船舶非線性橫搖運(yùn)動方程的線性化研究

李 浩 陸建輝

（中國海洋大學(xué) 工程學(xué)院 青島 266100）

0 引 言

船舶在風(fēng)波流等外在激勵(lì)的的擾動下，會產(chǎn)生各種搖蕩運(yùn)動，劇烈的搖蕩還將危及船舶航行的安全。大幅度橫搖是導(dǎo)致風(fēng)浪中航行船舶失穩(wěn)傾覆的最重要因素之一，也是最為復(fù)雜的力學(xué)問題［1］。船舶的大幅橫搖是一個(gè)強(qiáng)非線性的水動力學(xué)問題，其非線性包括：恢復(fù)力矩的非線性、阻尼力矩的非線性及多自由度運(yùn)動的非線性耦合和嚴(yán)酷風(fēng)浪條件的非線性擾動等［2］。為了進(jìn)行船舶傾覆的概率預(yù)報(bào)，人們首先想到利用線性系統(tǒng)中得到成功應(yīng)用的譜分析方法，希望把這種方法應(yīng)用到非線性系統(tǒng)分析中來［3］。在預(yù)報(bào)船舶非線性橫搖時(shí)，用線性化方程代替非線性方程，從而用譜分析的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，其難點(diǎn)在于對非線性方程的線性化。

本文在線性橫搖運(yùn)動方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用能量法，對正橫規(guī)則波中船舶非線性橫搖運(yùn)動方程進(jìn)行等效線性化，并驗(yàn)證其工程實(shí)用性，為船舶橫搖預(yù)報(bào)提供理論分析計(jì)算模型。

1 船舶在正橫規(guī)則波中的線性橫搖

目前，有多種研究船舶橫搖的數(shù)學(xué)模型均可有效模擬橫搖過程，但這些模型都以Mathieu方程為基礎(chǔ)建立，即：

慣性力矩+阻尼力矩+恢復(fù)力矩=波浪擾動力矩

式中：Jφφ為船體自身轉(zhuǎn)動慣量；

ΔJφφ為附加質(zhì)量轉(zhuǎn)動慣量；

φ為船舶橫搖角；

R（φ，t）為橫搖阻尼力矩；

K（φ，t）為橫搖恢復(fù)力矩；

M（χ，ωe，t）為波浪擾動力矩。

假設(shè)船舶在正橫規(guī)則波上作小角度橫搖，則可認(rèn)為阻尼力矩與橫搖加速度成線性關(guān)系，恢復(fù)力矩與橫搖角呈線性關(guān)系，并假設(shè)船寬與波長的比是小量。根據(jù)動平衡原理，船舶在正橫規(guī)則波中橫搖運(yùn)動微分方程為

式中：2Nφφ為阻尼力矩系數(shù)；

D為船舶排水量；

h為船舶橫穩(wěn)心高；

Xφ為波面角修正系數(shù)；

α0為波面角振幅；

ω為波浪圓頻率。

式中：XφT為考慮吃水有限性引起的動壓力修正系數(shù)，它取決于吃水與波長比（T/λ）和船舶橫剖面形狀；

XφB是考慮船寬有限性的修正系數(shù)，它取決于船寬與波長比（B/λ）和船舶橫剖面的形狀。

式（2）兩邊同時(shí)除以（Jφφ+ΔJφφ），經(jīng)整理得

式（4）為典型的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，它的解應(yīng)為齊次微分方程的通解加上該方程的一個(gè)特解。由于前面假定波浪是微幅平面簡諧波，船本身是二階線性系統(tǒng)，則該橫搖運(yùn)動也應(yīng)是簡諧運(yùn)動，故令其特解為

式中：φa為橫搖幅值；

εφa為橫搖角φ相對于波面角α的相位差。

將式（5）及其對時(shí)間t的一次及二次導(dǎo)數(shù)代入到式（4）中，得

將式（6）等號左邊項(xiàng)中括號展開，經(jīng)整理得

由式（8）得

式中：αe0=α0Xφ，為有效波面角振幅；

將式（10）代入式（7），經(jīng)整理得

當(dāng)船的無因次衰減系數(shù)μφφ和有效波面角振幅αe0確定后，根據(jù)式（11）可計(jì)算船舶在正橫規(guī)則波中的橫搖幅值。

對式（11）進(jìn)行變換，得

式中：Kφαe0稱為橫搖相對有效波面角的幅頻響應(yīng)函數(shù)或放大系數(shù)。

由式（9）可得相位差

2 船舶在正橫規(guī)則波中的非線性橫搖的線性化

以上討論船舶的橫搖運(yùn)動為微幅假設(shè)下的線性橫搖，可以用二階常系數(shù)線性微分方程描述，用普通的數(shù)學(xué)方法求解。實(shí)際上，船舶在大風(fēng)浪里的搖蕩運(yùn)動并非微幅，尤其是船舶的大幅度橫搖更為突出，它屬于典型的非線性運(yùn)動問題。

船舶大幅度橫搖運(yùn)動的非線性主要表現(xiàn)在恢復(fù)力矩的非線性、阻尼力矩的非線性及波浪擾動力矩的非線性三個(gè)方面。本文主要針對恢復(fù)力矩和阻尼力矩的非線性進(jìn)行分析論述。

船舶在大風(fēng)浪中航行時(shí)，一般橫搖角都超過8°～10°，這時(shí)阻尼力矩不再隨橫搖角呈線性變化，而是呈非線性變化［4］。橫搖非線性阻尼力矩有多種函數(shù)表達(dá)形式，本文采用線性阻尼加三次阻尼的一般阻尼形式，如式（14）所示：式中：Nφφ、W均為系數(shù)。一般認(rèn)為該表達(dá)式適合中等橫搖的情況。

