基于小波分形分析和脊波網絡的模擬電路故障診斷方法

肖迎群 何怡剛

（湖南大學電氣與信息工程學院 長沙 410082）

1 引言

模擬電路故障診斷自20世紀60年代以來構成了現代電路理論的熱點研究領域和前沿研究領域，現已經發展成了網絡理論中公認的第三大分支[1]。由此，業內的許多專家與學者已經提出了各種應用于模擬電路故障診斷的方法[1-8]。然而，由于模擬電路中元器件參數的分布性、廣泛的非線性以及故障特征的復雜性，使得模擬電路故障診斷系統在其所構建系統的復雜性和故障診斷的正確性等方面還存在很多亟需解決的問題。為此，將神經網絡和小波分析等方法應用于模擬故障診斷系統，以期有效地提高模擬電路故障診斷的效率和正確性。在文獻[2]中，作者將被測電路的脈沖響應信號不加任何預處理就作為神經網絡的輸入，從而對于一個很小的被測電路就導致一個很大的神經網絡結構。所以，文獻[3-4]中，作者將被測電路的脈沖響應信號進行了小波分析、主元分析（PCA）和數據歸一化的預處理，獲得了最優特征模式作為神經網絡的輸入，這在一定程度上減少了神經網絡輸入端子數，且其故障診斷的正確率僅97%左右。而在文獻[5]中，作者在基于文獻[3-4]中提出的預處理方法的基礎上，利用張量小波構成的小波網絡對模擬電路進行診斷，使得故障診斷正確率有了更進一步的提高，達到99%左右，但是這卻帶來了小波網絡的隱層小波元構造的復雜性。另外，文獻[7]提出的基于遺傳算法和神經網絡的故障診斷系統需要同時采集多個測試點的數據而使得樣本數據的獲取非常的困難。在文獻[8]中，作者是在頻域內對故障響應信號進行分析處理以實現故障診斷，由于需要對響應信號實施頻域變換，也導致了樣本數據獲取的困難和處理步驟的增多。

因此，本文針對上述文獻中出現的問題和不足，構造了一種新型的基于脊波的脊波神經網絡即脊波網絡應用于模擬電路的故障診斷。脊波[9-10]是一種新的逼近多變量函數的有效工具，它相對于傅里葉變換和小波變換來說具有更好的逼近速率。從一定意義上說，脊波是一種帶有方向信息的小波函數，具有更多的維數信息，能處理更高維的數據，對直線性和曲線性狀的奇異性具有很好的逼近效果，從而廣泛地應用于多變量函數逼近和圖像處理領域當中[11-14]。所以，利用脊波構成的脊波網絡不僅克服了小波網絡應對高維輸入樣本時需要大量的增加小波元節點的構成數目，增加網絡的復雜度的不足，而且充分利用脊波函數的時頻局部化特性以及利用方向信息處理線性和超平面奇異性現象的優勢特點，以緊湊的結構和良好的泛化性能對模擬電路的故障模式實施有效而精確地診斷。同時，本文采用一種新型的小波分形分析方法對故障響應信號進行預處理，這種方法相對于通常采用小波能量計算法取得的故障特征模式來說，具有更好的精確性和更強的理論性，它是對故障響應信號進行小波分析的基礎上獲取其小波系數的分形維特征信息用作診斷網絡的輸入數據的。由于分形維特征對信號具有良好的表達特性，將其由PCA和數據歸一化方法實施維數和特征提取后所獲得的最優特征模式，不但具有最少維數的模式特征矢量，而且，當用作脊波網絡的輸入數據時能更精確地完成模擬電路的故障診斷。

2 小波分形分析

2.1 小波變換

小波作為一種新型的信號分析方法應用于信號與圖像處理的廣泛領域之中[15]。小波是將信號分解為能反映其本質信息的逼近部分和細節部分以便于進行進一步的分析和處理。小波變換是通過對一個母小波ψ(x)的伸縮和平移所構成的小波族實施相應的變換處理而實現的。小波族定義為

