基于時頻自適應最優核分布理論的諧波檢測方法

郝守慶，王著蘭，袁書波

(1.山推工程機械股份有限公司，山東省 濟寧市，272000;2.山東勝利職業學院，山東省 東營市，257097;3.華北石油工程建設有限公司，河北省 任丘市，062552)

0 引言

交流電力系統自誕生起，在產生基波電量的同時就孿生了諧波問題。隨著電力系統中非線性負荷的大量投用，電力系統中的諧波情況愈發復雜，不僅存在頻率是基頻整數次諧波，而且存在非整數次間諧波，并對電網的危害日益嚴重。解決諧波問題顯得非常迫切，而對諧波、間諧波進行有效分析治理的基礎便是對其準確的檢測［1-2］。

本文采用基于時頻自適應最優核的時頻分析方法檢測諧波、間諧波的頻率，該方法能夠用于不同類信號，可以最大程度地抑制同時間點各分量所引起的交叉項干擾［3-4］。同時，結合快速傅里葉變換方法檢測諧波、間諧波的幅值［5］，可以檢測諧波、間諧波起止時間、頻率和幅值大小。針對存在較強白噪聲、諧波、間諧波信號進行了仿真研究，仿真結果表明該方法是有效的。

1 時頻分布

1.1 自適應最優核時頻分布

時頻分析的思想起始于20世紀40年代，在眾多的時頻分析方法中，Wigner-Ville時頻分布是最基本的分布，具有許多優良的特性。Wigner-Ville時頻分布是信號時變自相關函數關于τ的傅里葉變換

如果對時變自相關函數中的t做變換，則可得到另一種二維時頻分布函數［6］

由式(1)(2)可得到

由Wigner-Ville時頻分布發展起來的各種分布可統一表示成Cohen類雙線性時頻分布［7］

式中Φ(θ，τ)為低通的核函數，通過設計不同的核函數就可以得到不同的分布特性。

自適應最優核時頻分析方法是由Wigner-Ville時頻分布改進而得到的，在該分布中短時模糊函數A1(t，θ，τ)是被窗函數截斷后的一小段信號的模糊函數［8-10］

式中:ω(u)為對稱的窗函數;t為ω(u)的中心位置。令＞T(T是窗長)時，ω(u)=0，則在任一時刻t，只有在［t－T，t+T］內的信號才可以計算其模糊函數。對于信號的任意細節部分，短時模糊函數都可以準確地刻畫出來。此時，可得與之相對應的自適應最優核Φopt(t，θ，τ)，則時間段［t－T，t+T］內信號的自適應最優核時頻分布為

自適應最優核時頻分布中的核函數能夠隨著時間的變化而變化，且其核最優化過程在時間滑動窗內實現，能夠追蹤信號的變化，但是對于非平穩多分量信號，該方法不能很好地抑制同時間點各分量所引起的交叉項干擾。

1.2 時頻自適應最優核時頻分布

時頻自適應最優核的時頻分析方法可以最大程度地抑制同時間點各分量引起的交叉項干擾，該方法將信號的Wigner-Ville時頻分布看成二維信號，在此時頻平面上的每點最優化其核函數，使得核函數能夠在時頻平面內具有自適應的特性。具有時頻局部化性質的模糊函數為

式中t和 ω給出了二維窗函數的中心位置，將Wigner-Ville分布與窗函數 A(u－t，v－ω)相乘，可以將積分區域限制在t和ω的鄰域內。與加窗傅里葉變換相同，窗函數的選取要保證其既要具有時頻局部化性質，也要具有模糊域局部化性質。由于二維高斯窗可以能夠達到不確定性原理的下界，這里可以采用二維高斯窗來保證式(8)的同時在時頻域和模糊域具有較好的分辨率。在定義局部模糊函數以后，時頻自適應最優核函數Фopt的設計可以轉換為如下的最優化問題

式中:Ap(r，φ，t，ω)、Φp(r，φ，t，ω)分別為局部模糊函數和核函數的極坐標表達形式，其約束條件為

2 時頻自適應最優核時頻分布算法

(1)將直角坐標下的局部模糊函數轉換為極坐標下的模糊函數。

(2)求極坐標網格點上的徑向高斯核函數，將所有的展布參數寫成向量形式，那么最優核函數的問題就轉化為尋找最優展布向量。

(3)利用梯度上升法迭代獲得最優化的展布向量，記i步迭代的展布向量為σi(φ)。歸一化展布向量σi(φ)以保證徑向高斯核函數的體積等于α。上述迭代過程需要迭代多次來保證σi(φ)的誤差足夠小，選取合適的收斂步長σi(φ)以保證迭代快速收斂。此迭代過程迭代若干次以后，可以得到最優化的展布向量σopt。

