船舶航跡跟蹤的滑模控制

邢道奇 張良欣

（海軍工程大學 后勤指揮與工程系 天津 300450）

0 引 言

由于對船舶控制要求的不斷提高，船舶航向控制已經(jīng)不能滿足實際需要，從而促使航跡跟蹤控制研究成為船舶控制的研究熱點。

根據(jù)期望航跡是否為時間的函數(shù)，船舶航跡跟蹤可分為路徑跟蹤 （path tracking）和軌跡跟蹤（trajectory tracking）。路徑跟蹤不需考慮時間的靜態(tài)幾何位置跟蹤，而軌跡跟蹤則要求實時跟蹤時變的期望軌跡，其跟蹤控制的實現(xiàn)比路徑跟蹤困難得多［1］。同時，由于船舶運動具有慣性大、非線性、模型參數(shù)不確定以及存在擾動等特點，因此船舶航跡控制成為了一個非線性問題，若采用線性的船舶模型，則會對航跡跟蹤控制性能產(chǎn)生影響，難以滿足控制要求。故本文采用非線性船舶模型進行船舶軌跡跟蹤控制器設計。

滑模控制器因其具有對系統(tǒng)參數(shù)攝動和外界干擾的強魯棒性，以及控制計算量小、實時性強、快速性好等特點，在解決船舶非線性控制問題上，得到了廣泛地運用［2，3］。 本文將滑模控制方法［4］引入到船舶軌跡跟蹤控制中，采用指數(shù)趨近律進行滑模控制器設計，對動態(tài)直線軌跡和環(huán)形軌跡的跟蹤控制進行了仿真試驗，以驗證所設計的滑模控制器的有效性。仿真結果表明：滑模控制器的軌跡跟蹤控制性能良好，能精確跟蹤船舶航跡。

1 船舶非線性數(shù)學模型［5］

雖然船舶在海洋中實際運動時通常具有6個自由度，但是，對大多數(shù)船舶運動及其控制問題而言，僅考慮3個自由度的平面運動是可行的。因此，本文以船舶平面運動方程為基礎，研究船舶軌跡控制問題。

向量 η=［x，y，ψ］T表示地球 NED 坐標系中船舶的位置和首向角，向量 v=［u，v，r］T表示船體坐標系中船舶的縱向速度、橫向速度和首向角速度。

地球NED坐標系和船體坐標系之間轉(zhuǎn)換的運動學方程為：

船體坐標系中的船舶平面運動方程為：

其中，坐標系轉(zhuǎn)換矩陣為：

科氏和向心力矩陣為：

阻尼矩陣為：

式中：τ=［τ1，τ2，τ3］T分別是縱向和橫向推進力和轉(zhuǎn)向力矩的控制輸入，c1=（m-Yv˙）v+（mxg-Yr˙）r，c2=m-Xu˙，xg為船體坐標系中船舶重心在x軸方向上的坐標值，Xu、Xu˙、Yv、Yv˙、Yr、Yr˙、Nv、Nr、Nv、Nr、Iz為船舶水動力參數(shù)。

