量zi為

=αi+βi+ni

(9)

對Es歸一化后，子載波期望信號αi為

(10)

AWGN采樣值ni為

(11)

cos2πfit1cos2πfit2ci(t1)ci(t2)dt1dt2

(12)

載波間串擾(ICI)βi為

(13)

3.1.1 子載波擴頻碼相同時

(14)

性質1：子載波擴頻碼相同的MT系統(M個子載波)存在方差較小的頻率偏移時，載波間串擾的判決統計量βi可近似為相互獨立的零均值高斯隨機變量且方差滿足

(15)

證明：

設γji=2ΔfjiTs,則E(γji)=2(j-i),Var(γji)=(2δ)2，定義f(γji)為

f(γji) =sinc′(γji)·[γji-2(j-i)]

因為γji具有高斯分布，所以，f(γji)同樣具有高斯分布且

因為E[Ij(1)]=0，所以E(βji)=E(βi)=0.

對于不同j，Δfji,Ij(1)均為獨立隨機變量，所以βji亦保持相互獨立。

因此βi的方差滿足

性質1表明具有相同子載波擴頻碼的MT系統經過相關檢測后，頻偏所導致的載波間串擾的判決統計量僅與頻偏因子相關而與系統處理增益無關。

3.1.2 子載波擴頻碼不同時

ci(n)cos(2πΔfjit)dt

(16)

性質2：子載波擴頻碼不同的MT系統(M個子載波)存在方差較小的頻率偏移時，若系統處理增益N足夠大，則載波間串擾的判決統計量βi可近似為零均值高斯隨機變量且方差滿足

(17)

證明:

cos[πΔfji(2n+1)Tc])

由中心極限定理，當N→∞時，βji、βi均服從高斯分布。若實際系統N較大，可將βi近似為高斯隨機變量。由于Ij(1)在{±1}內均勻分布，故E(βji)=0.由于不同子載波的擴頻碼相互獨立，則Var(βji)(證明見附錄A)為

(18)

給出進行如下近似：

近似1：由于Δfji中δ較小，故

因此，式(18)可化簡為

證畢。

性質2表明具有不同子載波擴頻碼的MT系統經過相關檢測后，頻偏所導致的載波間串擾的判決統計量與子載波個數成正比而與系統處理增益成反比。

Pbi=P(αi+βi+ni<0)

(19)

若子載波頻率估計不存在誤差，即Δfii=0.則αi=Ii(1)=1,則

Pbi=P(1+βi+ni<0)

(20)

Pbi=P(sin(πρ)/(πρ)+Y<0)

(21)

3.2 相噪的影響

如前所述，實際系統相噪的方差較小，通常可近似為緩慢變化的零均值廣義平穩高斯過程，因此在t∈[(k-1)Ts,kTs]內Δφ(t)可表示為

Δφ(t)=gk+Ψ(t)

(22)

(23)

由于Δφ(t)在Ts內緩慢變化，即時間帶寬積，BΔφ(t)·Ts→0,故|f|≤BΔφ(t)時，sinc2(fTs)=1.因此Δφ(t)的能量集中于直流分量：Var(gr)≈Var[Δφ(t)]，且交流分量Ψ(t)滿足

cos[Ψ(t)]≈1，sin[Ψ(t)]≈Ψ(t)

(24)

設系統不存在頻偏，此時第i個相關通道的判決統計量為

Δφ(t)]dt+ni

=αi+βi+ni

(25)

對Es歸一化后，子載波期望信號αi為

≈Ii(1)cos(g1)

(26)

載波間串擾βi為

(27)

AWGN采樣ni與式(14)相同。

3.2.1 子載波擴頻碼相同時

性質3：子載波擴頻碼相同的MT系統(M個子載波)存在方差較小的相位噪聲時，載波間串擾的判決統計量βi可近似為高斯隨機變量且方差滿足

Var(βi)≈0

(28)

證明:

因此

=0

E(βji·βki)=0 (k≠j)

E(βji·βki)=E(βji)·E(βki)

