基于采樣點卡爾曼濾波的動力電池SOC估計

高明煜 何志偉 徐 杰

（1.武漢理工大學信息工程學院 武漢 430070 2.杭州電子科技大學電子信息學院 杭州 310018）

1 引言

電池作為備用電源已在通信、電力系統、軍事裝備、電動汽車等領域得到了廣泛的應用。隨著環保觀念的日漸深入人心，越來越多的系統開始采用電池作為主要動力供給。在這些系統中，動力電池工作狀態的好壞直接關系到整個系統的運行可靠性。為確保動力電池組的性能良好，延長電池組使用壽命，須及時、準確地了解電池的運行狀態，對電池進行合理有效的管理和控制。而在電池各運行狀態如電池荷電狀態（State of Charge，SOC）、功率衰落、容量衰落等參數中，電池的SOC參數最為重要，其精確估算是電池能量管理系統中最核心的技術，通過SOC和其他一些相關量的變化，可以判斷出電池組中各單體電池的當前狀態，決定是否需要進行電池均衡或更換某一單體電池，而不影響整個電池組的整體性能[1]。SOC的作用與燃油汽車系統中的油量表類似，但是，剩余油量可以通過相應的傳感器直接測得，而電池的SOC卻無法用一種傳感器直接測得，它必須通過對一些其他物理量的測量并采用一定的數學模型和算法來估計得到。

一般來說，與電池的SOC有著密切關系的物理量包括電池的端電壓、工作電流、電池內阻及其周圍環境溫度等。基于這些物理量，目前，對單體電池SOC估計的主要方法有開路電壓法[2]、內阻法[3]、安時法[4]等。開路電壓法進行電池SOC估計時電池必須靜置較長時間以達到穩定狀態，而且只適用于電池電流非劇烈變化狀態下的SOC估計，不能滿足在線檢測要求。內阻法需要精確測量電池的內阻，由于一般電池內阻在毫歐級，因此對測量儀器的要求非常高，難以在實際中加以應用。安時法易受到電流測量精度的影響，在高溫或電流波動劇烈情況下，精度很差。

為了達到更高的SOC估計準確度，目前，國內外對于動態系統中電池SOC的估計采用較多的一種方法是神經網絡法[5-6]。神經網絡具有非線性的基本特性，同時具有并行結構和學習能力。當網絡訓練完成以后，對于給定的外部激勵，能直接給出相應的輸出。利用這樣的特點，神經網絡法以工作電壓、工作溫度、充放電倍率等作為輸入，以SOC為輸出來模擬電池的動態特性，最終達到估計SOC的目的。但是，神經網絡輸入變量的選擇是否合適，變量數量是否恰當，直接影響模型的準確性和計算量；而且需要大量的參考數據進行訓練，估計誤差受訓練數據和訓練方法的影響很大。如果用于網絡訓練的數據不準確或者不完備則對結果影響很大。另外，動力電池工作時，其狀態具有非常大的動態性，另一方面，即使同一批電池，其內部參數也不完全一致，因此，采用同種訓練參數來適用于不同的電池，效果可能會不理想。

當將電池看作一個動態系統時，卡爾曼濾波方法可以對動態系統的狀態做出最小均方意義上的最優估計。卡爾曼濾波已經在目標跟蹤、全局定位、動態系統控制、導航、通信等領域有了廣泛的應用。卡爾曼濾波方法在電池SOC估計領域的應用研究也越來越受到關注[7]。當采用卡爾曼濾波進行電池SOC估計時，可以將電池SOC看作是系統內部狀態向量的一個分量。但是，卡爾曼濾波只能對線性系統進行建模，而電池系統往往比較復雜，采用線性系統對電池進行建模得到的SOC估計精度必定受到限制。這一問題的解決辦法之一是采用擴展卡爾曼濾波來進行SOC的估計，并取得了不錯的研究結果[8]。但是，EKF為了求取估計誤差方差通過非線性函數的傳播，需將非線性函數用Taylor級數展開并線性化，一方面增加了計算復雜度，另一方面，在該過程中忽略了高階項，必定會引起誤差。

