基礎簡諧激勵下勻速旋轉運動電流變夾層梁的振動穩定性

魏克湘，孟 光，張文明

(1.湖南工程學院 機械系，湖南 湘潭 411101;2.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

電流變夾層結構由于能在外加電場的作用下，快速可逆的調節自身的阻尼和剛度，在結構的振動控制中獲得了廣泛的關注。自20世紀80年代Gandhi等［1］最早開始對電流變自適應結構進行研究以來，已有許多學者對其進行了深入的理論和實驗研究［2－5］。但在以往的研究中，一般都是針對靜態梁或板進行的，有關電流變材料應用于運動柔性梁振動控制的研究報道還較為少見。在先前的研究中［6－8］，我們將電流變夾層結構推廣應用到旋轉柔性機械臂的振動控制，對電流變夾層結構梁在定速和周期變速運動條件下的動力學特性進行了研究，發現可以通過控制作用于電流變夾層結構梁上的電場強度來調節旋轉柔性梁的振動特性，提高結構的動力穩定性。

對于柔性機械臂等旋轉系統，除了結構本身的運動外，其支撐往往也是運動的。同時，在對作大范圍運動彈性結構的動力學行為研究中，通常也可以將其簡化為一個受定軸轉動與基礎激勵聯合作用的系統來近似模擬［9，10］。故研究基礎激勵作用下定軸轉動柔性梁的動力學行為具有重要的理論意義和應用價值，許多學者對其進行了研究［11－14］，但一般都是針對 Euler梁或Bernoulli梁進行的，而對復合材料或夾層結構梁的分析還較少涉及。

本文將對基礎激勵作用下旋轉運動電流變夾層梁的動力學特性和振動穩定性進行分析。首先利用多尺度法建立受基礎激勵作用的旋轉運動電流變夾層梁的一次近似方程，得到系統可能發生參激共振失穩的條件。然后通過對勻速旋轉電流變夾層梁在不同激勵參數、控制電場和旋轉速度時的振動響應特性的分析，探討受電場控制的電流變夾層梁在基礎激勵與定軸轉動聯合作用下的動力學特性和振動穩定性。

1 動力學建模

圖1為一受基礎激勵作用的旋轉運動電流變夾層梁結構示意圖，其中坐標系XYZ為固定參考系，X1Y1Z1為固結在中心剛體上的浮動基。假設電流變夾層梁隨中心剛體一起繞O1點作角速度為θ·的定軸旋轉運動，與此同時，中心剛體受基礎激勵的作用在固定坐標系OXY中作直線(往復)運動，其運動規律在X方向和Y方向分別為x(t)與y(t)。

圖1 受基礎激勵作用的旋轉運動電流變夾層梁Fig.1 A rotating sandwich beam embedded with ER fluids subjected to base excitation

設中心剛體在運動起始位置時O1點與靜止坐標系原點O重合，且假設梁只在面內產生運動，則可得到中心剛體在慣性參考系中的線速度和角速度分別為。將上述關系式代入文獻［10］中的式(3.15)及式(3.16)～(3.40)中，得到非慣性系下基礎激勵與定軸轉動聯合作用時電流變夾層梁的動力學控制方程為:

其中:

上列各式中，ρk、Ak、Ek、Ik(k=1，2，3)分別為夾層梁中各層的材料密度、橫截面面積、彈性模量和轉動慣量;G2為電流變材料的儲能模量，η2為電流變材料的損耗因子;L為梁的長度，n為有限元單元個數，Li=L/n為單元長度，r為中心剛體的半徑，xi代表梁的固支點到第i個單元左邊節點的距離;ζ=x/Li，下標(，x)表示對 x 求導;N1、N2、N3和N4為對應單元節點位移的形函數矩陣，且:

Bi為由梁單元編號決定的布爾(Boole)指示矩陣:

假設剛性轉軸中心O1沿X方向的直線運動規律x(t)=0，沿Y方向的直線運動位移，其中y0及分別為簡諧激勵位移的幅值及其角頻率，故基礎激勵的速度和加速度分別為。若只考慮梁作勻速轉動，則式(1)可以簡化為如下形式:

引入線性變換ξ=Φq，Φ為上式派生系統的正則振型矩陣，利用振型矩陣的正交關系，對式(5)中的質量和剛度矩陣解耦，得到:

其中:

2 一次近似展開

假設剛性轉軸中心的加速度并不大，將陀螺效應矩陣C，即式(6)中的矩陣B1也表示為小量參數的函數，則式(6)可表達為:

采用多尺度法將解展開為:

代入式(8)，對其進行一次近似展開并令ε0及ε1前的系數為零，得到:

式(10)的解可寫成:

式中cc代表前項的共軛。將其代入式(11)，經整理得:

上式中的指數項不僅包括系統的固有頻率ωp和ωq，還含有梁的轉動頻率。當基礎激勵頻率～ω滿足:

時，式(13)的右邊將出現永年項，系統可能發生參激振動失穩現象［15，16］。

3 參激振動響應

我們可以對式(5)采用Runge-Kutta方法直接計算其在基礎激勵頻率～ω滿足式(14)中的條件時的振動時域響應特性，來分析各種結構和外加控制參數對受基礎激勵作用的旋轉運動電流變夾層梁在發生參激共振時的動力學特性和振動穩定性的影響規律。梁的基本參數設定為:長度L=300 mm，寬度b=20 mm，表面彈性層的厚度h1=h3=0.5 mm，電流變材料層的厚度h2=2 mm;表面層材料的質量密度ρ1=ρ3=2800 kg/m3，彈性模量E1=E3=70×109Pa;電流變液的質量密度ρ2=1400 kg/m3，儲能模量 G'=1500 E，損耗因子 η2=0.27E+3.73，其中E為外加電場強度。

首先我們討論受電場作用的轉動梁在不同基礎激勵幅值下的參激振動響應特性。假設轉動速度=500 r/min，外加電場強度E=1 kV/mm，(0)=0，q(0)=0，考慮基礎激勵頻率及時，對應不同激勵幅值y0的梁端點的橫向振動響應時間歷程及其相圖如圖2～圖4所示，從圖中我們可以得到以下結論:

(1)當基礎激勵的幅值很小時，由于在電場作用下，夾層梁中的電流變材料具有粘彈性阻尼材料的特性，系統存在耗散力，梁的振動幅值先隨時間衰減，而后在平衡點附近作微幅周期運動，系統存在穩定的周期解，如圖2(a)所示。

(2)在一定的取值范圍內，增大基礎激勵的幅值，僅僅改變振動響應幅值的大小，而對系統的振動特性不會產生影響，如圖2(b)所示。

(3)當激勵幅值增大到某一值后，系統的運動狀態將發生變化。系統除作高頻微幅周期振動外，還存在一個低頻的周期運動。但整體振動幅值是在有限范圍內變化，系統還是穩定的，如圖2(c)所示。

(4)繼續增大激勵幅值，系統將進入不穩定狀態，出現參激共振失穩現象。如圖2(d)、圖3(b)和圖4(b)所示，此時梁的振動幅值隨時間無限增大，系統失穩。

圖2 第一階主參激共振時的響應特性:E=1 kV/mm，=500 r/minFig 2 Response of the first principal resonance at E=1 kV/mm and=500 r/min

(5)系統的第二階主參激共振和第一、二階組合參激共振具有與第一階主參激共振情況下基本相同的特性，即隨著激勵幅值的增大，系統將由作有限幅值的穩態周期運動逐步過渡到不穩定狀態。只不過系統發生參激共振失穩的臨界激勵幅值顯著減小，且在第二階主參激共振時達到最低。如圖3(b)和4(b)所示，當激勵頻率和時，出現不穩定解的臨界激勵幅值分別為y0=0.135與y0=0.16，而在時，對應的y0=1.0。

圖3 第二階主參激共振時的響應特性:E=1 kV/mm，=500 r/minFig 3 Response of the second principal resonance at E=1 kV/mm and =500 r/min

圖4 前兩階組合參激共振時的響應特性:E=1 kV/mm，=500 r/minFig 4 Response of the first two combination resonance at E=1 kV/mm and=500 r/min

改變外加電場強度的大小(E=2 kV/mm)，得到梁在激勵頻率時的計算結果如圖5所示。由我們前面的研究［6，7］已知，當作用于電流變夾層梁上的外加電場強度增大時，梁的剛度和阻尼損耗因子將增加，梁的運動穩定性增強。故在大的外加電場作用下，受基礎激勵作用的旋轉運動電流變夾層梁也將具有更佳的抗參激共振能力。如當基礎激勵幅值y0=1.0時，系統在E=1 kV/mm條件下是不穩定的(圖2d)，但當電場強度增大到E=2 kV/mm時，系統過渡到了穩定狀態(圖5b)。說明增大電流變夾層結構上的外加電場，能提高系統出現運動不穩定的臨界激勵幅值，增強結構的穩定性。