定義地球坐標系中的動態(tài)期望軌跡為：xd（t）、yd（t）和 ψd（t）分別為 t時刻船舶的期望位置和首向角。

2 航跡跟蹤的滑模控制器設計

2.1 滑模控制器設計

由式（1）可得：

將式（4）代入式（2）中，船舶動力學方程變?yōu)椋?/p>

定義軌跡跟蹤誤差量［5］為：

假設期望軌跡 ηd，和光滑且有界，定義虛擬期望軌跡為：

式中：Δ＞0為正定的設計對角矩陣。

設計船舶跟蹤控制的滑模面為：

由式（5）、（9）得：

定義滑模控制規(guī)律為［3］：

式中：τe為等效控制，τs為切換控制。

為了快速到達滑模面，考慮指數(shù)趨近律：

式中：設計控制矩陣 K=diag{k1，k2，k3}；

由式（10）～（13）可得切換控制為：

由式（11）、（12）、（14）得滑模控制器控制規(guī)律為：

由式（15）可設計船舶航跡跟蹤的控制框圖，如下頁圖1所示。

圖1 船舶航跡跟蹤的控制框圖

2.2 穩(wěn)定性分析

定義 Lyapunov 函數(shù)［4，6］為：

由于慣性矩陣M是正定的，由推導可知M·（ψ）是可逆的，則式（10）變?yōu)椋?/p>

將式（15）代入上式可得：

設計參數(shù)矩陣 K=diag{k1，k2，k3}和 ε=diag{ε1，ε2，ε3}是 3×3正定對稱矩陣，可得：

即對于船舶運動非線性方程式（1）、（2），設計其滑動模態(tài)，如式（9）；相應的滑模控制規(guī)律為式（15），則滑動模態(tài)是漸近穩(wěn)定的，且跟蹤誤差趨于0。

3 仿真試驗

以挪威科技大學全驅(qū)動模型船CybershipⅡ為仿真對象［7］，采用圖1所示的控制規(guī)律，對其進行航跡跟蹤控制仿真，模型船主要參數(shù)見表1。

滑模控制器參數(shù)設計 為：Δ=diag{15，15，15}，K=diag{1，1，1}，ε=diag{0.01，0.01，0.01}

3.1 仿真試驗1

選擇期望軌跡為：ηd=［t，t，0］T， 船舶初始狀態(tài)

12為：η0=［80 m，10 m，20°］T。 即期望軌跡相當于模型船以0°的首向角，沿直線Y=X航行。由圖2、3可看出船舶能夠較好地跟蹤期望軌跡，控制效果良好。

表1 模型船主要參數(shù)

圖2 船舶軌跡跟蹤曲線

圖3 首向角的跟蹤誤差

圖4 船舶軌跡跟蹤曲線

圖5 位置X的跟蹤比較

3.2 仿真試驗2

在仿真中，給定期望軌跡為：

圖6 位置X的跟蹤誤差

圖7 位置Y的跟蹤誤差

式中：ud＝2 m/s、vd=0 m/s、rd=0.01π（rad/s），即期望軌跡相當于模型船以2 m/s的速度、沿半徑為200/π（m）的圓航行，初始位置設為：η0=［-10 m，10 m，10°］T。

從圖4～8可看出，船舶可快速精確跟蹤期望軌跡，使跟蹤誤差趨近于0，跟蹤控制性能良好。下頁中圖9～11是船舶縱向、橫向控制力和首向角力矩曲線。從中可以看出，控制輸入經(jīng)過較大調(diào)整后，快速趨近于相對穩(wěn)定的狀態(tài)。但是由于滑模控制固有的局限，控制輸入出現(xiàn)了抖振。如何抑制軌跡跟蹤控制中的抖振是今后研究中需要解決的問題。

4 結 語

本文建立了全驅(qū)動船舶非線性平面運動方程，設計了船舶軌跡跟蹤的滑模控制器，以全驅(qū)動模型船Cybership II為仿真對象，對2種期望動態(tài)軌跡跟蹤控制進行了仿真試驗，仿真結果驗證了滑模控制器的有效性，跟蹤控制性能良好。

［1］郭晨，汪洋，孫富春，等.欠驅(qū)動水面船舶運動控制研究綜述［J］.控制與決策.2009，24（3）：321-329.

［2］Fahimi F.Sliding-Mode Formation Control for Underactuated Surface Vessels［J］.IEEE TRANSACTIONS ON ROBOTICS.2007，23（3）：617-622.

［3］Alfaro-Cid E，Mcgookin E W，Murray-Smitha D J，et al.genetic algorithmsoptimization ofdecoupled Sliding Mode controllers：simulatedandreal results ［J］. Control Engineering Practice.2005，13：739-748.

［4］胡躍明.變結構控制理論與應用［M］.北京：科學出版社，2003.

［5］Fossen T I.Marine Control Systems：guidance，navigation and control of ships，rigs and underwater vehicles ［M］.Trondheim，Norway：Marine Cybernetics，2002.

［6］高為炳.變結構控制理論基礎［M］.北京：科學技術出版社，1990.

［7］Skjetne R.The Maneuvering Problem［D］.Norwegian University of Science and Technology，2005.