本文提出將卡爾曼濾波的另一種新推廣方法——采樣點卡爾曼濾波應用到電池SOC估計中。與擴展卡爾曼濾波不同的是，它通過設計少量的采樣點，根據采樣點經由非線性函數的傳播，計算出隨機向量一、二階統計特性的傳播。因此，它比擴展卡爾曼濾波能更好地逼近方程的非線性特性，從而比擴展卡爾曼濾波具有更高的估計精度。首先，文中給出了進行動力電池SOC估計的模型，從而描述電流、電壓、溫度與其SOC之間的非線性關系；然后，給出了針對該模型利用采樣點卡爾曼濾波進行電池SOC估計的關鍵步驟和算法；進而在實驗中對算法的估計精度、魯棒性及復雜度進行了驗證。

2 動力電池SOC估計模型

電池動態系統中的狀態變量除了電池SOC外，還可以有很多種，但為了簡單起見，本文暫只考慮以電池SOC作為主要的狀態變量，并主要考慮放電電流、端電壓、工作溫度與電池SOC間的關系。

2.1 過程模型

電池的SOC又稱電池剩余電量，指的是電池內所剩的容量（安時數）占標稱容量（安時數）的百分比，其中標稱容量指電池完全充滿后在室溫下以標準放電速率C/30（C為額定放電電流）進行放電時所能得到的總容量。因此，電池t在時刻的剩余電量z(t) 可以表示為

式中η——放電比例系數，與放電速度、溫度等有關；

Qn——電池的標稱容量；

i(τ)——電池在τ時刻的即時放電電流。

為了應用卡爾曼方法進行遞推估計，上述方程（1）可以離散化為

式中 Δt——離散時間間隔。

在本文中，只考慮放電電流和工作溫度對電池SOC的影響，因此，取η=ηi/ηT，其中ηi反映的是放電速率（電流）對電池SOC的影響程度，即室溫下放電電流為i時的放電比例系數（在標準放電速率下即i=C/30時，ηi=1）；ηT反映的是電池工作溫度對電池SOC的影響程度，即工作溫度為T、放電電流為C/30時的放電比例系數（在室溫即T=25℃時ηT=1）。圖1和圖2分別給出了某標稱容量為15A·h的磷酸鐵鋰電池，其不同放電速率及工作溫度對電池SOC的影響程度。從圖中可以看出，在電池允許工作范圍內，電池放電速率越高，總放電容量越低；工作溫度越高，總放電容量越高。

圖1 不同放電速率下的電池容量Fig.1 Battery capacity under different discharge rates

圖2 不同溫度下所能得到的電池容量比例Fig.2 The ratios of drawn capacity under different temperatures

本文中，ηi和ηT的確定方法分別為：

（2）根據電池在不同工作溫度Tk下所能得到的電池容量比例rk，根據最小二乘法在最小均方誤差準則下擬合出如下二次曲線：其中p，q，s為所求得的最優系數，則當工作溫度為T時

2.2 觀測模型

電池的端電壓與電池的SOC滿足一定的關系，因此，當SOC作為模型狀態已知后，電池端電壓也可以據此預測出來。在文獻[9]中給出了其中的幾個模型，分別如下。

Shepherd模型

Unnewehr通用模型

Nernst模型

在這些模型中，yk是電池端電壓，ik是放電電流，zk是電池SOC，R是電池內阻，Ki是極化電阻，K1～K3是常數。實際上，可以將這些模型結合起來，形成如下的聯合觀測模型：

令式（3）中的模型參數為矢量p，p=（K0，R，K1，K2，K3，K4）。本文中，p的確定可以由室溫下，以標準放電速率對電池進行一次完整放電過程中不同時刻電池端電壓yk及對應的電池SOC值，根據最小二乘法擬合得到。

