基于Stribeck摩擦模型的無刷直流電機控制系統設計與仿真

許 宏， 張 怡， 王 凌， 陳錫愛

(中國計量學院，浙江杭州 310018)

0 引言

在機器人運動控制系統中，無刷直流電機(Brushlss DC Motor，BLDCM)因其體積小、重量輕、效率高、慣量小和控制精度高，同時還保留了普通直流電動機優良的機械特性等優點而被廣泛應用。本文在分析BLDCM數學模型的基礎上，建立控制系統轉速電流雙閉環的計算機仿真模型，由于系統在實際運行中存在摩擦負載的作用，常規PID控制雖原理簡單、穩定性好、魯棒性強，但其難以對摩擦負載中的強非線性系統進行有效控制，而模糊控制可以對復雜的非線性系統進行有效控制，具有較強的自適應能力。基于以上原因，本文提出了基于Stribeck摩擦模型的模糊PID控制，既能實現精確控制，又有較強的自適應能力，更有效地實現人的控制策略。

1 永磁BLDCM數學模型

本文以兩相導通星形三相六狀態為例，分析BLDCM的數學模型及電磁轉矩等特性。為了便于分析，假定:

(1)三相繞組完全對稱，氣隙磁場為方波，定子電流、轉子磁場分布皆對稱;

(2)忽略齒槽、換相過程和電樞反應等的影響;

(3)電樞繞組在定子內表面均勻連續分布;

(4)磁路不飽和，不計渦流和磁滯損耗。

則根據BLDCM特性，可建立其電壓、轉矩狀態方程以及等效的BLDCM電路。

1.1 電壓方程

BLDCM三相定子電壓的平衡方程可用以下狀態方程表示:

式中:ua，ub，uc——三相定子電壓;

ea，eb，ec——三相定子的反電動勢;

ia，ib，ic——三相定子相電流;

La，Lb，Lc——三相定子自感;

Lab，Lac，Lba，Lbc，Lca，Lcb——三相定子互感;

Ra，Rb，Rc——三相定子繞組的相電阻。

對于凸裝式轉子結構，忽略凸極效應，則定子三相繞組的自感和互感為常數，且與轉子位置無關，因此 Ra=Rb=Rc，Lab=Lac=Lba=Lbc=Lca=Lcb=M，La=Lb=Lc=L。

若定子繞組三相Y形連接且三相繞組無中線引出，則有:ia+ib+ic=0，以及 M·ia+M·ib=-M·ic，則式(1)可表示為式(2)，由式(2)可得BLDCM的狀態方程(式(3))和等效電路(見圖1)如下。

圖1 永磁BLDCM等效電路模型

1.2 轉矩方程

BLDCM的電磁轉矩方程可表示為

式中:ω——BLDCM的角速度。

BLDCM的運動方程可表示為

式中:B——阻尼系數;

J——電機的轉動慣量;

TL——負載轉矩。

1.3 動態數學模型

假設各相繞組對稱，參數為常數，在A相和B 相導通時，ic=0，ia=-ib，設 I(t)=ib，由式(2)可得:

結合式(6)、(7)可得:

式中:U(t)——逆變器輸出電壓，U(t)=ua-ub;

E——平均反電動勢，E=ea-eb。

根據反電動勢與轉速成正比，E可近似表示為E=ken，考慮到轉矩與電流大小成正比，電磁轉矩可表示成:Ta=kTL(t)，將兩式帶入式(8)并取其拉氏變換，可得BLDCM的動態特性為

將運動學方程寫成轉速n的形式，并取拉氏變換得到:

式中:GD2——轉子的飛輪轉矩;

TL(s)——電機的負載轉矩。

其動態結構圖如圖2所示。

圖2 永磁BLDCM動態結構圖

2 摩擦負載模型

2.1 摩擦介紹

摩擦是一種復雜的、非線性的、具有不確定性的自然現象，而摩擦力是影響伺服控制系統性能的主要因素之一，會使系統出現爬行、振蕩或穩態誤差，降低運動系統的性能。一個有效的解決辦法是引入對消項，以消除摩擦力，這稱為摩擦補償。

2.2 Stribeck摩擦模型

對摩擦非線性環節建立準確的數學模型，對摩擦現象和對其進行補償都非常重要。目前，在工程中經常采用的有庫侖摩擦模型、庫侖摩擦+粘滯摩擦模型、靜摩擦+庫侖摩擦+粘滯摩擦模型和Stribeck摩擦模型。本文中的摩擦負載選用可以較為準確地反映摩擦力負阻尼特性的Stribeck摩擦模型(見圖3)，其采用速度的指數函數來描述摩擦的非線性。Stribeck摩擦模型可表示為當|˙θ(t)|＜α時，靜摩擦為

式中:F(t)——驅動力;

Fm——最大靜摩擦力;

Fc——庫侖摩擦力;

kv——粘性摩擦力矩比例系數;