隨著橫搖角度的增加，恢復(fù)力矩與橫搖角成非線性關(guān)系，其非線性由船舶的靜穩(wěn)性曲線的真實(shí)形狀確定。通常中等橫搖情況的恢復(fù)力矩非線性表達(dá)式為：

式中：K1、K2為通過擬合船舶靜穩(wěn)性曲線得到的系數(shù)。將式（14）和（15）代入到式（1）中，整理得：

式（16）為一非線性方程，采用常規(guī)的數(shù)學(xué)方法很難得到其精確解。本文根據(jù)能量法將其等效線性化求其近似解，即等效為以下形式

2.1 恢復(fù)力矩的線性化

設(shè)等效線性化后的方程（17）的一個(gè)特解為

將式（18）代入式（15），并將非線性項(xiàng)展開，得：

恢復(fù)力矩在一個(gè)搖蕩周期里做的功為0，它只引起動能和勢能等能量之間的轉(zhuǎn)換，不耗散能量。因此，對恢復(fù)力矩的線性化即為直接展開非線性項(xiàng)，并略去高頻項(xiàng)。

略去式（19）中的高頻項(xiàng)并整理，得：

2.2 阻尼力矩的線性化

阻尼力矩不同于回復(fù)力矩，它要耗散船舶的運(yùn)動能量。但無論采用哪種阻尼力矩的函數(shù)表達(dá)形式，

令 φ=φasint），采用式（14）中阻尼力矩的函數(shù)表達(dá)形式，在一個(gè)搖蕩周期內(nèi)所做的功為：在一個(gè)完整的橫搖周期內(nèi)所做的功都一樣。

等效線性阻尼在一個(gè)搖蕩周期內(nèi)所做的功為：

將方程式（17）兩邊同除以（Jφφ+ΔJφφ），整理得：

設(shè)式（26）的特解為 φ=φasin（ωt+εφa），由以前的推論可知：

等效線性方程的解與線性方程的解不同處在于：等效線性方程的阻尼力矩系數(shù)和恢復(fù)力矩不再是常數(shù)，而是與待求的橫搖角幅值有關(guān)。因此，應(yīng)將式（26）與式（21）和式（25）聯(lián)立迭代求解。

3 實(shí)例驗(yàn)證

在中等搖幅情況下，可認(rèn)為恢復(fù)力矩仍為線性，此時(shí)阻尼力矩已呈現(xiàn)出非線性。本文以某型號船為例，驗(yàn)證阻尼為非線性時(shí)線性化后方程的實(shí)用性。該船基本參數(shù)見表 1［5］。

表1 船舶基本參數(shù)

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式可以得到線性橫搖阻尼系數(shù)2N=18.75 tm2s-1，三次非線性橫搖阻尼系數(shù)W=144.6 tm2s，與其對應(yīng)的橫搖衰減系數(shù)為2v=0.069 6 s-1，w=0.536 7 s。 取波長為 λ=40 m，波高為H=3 m，波浪頻率ω==1.245 rad/s。波面角修正系數(shù)Xφ=0.823 2；波面角振幅α0=0.235 6。該船舶的非線性運(yùn)動方程為：

采用數(shù)值解法解此方程，可得其穩(wěn)定橫搖幅值

相對誤差為2.24%，控制在工程應(yīng)用可接受范圍內(nèi)，故該等效線性化模型可應(yīng)用于實(shí)際工程分析計(jì)算。

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果可得搖幅相對誤差：

4 結(jié) 語

近年來，有關(guān)非線性動力學(xué)理論研究取得的眾多成果及迅速發(fā)展的計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)，極大地推動了船舶非線性問題的研究步伐，人們開始采用非線性動力學(xué)理論來研究船舶的大幅橫搖運(yùn)動及傾覆機(jī)理。線性系統(tǒng)中的譜分析法，作為一種古老而成熟的分析方法，在船舶運(yùn)動預(yù)報(bào)中仍被廣泛運(yùn)用［6］。

本文基于能量法對規(guī)則波中船舶非線性橫搖運(yùn)動方程進(jìn)行線性化，導(dǎo)出線性化系數(shù)表達(dá)式，經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證表明該線性化模型具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值。得到線性化方程后，即可進(jìn)一步得到該方程的頻響函數(shù)。當(dāng)輸入量波浪擾動力（矩）已知時(shí)，即可方便地求得對應(yīng)的船舶搖蕩運(yùn)動的幅值和相位角，極大簡化了預(yù)報(bào)程序。

［1］A.H.Nayfeh.On the undesirable roll characteristics of ship in regular seas［J］.Journal of Ship Research，1988，32（2）：95～100.

［2］馮鐵成.船舶搖擺與操縱［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1980.

［3］李積德.船舶耐波性［M］.哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)出版社，2007.

［4］鄺艷香.縱浪中船舶參數(shù)激勵(lì)非線性隨機(jī)橫搖研究［D］.天津：天津大學(xué)，2008.

［5］李紅霞.縱浪和斜浪中船舶非線性運(yùn)動特性研究［D］.天津：天津大學(xué)，2007.

［6］Jianbo Hua.A Study of The Parametrically Exceited Roll Motion of A RoRo-Ship in Following and Heading Waves［J］.Int.Shipbuild.Progr.，1992，39（420）：345～366.