3 基于采樣點卡爾曼濾波的電池SOC估計

3.1 采樣點卡爾曼濾波

考慮非線性系統：

式中xk——k時刻系統的L維狀態矢量；

uk——控制輸入矢量；

yk——系統的觀測矢量；

wk，vk——處理噪聲及觀測噪聲。

f與g至少有一個為非線性函數，由于f與g的非線性，無法直接使用卡爾曼濾波來進行系統狀態的估計。一種常用方法是將它們用Taylor級數進行展開并取其一階線性量對原函數進行線性近似后再采用卡爾曼濾波進行估計，即采用擴展卡爾曼濾波完成該非線性系統的狀態估計過程，這一過程存在兩個缺點：①當非線性函數的Taylor 展開式高階項無法忽略時，線性化會使系統產生較大誤差，甚至使濾波器不穩定。②在每個濾波周期需要計算Jacobian 矩陣，對于復雜高階系統，將大大增加濾波估計的運算量。采樣點卡爾曼濾波器則是另一種迭代型最小均方誤差估計器，同擴展卡爾曼濾波一樣，它仍屬于最優高斯近似卡爾曼濾波器框架中。但與擴展卡爾曼濾波器不同的是，采樣點卡爾曼濾波器并不直接對過程模型和觀測模型進行線性近似，而是利用實際的非線性模型對狀態變量的分布進行近似[10]。在采樣點卡爾曼濾波中，首先由k-1時刻狀態的最優估計x?k-1，按照一定的分布構建出2L+1個采樣點，并賦予每個采樣點對應的權值，因此這些采樣點完全擁有狀態變量的均值和協方差信息。系統的狀態估計及觀測估計是這些采樣點通過實際非線性系統傳播后的加權結果。最終直接根據卡爾曼濾波過程對狀態估計及觀測估計進行更新，完成整個濾波過程。S.J.Juliear等[11]的研究表明：采用這一過程，任何非線性系統的后驗均值和協方差都可以精確到Taylor級數展開式中的二階量，從而使誤差只存在于三階及以上。因此，與擴展卡爾曼濾波相比：采樣點卡爾曼濾波器具有更高的估計精度，且無需計算復雜的Jacobian矩陣，體現出很好的優越性。

3.2 基于采樣點卡爾曼濾波的電池SOC估計

從前文所述動力電池觀測模型表達式（3）可知，動力電池是一個復雜的非線性系統。由于放電電流ik及電池端電壓yk不可避免地存在測量誤差，另一方面，所擬合得到的相關模型也不可能完全準確地描述復雜的電池動態系統，因此，利用采樣點卡爾曼濾波從統計角度對這些不確定性進行處理可能會取得更好的結果。在過程模型和觀測模型中分別加入處理噪聲項wk及觀測噪聲項vk，從而形成如式（4）所示的處理方程及式（5）所示的觀測方程：

現假定處理噪聲wk的方差為Rw，觀測噪聲vk的方差為Rv，其中Rw與電流測量誤差有密切關系，Rv與電壓測量誤差有密切關系。

基于上述處理方程及觀測方程，采用采樣點卡爾曼濾波進行電池SOC估計的具體步驟如下：

（1）初始化：設定電池初始SOC為z?0，其估計方差為P0，確定合適的Rw及Rv值。

（2）考慮到處理噪聲和觀測噪聲的影響，將狀態變量zk-1及其估計方差Pk-1分別進行如下擴展，得到擴展狀態變量xk及其協方差Pkx為

擴展狀態變量xk的維度為L=3。

（3）根據測量得到的電池端電壓yk及放電電流ik，k=1,2,…，按照如下過程進行遞推計算。

①計算加權采樣點序列

其中，采樣點為

加權系數為

②由采樣點，根據處理方程（4）計算狀態更新

計算采樣點更新Xk|k-1

計算狀態估計

計算估計狀態的協方差

③根據觀測方程計算測量更新：

計算測量更新Yk|k-1

計算測量估計yk-

計算卡爾曼增益Kk

計算更新狀態xk

按照上述迭代過程得到的更新狀態xk的第一個分量即為k時刻的電池SOC的估計值，的第一個分量則為該估計值的估計方差。因此，采用采樣點卡爾曼濾波算法在得到SOC估計值的同時，還可以從其估計方差得到該估計的準確程度。