α、α1——非常小的正常數。

圖3 Stribeck摩擦模型示意圖

3 BLDCM控制系統設計與仿真

3.1 BLDCM雙閉環控制系統

基于Stribeck摩擦模型的BLDCM控制系統如圖4所示。該控制系統由電流和轉速兩個控制環節構成，其中電流環作為內環，而轉速環則作為外環。

圖4 基于Stribeck摩擦模型的BLDCM轉速控制系統的控制框圖

3.2 轉速、電流調節器設計

在傳統的電機控制系統中，轉速、電流調節器大多采用PID控制:PID控制是最簡單實用的一種控制方法，其控制參數既可以依靠數學模型通過解析的方法進行整定，也可以不依賴模型而憑經驗和試湊來整定。但本文的BLDCM控制系統由于考慮了摩擦因素的影響，系統具有很強的非線性，而傳統PID控制本質上是一種線性控制器，魯棒性較差，無法達到滿意的控制效果，在速度跟蹤時有明顯的“死區”現象。

20世紀90年代發展起來的采用人工智能技術，綜合專家或現場操控人員的知識和經驗構成知識庫，模仿人的思維決策過程，實現自動調整PID控制參數的模糊自適應PID，可以將精確的問題模糊化，并運用模糊推理和解模糊化處理，實現對PID參數的最佳調整。模糊自適應PID的結構原理如圖5所示。

圖5 模糊自適應PID結構原理圖

本文的轉速、電流調節器均采用模糊自適應PID控制，其控制器輸入量分別為轉速差、轉速差變化率和電流差、電流差變化率;輸出為各控制器的PID參數。以上各變量的論域均劃分為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}七個模糊子集，隸屬度函數采用三角形分布，如圖6所示。

圖6 隸屬度函數分布圖

根據實際經驗制定模糊規則，模糊控制規則制定原則為:曲線振蕩很頻繁，增大kp值，曲線漂浮繞大彎，減小kp值;曲線偏離回復慢，增大ki值，曲線波動周期長，減小ki值;曲線振蕩頻率快，減小kd值，動差大而波動慢，增大kd值。

3.3 基于Stribeck摩擦模型的BLDCM控制系統仿真

基于Stribeck摩擦模型的控制系統Simulink仿真結構如圖7所示。采用MATLAB的S-function模塊實現Stribeck摩擦模型，圖8為其Simulink框圖，圖9為模糊PID控制器仿真結構圖。

圖7 基于Stribeck摩擦模型的雙閉環調速系統的Simulink動態結構圖

圖8 Stribeck摩擦模型的Simulink框圖

相關參數如下:R=0.518 Ω，TL=0.255 ms，Tm=7.3 ms，1/Ce=389 r/min，β =5.73 V/A，α =1/389 Vmpr，Toi=0.314 ms，Ton=6.28 ms，Ks=1，Ts=12.5 μs，Fc=15 N·m，Fm=20 N·m，Kv=2.0 Nms/rad，α1=1.0，α =0.01。

圖9 模糊PID控制器仿真結構圖

在終值為1 000的階躍信號作用下，計入Stribeck摩擦模型，采用常規PID算法和模糊PID算法時得到的系統速度響應曲線如圖10所示。控制系統由于摩擦力的作用，在常規PID算法補償下，系統響應超調量大，且穩態精度較差，而在模糊PID算法補償下，系統響應無超調，穩態精度高。可見模糊PID算法在系統有摩擦負載的情況下可以有效提高系統的穩定性和控制精度。

圖10 階躍信號下系統速度響應曲線

為檢驗系統的速度跟蹤效果，在幅值為0.6的正弦信號激勵下，系統速度跟蹤響應如圖11所示。對比圖11(a)、(b)可見，采用常規PID算法控制時，系統存在速度跟蹤“死區”現象，使系統響應曲線發生畸變;采用模糊PID算法控制時雖有抖動，但其過死區時間短、精度高，其輸出曲線更加逼近給定輸入信號曲線。因此，采用模糊PID算法可以有效提高系統的速度跟蹤精度。

圖12為系統在給定輸入下的Stribeck摩擦模型的摩擦力矩變化曲線。

4 結 語

圖11 正弦信號激勵下的速度響應曲線

圖12 摩擦力矩變化曲線

本文在BLDCM控制系統的設計中，考慮到系統在實際運行中存在摩擦負載的作用，采用常規PID控制時系統穩態精度和魯棒性較差，速度跟蹤存在明顯的“死區”現象，提出了一種基于Stribeck摩擦模型的模糊PID控制算法。經過對仿真曲線的分析比較，得知采用模糊PID控制算法時，階躍響應無超調、響應快、穩態精度高;速度跟蹤雖有抖動，但其過死區時間短、精度高，其輸出曲線更加逼近給定輸入信號曲線。

［1］龍駒.永磁無刷直流電動機轉速控制系統的優化設計［M］.成都:西南交通大學出版社，2006.

［2］Karnopp D Comput.Computer simulation of stick-slip friction in mechanical dynamic systems［J］.Journal of Dynamic Systems，Measurement and Control，1985(107):100-103.

［3］席愛民.模糊控制技術［M］.西安:西安電子科技大學出版社，2008.

［4］劉金琨.先進PID控制及其MATLAB仿真［M］.北京:電子工業出版社，2004.

［5］王丹力，趙剡.MATLAB控制系統設計仿真應用［M］.北京:中國電力出版社，2007.