式中a，b—母小波的伸縮和平移參數。

給定一個信號f(x)和母小波ψ(x)，則信號f(x)的小波變換為

式中c(a,b)—信號f(x)的小波系數。

實際中，通常考慮信號f(x)的多分辨率分析。設{Vj}j∈Z是正交的多分辨率分析，{Wj}j∈Z是相應分解的小波空間，則f(x)在Vj上的正交投影表示為，即

式中—f(x)在2j+1分辨率下的尺度系數；

—f(x)在2j+1分辨率下的小波系數。

由此可知，cj+1和dj+1分別為f(x)在2j+1分辨率下的逼近部分和細節部分即信號f(x)的低頻分量和高頻分量。相應地，{Vj}j∈Z可做出如下的空間分解

2.2 分形維

分形維數指一個幾何物體的非整數維或分數維，是對自相似性圖形的復雜性程度的一種度量[16-17]。在信號分析領域，信號波形或波形曲線可以看成是一種幾何圖形，所以分形維能對信號的復雜性進行有效的度量和實現相應特征的刻畫，從而分形分析在生物醫學信號處理領域得到廣泛地應用[18-19]。本文使用Katz提出的信號波形的分形維數計算方法[17]來進行故障響應波形的計算以獲取相應的故障特征模式。

Katz分形維數計算方法是在時域內直接對時變信號即波形曲線進行分形維數的估計計算。這種方法免去了Higuchi算法[18-19]中需構建二進制序列的預處理過程，從而具有簡單直接、快速計算和節省存儲空間的特點。

式中L—信號波形曲線的總長度即相繼兩點間距離的和；

d—序列的第一個點與序列中其他某個點的距離，而這個點就是相對于第一個點來說提供的距離為最大的那個，即d的數學表達式為

n—信號波形步長的數目，n=L/a；

a—相繼兩個點之間的平均距離。

根據2.1節所述的信號f(x)的小波分解方式，將信號f(x)在Vj空間的投影看作原始模式，在各子空間Vj+1,Vj+2,…,Wj+1,Wj+2,…上的投影看成小波分解的子模式，因此，本文就是對這些原始模式和小波子模式進行分形維數的計算從而獲得相應的故障特征模式。

3 PCA和數據歸一化

PCA[20]作為預處理的一種方式是對經過小波分形分析之后的故障數據實施進一步的維數降低和特征提取以獲得最優的特征模式。具體來說，PCA就是將d維輸入空間xd變換到另一個m維矢量空間zm，這里m＜d。因此，當對d維輸入空間xd進行PCA處理時，首先將x寫成d個正交歸一化矢量ui的線性組合的形式

ui的子集和相應zi的值，從而得到x的逼近形式x?為

式中，剩余的i＞m+1個系數zi由bi取代。最后，定義一個對于N個樣本數據的數據集具有平方和形式的Em為

對Em進行最小化，從而得到元素為zi，i=1,…,m的矢量z即是在m維向量空間對原輸入矢量x的逼近，即是相對于原輸入矢量空間中x被提取的主元。

4 診斷電路及其特征提取

4.1 診斷電路與故障

本文考慮兩個典型診斷電路的兩類故障情形即Sallen-Key低通濾波器和四運放雙二階高通濾波器的單故障和雙故障情形。使用小波分形分析和PCA來對這兩個診斷電路進行信號預處理，從而獲得電路故障響應的最優特征模式。為了比較方便，本文采用文獻[3-4]中所給出的激勵源，分別給兩個濾波器施加幅值為5V，持續時間為10μs的脈沖波形，并在相應的電路輸出端進行采樣從而獲得各自的故障時域響應信號。

4.1.1 診斷電路1—Sallen-Key低通濾波器

圖1所示的即為中心頻率為25kHz的Sallen-Key低通濾波器[3]，在濾波器電路中，電阻和電容的容差分別為5%和10%。給電路施加脈沖激勵進行仿真時，如果電阻和電容在各自的容差范圍內變化，則認為電路為無故障狀態。

