Artin A-半單環(huán)探究

田 巖，張力宏，張秋雨，劉 巖

(吉林師范大學(xué) 博達(dá)學(xué)院，吉林 四平 136000)

1 A-內(nèi)射模及其性質(zhì)

圖1 A-內(nèi)射模圖象 圖2 A-內(nèi)射模的交換圖

易見(jiàn)，內(nèi)射模是A-內(nèi)射模.另外由定義1，可得

命題1 左R-模M是A-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)正合列

0→C→B→A→0，

有正合列

0→HomR(A，M)→HomR(B，M)→HomR(C，M)→0，

其中B是Artin模.

命題2 左R-模M是A-內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)有交換圖2，其中R是Artin環(huán)，I是R的任意左理想.

證明 “?”顯然.

“?”考慮圖3，其中B是Artin模，C是B的子模，令Ω={(C'，β')|其中C?C'?B，β'是α在C'上的擴(kuò)張}，由于A(yíng)rtin模關(guān)于子模封閉，所以Ω非空，定義(C'，β')<(C''，β'')?C'?C''?B，且β''是β'在C''上的擴(kuò)張，則Ω是偏序集且滿(mǎn)足Zorn's引理，從而有極大者(C0，β0).

若C0=B，則結(jié)論成立.假設(shè)C0≠B，則有

0≠x∈BC0.令I(lǐng)={r∈R|rx∈C0}，

則I是R的左理想.定義h:I→M，r→β0(rx)，則由已知，有同態(tài)映射h':R→M，是h在R上的擴(kuò)張.

令C1=C0+Rx?B，則C0?C1，定義

β1：C1→M，a0+rx→β0(a0)+rh(1)，

其中a0∈C0，1∈R是單位元.如果

a0+rx=a'0+r'x，a'0∈C0，r'∈R，

有(r-r')x=a'0-a0∈C0，得

r-r'∈I，β0((r-r')x)=β0(a'0-a0)=

h(r-r0)=h(r-r0)=(r-r0)h'(1)，

從而

β0(a'0)+r0h'(1)=β0(a0)+rh'(1)，

說(shuō)明β1是良定義的模同態(tài)映射，且β0(a0)=β1(a0)，得(C1，β1)∈Ω，且(C0，β0)<(C1，β1)，這與(C0，β0)的取法矛盾，所以C0=B，由定義1知M是A-內(nèi)射模.

圖3 A-內(nèi)射模圖象

命題3 A-內(nèi)射模關(guān)于直積，直和項(xiàng)封閉.

證明 設(shè){Mi|i∈Ω}是左R-模，A是任意左R-模，由[1]中定理2.6，有

HomR(A，∏Mi)?∏HomR(A，Mi)

設(shè)0→C→B→A→0是任意左R-模短正合列，有交換圖4.

圖4 正合列交換圖

其中B是Artin模，頂行，底行正合，α，β，γ同構(gòu).反復(fù)應(yīng)用命題1，可證得A-內(nèi)射模關(guān)于直積，直和項(xiàng)封閉.

2 A-投射模及其性質(zhì)

定義2 設(shè)M是左R-模，若對(duì)任何正合列

其中B是Artin模，任何模同態(tài)α：M→A，有β：M→B，使α=πβ，則稱(chēng)M為A-投射模.(圖5).

圖5 A-投射模圖象

易見(jiàn)，投射模是A-投射模.由定義2，易得

命題4 左R-模M是A-投射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)正合列

其中B是Artin模，有正合列

0→HomR(M，C)→HomR(M，B)→HomR(M，A)→0.

命題5 A-投射模關(guān)于直和、直和項(xiàng)封閉.

證明 設(shè){Mi|i∈Ω}是左R-模簇，N是任意左R-模，則由[1]中定理2.4，有

設(shè)0→A→B→C→0是任意左R-模短正合列，有交換圖6.

圖6 正合列的交換圖

其中B是Artin模，頂行，底行正合，α，β，γ同構(gòu).反復(fù)應(yīng)用命題4可知，對(duì)每個(gè)i∈Ω，Mi是A-投射模?底行是短正合列?頂行是短正合列?ЦMi是A-投射模.可證得A-投射模關(guān)于直和、直和項(xiàng)封閉.

3 A-半單環(huán)

定理1 對(duì)于環(huán)R，以下命題等價(jià):

i)每個(gè)左R-模是A-投射模;

ⅱ)每個(gè)左R-模是A-內(nèi)射模;

ⅲ)A-內(nèi)射模關(guān)于子模封閉;

ⅳ)A-投射模關(guān)于商模封閉;

ⅴ)每個(gè)Artin模的子模是其直和項(xiàng);

ⅵ)每個(gè)Artin模都是半單模;

ⅶ)對(duì)于每個(gè)Artin模A，有Soc(M)=M;

ⅷ)對(duì)于每個(gè)Artin模A，有J(A)=0.

證明 ⅰ)?ⅱ)考察圖7，其中B是Artin模，由已知A是A-投射模，所以底行可裂，從而有β是α的擴(kuò)張.

ⅱ)?ⅰ)考察圖8，E是Artin模，由已知B是A-內(nèi)射模，所以底行可裂，存在λ：A→E，使1E=λπ.存在β=λ?，其中β:M→E，因?yàn)棣笑?πλα，所以α=πβ，圖形可交換，故M是A-投射模.

圖7 模擴(kuò)張圖象

圖8 A-投射模的交換圖

圖9 正合列可裂的交換圖

ⅱ)?ⅲ) 顯然成立.

ⅲ)?ⅱ) 設(shè)M是左R-模，E(M)是M的內(nèi)射包，當(dāng)然是A-內(nèi)射模，由已知，M是A-內(nèi)射模.

ⅰ)?ⅳ) 顯然成立.

ⅳ)?ⅰ) 設(shè)M是左R-模，則有正合列P→M→0，其中P是投射模，當(dāng)然是A-投射模，由已知M是A-投射模.

ⅰ)?ⅴ) 設(shè)左R-模正合列0→C→B→A→0，其中B是Artin模，

由已知A是A-投射模，所以正合列可裂，得C是B的直和項(xiàng).

ⅴ)?ⅰ) 考察圖9，其中B是Artin模，由已知，底行可裂，所以有λ:A→B，使πλ=1A，令β=λα，則πβ=πλα=α，得i)成立.

ⅴ)?ⅵ) 設(shè)M是Artin模，若M的每個(gè)子模都是其直和項(xiàng)，由[2]中命題2，4知M是半單模.

ⅵ)?ⅴ) 設(shè)M是Artin模，若M是半單模，再由[2]中命題2.4，M的每個(gè)子模都是其直和項(xiàng).

ⅵ)?ⅶ) 若M是Artin半單模，則M=M1⊕M2⊕M3⊕…Mn，Mi是M的極小子模，再由Soc(M)的定義，有Soc(M)=M.

ⅶ)?ⅵ) 設(shè)M是Artin模，且Soc(M)=M，由[3]中推論9.1.3，Soc(M)是M的最大的半單子模，所以M是半單模.

ⅵ)?ⅷ) 由[4]中命題10.15顯然.

定義3 稱(chēng)滿(mǎn)足以上等價(jià)條件的環(huán)R為A-半單環(huán).

顯然，半單環(huán)是A-半單環(huán).

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