(4)求得矩形網格上的時頻自適應最優徑向高斯核 Фopt。

3 仿真分析

本文應用時頻自適應最優核時頻分布理論檢測諧波和間諧波的幅頻特性。設定電壓幅值為1，信號長度為2048個點，采樣率為每周波200個點，其中在600點處加入幅值為1.5的4.5次間諧波，1200點處再加入幅值為2的7次諧波。時頻自適應最優核時頻分布的分析窗為300×300，核函數體積α=1.5。同時，用S變換［12-15］對該信號進行時頻分析用以對比，采樣頻率為1 kHz，采樣時窗長2.048 s。檢測信號的幅頻特性如圖1所示。

圖1 含白噪聲、諧波和間諧波的檢測結果Fig.1 Test results with white noise，harmonics and interharmonics

圖1(a)為含隨機白噪聲、諧波和間諧波電壓信號時域波形圖。圖1(b)為信號應用時頻自適應最優核時頻分布得到的時頻分布圖，從該圖可以清晰地觀測出諧波和間諧波發生的時間及頻率大小。圖1(c)為信號應用S變換得到的時頻分布圖，通過對比圖1(b)、(c)可以看出，時頻自適應最優核時頻分布有著更高的時頻分辨率，能夠更清楚地刻畫諧波和間諧波的時頻特性，并且有較強的抗噪能力。圖1(d)清晰地檢測出了諧波與間諧波的各頻率的幅值。仿真結果表明，本文采用的方法既可以準確地檢測出諧波與間諧波發生的時間與頻率，又能檢測出各頻率下諧波和間諧波的幅值大小，且具有較強的抗噪能力。

4 結論

時頻自適應最優核時頻分布是對時頻平面上的每一點最優化其核函數，從而使得核函數能夠在時頻平面內具有自適應的特征，以此提高時頻分辨率。仿真結果表明:該方法有著較高的時頻分辨率和抗噪能力，能夠較清晰地檢測出諧波和間諧波的起止時間和頻率大小;結合快速傅里葉變換檢測信號的幅頻特性，可清晰地觀測出諧波和間諧波各頻率下的幅值，從而準確地檢測出諧波和間諧波發生的起止時間、頻率和幅值大小。

［1］周喜超，劉俊，鄭偉，等.基于小波－數學形態學和Hilbert的諧波分析［J］.電力系統保護與控制，2009，37(16):20-23.

［2］季宇，孫云蓮，李晶.基于獨立分量分析的諧波檢測［J］.電力系統保護與控制，2009，37(8):14-18.

［3］王軍，李然威，杜栓平.基于自適應時頻分布的瞬時頻率估計算法［J］.兵工學報，2009，30(10):1315-1319.

［4］王曉凱，高靜懷，何洋洋.基于時頻自適應最優核的時頻分析方法［J］.系統工程與電子技術，2010，32(1):22-26.

［5］柯勇，陶以彬，王世華.間諧波檢測的FFT算法改進和DSP實現［J］.北京科技大學學報，2008，30(10):1194-1199.

［6］張賢達，保錚.非平穩信號分析與處理［M］.北京:國防工業出版社，1998.

［7］李玲，金國斌，黃紹平.基于時頻平面脊信息提取的電能質量擾動檢測［J］.高電壓技術，2008，34(4):772-776.

［8］ Jones D L，Baraniuk R G.A simple scheme for adapting timefrequency representations［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1994，42(12):3530-3535.

［9］ Jones D L，Baraniuk R G.An adaptive optimal-kernel timefrequency representation［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1995，43(10):2361-2371.

［10］ Baraniuk R G，Jones D L.A signal-dependent time-frequency representation:Optimal kernel design［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1993，41(4):1589-1602.

［11］張宇輝，金國斌，李天云.基于自適應最優核時頻分布理論的間諧波分析新方法［J］.中國電機工程學報，2006，26(18):84-89.

［12］束洪春.電力工程信號處理應用［M］.北京:科學出版社，2009.

［13］ Stockwell R G，Mansinha L，Lowe R P.Localization of the complex spectrum:The S transform［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1996，44(4):998-1001.

［14］ Sahu S S，Panda G，George N V.An improved S-transform for time-frequency analysis［C］//IEEE International Advance Computing Conference.Patiala，India:IEEE，2009:315-319.

［15］唐求，王耀南，郭斯羽，等.基于S變換與PNN的電能質量多擾動檢測［J］.儀器儀表學報，2009，30(8):1668-1673.