圖1 Sallen-Key低通濾波器Fig.1 Sallen-Key low pass filter

單故障情形：當電路中的任何一個元件高于或低于它的正常值的50%而其他三個元件在它們的容差范圍內進行變化時，對電路實行仿真從而獲得所需要的故障沖激響應，然后再對這些故障響應信號進行相應地預處理最后得到9個故障類別即C1↑，C1↓，C2↑，C2↓，R2↑，R2↓，R3↑，R3↓故障和無故障類別（NF），這里↑和↓分別表示故障值高于和低于各自正常值的50%時所對應的故障狀態。表1給出了Sallen-Key低通濾波器元件的正常值和故障值以及對應的故障類別。

表1 Sallen-Key低通濾波器的元件正常值和故障值以及對應的單故障類別Tab.1 Single fault classes and the nominal and faulty component values used for Sallen-Key low pass filter

雙故障情形：假設四個電路元件中的兩個元件值同時高于或低于它們對應的正常值，而其他兩個元件值卻只在其容差范圍內變化，從而得到相應的故障響應信號。這樣，雙故障類別的組合數即為=28，為了圖形表示的方便性，這里只取其中一部分故障類別來加以說明，表2給出了這其中的7個故障類別。

表2 Sallen-Key低通濾波器的雙故障類別Tab.2 Double fault classes used for Sallen-Key bandpass filter

4.1.2 診斷電路2—四運放雙二階高通濾波器

圖2所示的即為截止頻率為10kHz的四運放雙二階高通濾波器[4]，其電路元件容差的設定同圖1。

圖2 四運放雙二階高通濾波器Fig.2 Four opamp biquad highpass filter

單故障情形：表3給出了電路的單故障類別以及電路元件的正常值和故障值設定情形。所以，得到13個故障類別包括C1↑，C1↓，C2↑，C2↓，R1↑，R1↓，R2↑，R2↓，R3↑，R3↓，R4↑，R4↓，和無故障狀態（NF），其中↑和↓的表示情形同表1。

表3 四運放雙二階高通濾波器的元件正常值和故障值以及對應的單故障類別Tab.3 Single fault classes and the nominal and faulty component values used for four opamp biquad highpass filter

雙故障情形：這里，假設6個電路元件中的2個元件值同時增加或減小，而其他4個電路元件值卻只在它們的容差范圍內變化，從而形成的故障類別數為=66，同樣為了圖形說明的方便性，只采用了其中一部分故障類別。表4給出了12個元件組合方式中的16個故障類別。

4.2 特征提取

這里，給兩個濾波器電路分別施加幅值為5V，持續時間為10μs的脈沖波形，并采用以上所述的單故障和雙故障情形時的元件故障設定值進行Spice的蒙特卡羅和參數分析，并在相應的診斷電路輸出端獲得對應于每個故障類別的60個故障響應信號。接著，再對這些故障響應信號進行3層Haar小波分解以獲得相應的小波系數，同時對這些小波系數進行第2節所述的小波分形維數的計算從而得到每個故障響應信號的7個候選特征值。最后，對這些候選特征模式再進行PCA和歸一化處理所得到的最優特征模式就作為脊波網絡的樣本數據以實行訓練和測試。

圖3給出了Sallen-Key低通濾波器中的元件C1發生C1↑故障時，對其中的一個故障響應信號f(x)進行3層Haar小波分形分析而產生的示意圖。圖3中，7個子圖由上而下，從左至右分別對應于原模式信號f(x)和它的各層小波分解的子模式即第一層逼近系數cA1，第一層細節系數cD1，第二層逼近系數cA2，第二層細節系數cD2和第三層逼近系數cA3，第三層細節系數cD3。同時對這些模式信號進行分形維數的計算分別得到各自的分形維數為1.0041，1.1064，1.1394，1.0014，1.3792，1.0246和1.0178，再把這7個分形維數組合在一起就構成了所需要的一個候選特征矢量。最后，再對所有的故障響應信號經小波分形分析產生的候選特征矢量進行PCA和歸一化處理就得到用于脊波網絡實行訓練和測試的樣本數據集。在本文中，根據輸入樣本數據的相關矩陣R的特征值的特性來進行主元的選取，這些被選擇出來的主元就是最終所需要的最優特征模式。因此，表5給出了輸入樣本數據的相關矩陣R的7個降序排列的歸一化特征值，其中表中頂行的數字表示歸一化特征值的個數，而SS，SD，FS和FD分別表示Sallen-Key低通濾波器的單故障情形，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形，四運放雙二階高通濾波器的單故障情形和四運放雙二階高通濾波器的雙故障情形。在這里，對小于等于0.001的歸一化特征值進行截斷處理，從而得到了用粗體和邊框表示的被選中的主元特征值，它們均能說明各自占全體特征值99.99%的變化率。因此，根據表5中給出的結果，對SS，SD，FS和FD來說，確定它們各自被提取的主元個數為：2，2，3，3。同時，依據表5給出的被提取的主元個數，圖4給出了兩個濾波器電路在兩種不同故障情形時的用各自主元數據即最優特征矢量表示的故障類別示意圖。