4 實驗分析

4.1 實驗數據獲取

實驗數據通過鋰電池試驗平臺獲得，試驗平臺由可編程直流電子負載模塊、數據采集模塊、鋰電池保護模塊、充電模塊構成。試驗中測試所用電池為浙江萬向電動汽車有限公司生產的用于電動汽車的磷酸鐵鋰電池，電池標準電壓為3.3V，標稱容量為15A·h。電池放電過程遵循電動汽車性能測試中廣泛使用的UDDS模擬行程，利用可編程直流電子負載模擬車輛在城市道路行駛時所需求的負載功率。使用高精度電壓、電流和溫度采樣設備記錄鋰電池的相關工況，采樣頻率為1Hz。

圖3顯示的是某一測試過程中所獲得的各采樣值，其中，為了使圖形更清晰，電流值只給出了一部分，從圖中可以看出，放電過程中電流變化非常劇烈。圖中放電過程中各個時刻的SOC數值是通過計算鋰電池放電到截止電壓時所釋放的總電量，然后用此總電量作為基準計算得到的；在測試過程中電池溫度基本保持不變。

圖3 鋰電池的放電電流、端電壓與實際SOCFig.3 The measured currency,terminal voltage and real SOC of a lithium-ion battery

4.2 實驗結果

根據圖3中實際測量得到的電池放電電流及端電壓，應用本文中基于采樣點卡爾曼濾波方法進行電動汽車鋰電池的SOC估計結果及誤差曲線如圖4所示。為便于比較，圖5給出了采用擴展卡爾曼濾波進行SOC估計及估計誤差曲線。

兩種方法所使用的各參數一致，分別為

圖4 采樣點卡爾曼濾波進行SOC估計Fig.4 Results of SOC estimation based on sigma point Kalman filter

圖5 擴展卡爾曼濾波進行SOC估計Fig.5 Result of SOC estimation based on extended Kalman filter

從圖4中可看出，雖然算法選定的初始SOC值與真實SOC存在一定偏差，但算法能快速地跟蹤上真實SOC值。下表中給出了采樣點卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波兩種不同濾波方法性能比較。

表 算法性能比較Tab.Performance comparison

從實驗結果可知，采樣點卡爾曼濾波方法不論是均方誤差還是最大誤差均比擴展卡爾曼濾波要小，具有更高的估計精度，速度比相應的擴展卡爾曼濾波要快1倍以上，其最大誤差只有5.14%，完全可以滿足實際應用的要求。

圖6給出了在不同初始狀態估計方差P0情況下電池SOC估計的過程。從圖6可看出，隨著P0的不斷增加，收斂速度會加快，但并不表明P0越大越好，P0比較合適的值應為1～12附近。

圖6 P0的選取對算法收斂速度的影響Fig.6 P0 Influence of P0 to the convergence rate

為進一步研究觀測模型參數改變對SOC估計的影響，將其修改為p2=[3.3619 -0.0039 0.0001-0.0924 0.0903 -0.0129]，應用到同樣的測試數據后，電池SOC估計過程的對比結果如圖7所示。從圖7可看出，本文算法可以很好地適應觀測模型參數的微小變化，對于同類型的不同電池，即使其內部參數存在著一定的差異，仍可以采用同一套模型參數來進行其SOC的精確估計。

圖7 觀測模型參數微調對SOC估計的影響Fig.7 Influence of a small adjustment to the parameters of the measurement model

5 結論

本文詳細描述了利用采樣點卡爾曼濾波算法進行動力電池SOC估計的方法和過程，探討了如何對電池過程模型進行修改，使其適應不同的溫度條件及不同的放電速率。與傳統卡爾曼濾波和擴展卡爾曼濾波相比，采樣點卡爾曼濾波利用一系列擁有狀態變量均值和方差信息的采樣點經由非線性系統傳播，直接得到電池荷電狀態的估計及其估計方差，在避免復雜的求導運算的同時進一步提高了SOC的估計精度。實驗表明：采樣點卡爾曼濾波算法可以用來進行動力電池SOC的快速精確估計，最大誤差在5%左右；模型參數的微小變化不影響SOC的估計精度，可以方便地應用于同種類型不同電池中。

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