即βji，βki相互獨立。

(j-1)/Ts]+Pφ[f+(j-i)/Ts]}df

由于(j-i)/Ts為相關器低通濾波函數的頻譜零點，因此，由Δφ(t)引起的ICI將被抑制，故Var(βi)≈0.證畢。

性質3表明，具有相同子載波擴頻碼的MT系統經過相關檢測后，相位噪聲所導致的載波間串擾被相關檢測器的低通濾波所抑制，可忽略不計。

3.2.2 子載波擴頻碼不同時

性質4：子載波擴頻碼不同的MT系統(M個子載波)存在方差較小相位噪聲時，若系統處理增益N足夠大，則載波間串擾的判決統計量βi可近似為高斯隨機變量且方差滿足

(29)

證明:

由于Δφ(t)方差很小,所以Δφ(t)≈g1，t∈[0,Ts],故

cos[π(j-i)(2n+1)/N+g1]

若N→∞，由中心極限定理，βji服從高斯分布。當實際處理增益較高時，則βji、βi可近似為高斯隨機變量。對于不同n，cj(n)、ci(n)相互獨立。則Var(βji)(證明見附錄B)：

(30)

對于不同j，βji互不相關，因此Var(βi)為

證畢。

性質4表明，具有不同子載波擴頻碼的MT系統經過相關檢測后，相位噪聲所導致的載波間串擾的判決統計量與子載波個數成正比而與系統處理增益成反比。

Pbi≈P(cos(g1)+Y<0)

(31)

4. 數值仿真

表1 相同頻帶利用率時系統參數對比

若系統存在頻偏，設δ=0.1.圖3、圖4分別表示接收端不存在載波頻率估計誤差時(Δfii=0)MT系統的誤碼率。此時頻偏只會造成ICI。而圖5、圖6表示接收端存在頻率估計誤差時(Δfii≠0)的系統誤碼率。此時頻偏不但造成ICI，而且會嚴重影響每個子載波的解調信號。

圖3 (頻偏)Δfii=0,相同擴頻碼

圖4 (頻偏)Δfii=0,不同擴頻碼

圖3、圖5中系統誤碼率的理論上界與仿真結果較為接近但略有差別，這表明性質1中線性高斯近似具有一定合理性，但同時帶來一定的近似誤差。隨著子載波個數增加，ICI致使系統誤碼率有所增大。在圖5中，M=3,n=95與M=3,N=300兩種條件下系統誤碼率相同，表明此時ICI與系統處理增益無關，這與性質1的結論一致。圖4、圖6表明不同子載波擴頻碼時MT系統誤碼率的理論近似與仿真結果能夠理想吻合，從而驗證了性質2的結論。同時，子載波個數增加后ICI所導致的誤碼率上升幅度與圖3、圖5相比更小，說明采用不同擴頻碼的MT系統增大處理增益能夠有效抑制頻偏所引起的ICI。

圖5 (頻偏)Δfii≠0,相同擴頻碼

圖6 (頻偏)Δfii≠0,不同擴頻碼

若系統存在相位噪聲，設相噪的標準偏差為0.1π，3 dB帶寬為BΔφ(t)=0.01/T.式(7)中PLL參數設置如下[5]：H=0,fc=5.25 GHz ,λ1=50 kHz,ν1=8.2×10-24.圖7驗證了性質3的結論，由于相關檢測抑制了相噪所引起的ICI，因此子載波個數變化并不影響系統誤碼率。圖8中，子載波個數增加時系統誤碼率僅有小幅增大。由性質4可知，此時ICI主要由MT系統中非正交子載波上不

同擴頻碼的互相關性所決定，而與相位噪聲無關。此外，圖7、圖8中理論曲線與仿真結果的一致性驗證了式(31) 中假設Y與αi相互獨立的合理性。

圖7 (相噪)相同擴頻碼

圖8 (相噪)不同擴頻碼

5. 結 論

本文通過對載波同步誤差建模，分析了頻偏與相噪對MT系統的性能影響。存在頻偏時，頻率估計誤差嚴重干擾每個子載波的解調并對系統性能影響較大；無頻率估計誤差時，頻偏所造成的ICI對系統性能影響較小。由性質1、2可知，若頻偏的方差很小且處理增益較低時，相同擴頻碼MT系統的ICI較小；而頻偏方差較大且處理增益很高時，不同擴頻碼MT系統的ICI更小。存在相噪時，由性質3、4可知，相同擴頻碼MT系統的ICI被相關檢測器的低通濾波所抑制，使其與單載波直擴系統具有相同誤碼率；而不同擴頻碼MT系統的ICI幾乎與相噪無關。

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