表4 四運放雙二階高通濾波器的雙故障類別Tab.4 Double fault classes used for four opamp biquad highpass filter

表5 兩個濾波器在兩種故障情形時對應于由PCA產生的輸入數據的相關矩陣的降序排列的歸一化特征值Tab.5 The normalized eigenvalues of correlation matrices of input data produced by PCA arranged in descending order in the two fault cases of two filters

圖3 三層Haar小波分形分析示意圖Fig.3 Illustration of three-layer Harr wavelet-based fractal analysis

圖4 兩個濾波器在兩種故障情形時用各自主元表示的故障類別Fig.4 The fault classes characterized by principal components in the two fault cases of two filters

5 脊波網絡

5.1 脊波變換

則稱ψ為容許函數，而由ψ產生的脊函數ψγ就是脊波即ψγ=ψ((u·x-b)/a)，其中，參數γ=(a,u,b)中的三個變量：a表示脊波的尺度，u表示脊波的方向，b表示脊波的位置，它屬于參數空間Γ，即Γ={γ=(a,u,b),a,b∈R,a＞0,u∈Sd-1,||u||=1}。參數空間Γ中的度量μ(dγ)定義為：μ(dγ)=σd/ad+1dadudb，其中σd是d維空間中的單位球Sd-1的表面積，du為球Sd-1上的一致概率度量。

所以，式（12）可表示為：以脊波作為激活函數的多輸入單輸出單隱層前向脊波神經網絡，這里wi為網絡的輸出層權值，它的值可通過網絡的學習算法進行自適應調整來確定。

5.2 脊波網絡體系結構

脊波網絡的體系結構形式如圖5所示。這是一個具有單隱層的三層（包括輸入層，隱層和輸出層）前向神經網絡，它是將脊波函數應用于神經網絡的隱層神經元作為激活函數構成脊波元而形成的脊波網絡，圖5中ψ(·)為脊波函數，φ(·)則根據具體應用的需要可選為Sigmoid類函數或線性函數。

將圖5所示的脊波網絡結構圖寫成數學表達式的形式為

式中uj—第j個脊波元的方向矢量，

uj=(uj1,uj2,…,ujm) 且||uj||=1。

圖5 脊波網絡的體系結構Fig.5 The structure of ridgelet network

5.3 脊波網絡結構設計

當前，研究人員已經提出了許多方法來對神經網絡結構進行合理的設計，例如交叉驗證法[20]、信息準則法[21-22]以及最小描述長度法[23]等等。但是這些方法一般都需要對估計函數的分布情形做出比較強的假設，或者需要進行多次試錯嘗試才能獲得一個經驗性的結果，這在一定程度上限制了這些方法的實際應用。

本文采用文獻[24]提出的一種新型PCA方法來確定脊波網絡的體系結構。它不需要對一些假定函數關系的參數實行估計而只需要簡單的矩陣運算就能給出一個合理的結果，也即只需對將提取的主元進行一定準則的評估就能很容易確定脊波網絡的體系結構。對一個特定的應用來說，脊波網絡的輸入節點和輸出節點可根據輸入和輸出矢量的維數事先確定，所以這里主要就是使用PCA方法來選擇脊波網絡的隱層節點即脊波元的個數。其程序如下：