圖5 第一階主參激共振時的響應特性:E=2 kV/mm，=500 r/minFig 5 Response of the first principal resonance at E=2 kV/mm and=500 r/min

圖6 旋轉速度對第一階主參激共振響應的影響:y0=1.5，E=1 kV/mmFig.6 Effect of rotating speed on response of the first principal resonance at y0=1.5 and E=1 kV/mm

圖6為旋轉速度對系統振動響應特性的影響，其中外加電場強度E=1 kV/mm，基礎激勵幅值y0=1.1，激勵頻率=ω1+。圖6(a)、圖6(b)分別為旋轉速度=0和=200 r/min時的振動響應時間歷程曲線和對應的相圖。由圖可見，在旋轉速度=0時，系統是作有限周期運動的;而在=200 r/min時，振幅隨時間無限增大，系統是不穩定的。故轉動速度的提高會加大系統的振動幅度，降低系統的參激振動穩定性。

4 結論

本文對旋轉運動電流變夾層梁在基礎激勵作用下的動力學特性和參激振動穩定性進行了研究。采用一次近似展開方法分析了受基礎激勵作用的定軸轉動電流變夾層梁可能發生參激振動失穩的條件。通過對電場作用下勻轉速電流變夾層梁在不同激勵參數、控制電場和旋轉速度時的振動響應時間歷程曲線和對應相圖的數值分析，探討了電場作用下電流變夾層梁受基礎激勵與定軸轉動聯合作用時的振動響應特性和穩定性。分析結果表明，在一定的條件下，可以通過控制作用于電流變夾層梁的電場強度來改變系統出現運動不穩定的臨界激勵幅值，提高結構的動力穩定性。

［1］Gandhi M V，Thompson B S，Choi S B.A new generation of ultra-intelligent composite materials incorporating electrorheological fluids［J］.Journal of composite materials，1989，23:1232－1255.

［2］Yalcintas M，Coulter J P.Electrorheological material based adaptive beams subjected to various boundary conditions［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，1995，6(5):700－717.

［3］Rahn C D，JoshiS. Modeling and controlofan electrorheological sandwich beam［J］.Journal of Vibration and Acoustics，Transactions of the ASME，1998，120(1):221－227.

［4］Young K K，Kim J，Choi S-B.Passive and active damping characteristics of smart electro-rheological composite beams［J］.Smart Materials and Structures，2001，10(4):724 －729.

［5］任建亭，閆云聚，姜節勝.電流變夾層梁的動力學分析［J］.復合材料學報，2002，19(3):114－119.

［6］魏克湘，孟 光，魯宏權.旋轉電流變復合梁的有限元建模分析［J］.振動與沖擊，2005，24(5):1－3.

［7］Wei K X，Meng G，Zhou S.Vibration control of variable speed/acceleration rotating beams using smart materials［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，298(4 － 5):1150－1158.

［8］魏克湘，孟 光.周期變速旋轉運動電流變夾層梁的參激振動［J］.力學學報，2008，40(2):273－280.

［9］吳 濤，馮志華，胡海巖.定軸轉動與基礎激勵下梁的非線性動力學［J］.振動工程學報，2003，16(1):11－16.

［10］魏克湘.大范圍運動電流變夾層梁的動力學特性與振動控制［D］.上海:上海交通大學，2006.

［11］Abbas B A H.Dynamic stability of a rotating timoshenko beam with a flexible root［J］. Journal of Sound andVibration，1986，108(1):25－32.

［12］Tan T H，Lee H P，Leng G S B.Dynamic stability of a radially rotating beam subjected to base excitation［J］.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1997，146(3－4):265－279.

［13］盛國剛，彭 獻，趙 冰.變速旋轉梁的建模與運動穩定性分析［J］.湖南大學學報，2003，30(2):16－19.

［14］Hamdan M N，El-Sinawi A H.On the non-linear vibrations of an inextensible rotating arm with setting angle and flexible hub［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，281(1 －2):375－398.

［15］胡海巖.應用非線性動力學［M］.北京:航空工業出版社，2000.

［16］Lin C Y，Chen L W.Dynamic stability of a rotating beam with a constrained damping layer［J］.Journal of Sound and Vibration，2003，267(2):209－225.