（4）最后對這組特征值進行一定準則的評估，從而取在全部特征值中占優勢比重的特征值個數即為所需的隱層脊波元的個數q*。

因此，根據PCA方法確定脊波網絡結構的程序，得到了由隱層脊波元的輸出端數據構成的相關矩陣R的歸一化特征值如圖6所示。對Sallen-Key低通濾波器的單故障情形來說，依據圖6得到其相關矩陣R的以降序形式排列的歸一化特征值為：0.7460，0.4673，0.3487，0.2290，0.1552，0.1353，0.0868，0.0334，0.0067，0.0036，0.0019，0.0010，0.0005，0.0002，0.0002，0.0001，0.0001，0.0000，0.0000，…，0.0000。這里，統一確定將小于等于0.01的很小的歸一化特征值進行截斷處理，得到了占整個特征值的99.9%以上的變化率的前8個主元特征值就作為脊波網絡對這種情形進行故障診斷時所使用的隱層脊波元的個數。依此類推，各獲到了對應于Sallen-Key低通濾波器的單故障情形，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形，四運放雙二階高通濾波器的單故障情形和四運放雙二階高通濾波器的雙故障情形的脊波網絡隱層脊波元個數分別為：8，7，16和16。

圖6 兩個濾波器在兩種故障情形時對應于由PCA產生的隱脊波元輸出數據的相關矩陣的歸一化特征值Fig.6 The normalized eigenvalues of correlation matrices of the outputs of the hidden ridgelet units produced by PCA in the two fault cases of two filters

根據本節的分析，將采用一個三層的脊波網絡的輸出來估計每個輸入數據屬于不同故障類別的概率。脊波網絡的輸出值采用1對多即S選1的編碼方法，這里假設脊波網絡有S個輸出神經元，如果某一輸入數據屬于某一故障類別p，則脊波網絡的輸出矢量t即為t(1)=0，…，t(p)=1，…，t(S)=0，這里S也表示待分類的故障類別的數目。因此，輸入數據總是被分給由脊波網絡的輸出給出的具有最高概率的故障類。在本文中，脊波網絡的隱層和輸出層激活函數分別采用脊波函數和LOGSIG函數，訓練方法采用文獻[6]中所提出的最速梯度下降法和動量法相結合的方法來實施，這里統一選定學習速率為0.1，動量常數為0.2。注意，本文采用的脊波母函數是morlet小波函數[15]經適當的變換而得到的，它具有如下的形式

式中u—脊波的方向矢量；

“·”—內積。

6 仿真結果及其分析

根據以上各節提出的設計方法，對圖1和圖2所示的兩個濾波器電路進行脊波網絡的故障診斷，對應的訓練集和測試集的大小則依據文獻[4]的設置方法分別設定為每個故障類別20個和40個，即使用OrCAD10.5模擬仿真，首先生成每個故障元件即故障類別為60個的故障響應數據，然后將其導入Matlab，再在其中隨機選取20個故障數據作為脊波網絡的訓練數據以實施對網絡的訓練，另外40個故障數據則作為它的測試數據以考察訓練好的診斷網絡的泛化性能及其故障元件診斷的正確性，接下來將通過具體例子進行詳細闡述。

從圖4中給出的故障類別分布圖可以看出，Sallen-Key低通濾波器的單故障情形，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形和四運放雙二階高通濾波器的單故障情形的故障類別之間都得到了很明顯的區分即各種不同情形的故障類別都獲得了很好的聚類結果，從而它們的故障辨識率都達到100%。同時根據上節給出的脊波網絡結構確定結果，它們對應的脊波網絡結構即輸入節點個數，隱層脊波元個數和輸出層節點個數分別為：Sallen-Key低通濾波器的單故障情形取為2，8和9，Sallen-Key低通濾波器的雙故障情形取為2，7和7，四運放雙極高通濾波器的單故障情形取為3，16和13。它們對測試數據進行分類所獲得的故障診斷正確率均為100%。而對四運放雙二階高通濾波器的雙故障情形的故障類別來說，發現DF1和DF5之間存在著少數幾個故障類別的相互重疊，因此，與這種情形相對應的具有3個輸入節點，16個隱層脊波元節點和13個輸出節點的脊波網絡進行故障診斷時，只存在著幾個測試樣本數據出現了錯誤的分類，診斷正確率達到99.9%左右。

表6給出了四運放雙二階高通濾波器對應于表4的16個雙故障類別的診斷結果。表6中的每行對應于具有40個測試數據的一個故障類別，列則指對應于不同故障類別的40個測試數據被診斷的次數。例如，第二行表示屬于DF0故障類別的40個測試數據全部被正確分類，而第三行則表示屬于DF1故障類別的38個測試數據被正確分類，另有2個測試數據被錯誤分到了DF5故障類別中去了。從表6中可以看出，第7行中，存在著屬于DF5故障類別的6個測試數據被錯誤分到DF1當中去了，它的34個測試數據得到了正確分類。因此，整個表中只有DF1和DF5類別之間存在著測試數據被錯分情況，其他的故障類別都得到完全正確的分類，總的正確分類率達99.9%以上。這與圖4給出的故障類別圖形表示情形是一致的。

表6 四運放雙二階高通濾波器對應于表4的16個雙故障類別的診斷結果Tab.6 Diagnostic result of the four opamp biquad highpass filter in diagnosing the 16 double fault classes corresponding to Table 4

將本文的脊波網絡與文獻[4]，文獻[5]和文獻[8]中的神經網絡進行結構和性能的比較。

在文獻[4]中，對Sallen-Key低通濾波器來說，神經網絡的結構即輸入節點數、隱層節點數和輸出節點數依次為4，6和9，故障診斷正確率為97%，而本文的脊波網絡結構為2，8和9，故障診斷正確率能達100%。對四運放雙二階高通濾波器來說，文獻[4]的神經網絡結構為5，16和 13，故障診斷正確率為95%，而本文的脊波網絡結構為3，16和13，故障診斷正確率達100%。由此可見，本文提出的脊波網絡在性能和結構上好于文獻[4]中提出的神經網絡診斷系統。

另外，在文獻[5]中，小波網絡結構為5，38和13，故障診斷正確率為99.95%。而本文的脊波網絡則只需要16個隱層節點，并獲得了相近的故障診斷正確率。

最后，在文獻[8]中，對Sallen-Key低通濾波器能達到100%診斷率，對四運放雙二階高通濾波器卻只實現99%的診斷正確率，而本文提出的脊波網絡對兩個濾波器電路均能實現100%的正確分類率。在結構方面，由于脊波理論的特定分析性質，本文的脊波網絡在隱層節點的數量上稍多于文獻[8]中神經網絡。另外，文獻[8]中提出的數據預處理方法是在頻域內實現的，這增加了時域和頻域數據轉換的處理步驟，而本文的數據預處理方法是在時域內直接實現的，且能夠根據故障類別之間的重疊程度靈活地選取主元的多少即最優特征向量的構成形式以實現最好的診斷。同時，本文提出的脊波網絡結構選擇設計方法同文獻[8]中的根據經驗公式來設計相比，是更具有理論依據性和靈活性，它能依據待分類數據的復雜特性靈活地選擇隱層脊波元的數目，從而確定一個合理的脊波網絡結構。

7 結論

本文研究結果表明，本文提出的脊波網絡故障診斷系統能有效地實施模擬電路的故障診斷，對兩種濾波器電路均實現幾乎100%故障診斷正確率，并與以前的一些文獻中提出的研究方法做了比較分析，突出了本文所采取方法的優越性，得出了令人滿意的結果。同時，采用PCA方法來進行脊波網絡的結構設計，使得隱層脊波元數目的確定更具有理論性、簡單性、靈活性和可靠性。最后，脊波網絡故障診斷系統不但能有效地診斷線性電路和非線性電路，而且能夠診斷電路中的單故障和雙故障甚至多故障現象。

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