Clifford 代數Clp，q的中心子代數

宋元鳳，李武明，丁寶霞

(通化師范學院 數學系，吉林 通化 134002)

1 預備知識

(p，q)型Minkowski空間p，q的Clifford代數Clp，q是一類2p+q維的實結合代數，在數學與物理中有諸多應用.[1-11]p，q的M-正交集e1，…，ep，ep+1，…，ep+q對Clp，q的Clifford積滿足[1-11]

(1)

并由此確定Clp，q的一組基[1-11]：

1，

e1，e2，…，ep+q，

e1e2，e1e3，…，e1ep+q，e2e3，…，e2ep+q，…，ep+q-1ep+q,

…………，

e1e2…ep+q

(2)

2 兩種虛單位與兩種復數

在(1)中，e1，…，ep稱為雙曲虛單位，ep+1，…，ep+q稱為橢圓虛單位，任取ek∈{e1，…，ep}，由1與ek生成Clp，q的2維子代數

<1，ek>={a+bek|a，b∈，

同構于雙曲復數

H={a+bj|j2=1，j?}.

對應于此，任取e1∈{ep+1，…，ep+q}，由1與e1生成Clp，q的2維子代數

<1，e1>={a+be1|a，b∈，

同構于橢圓復數

={a+bi|i2=-1}.

顯然，Cl1，0?H，Cl0，1?.

3 Clp，q的中心

引理1 作為實交換代數，Cen(Cl0，0)=，

Cen(Cl1，0)?H，Cen(Cl0，1)?.

(3)

引理2 當p+q=2k，k∈{0，1，2，…}，

Cen(Clp，q)=.

(4)

證明 當p+q=0時，由引理1知命題成立，當p+q=2k，k∈{1，2，…}時，考察t次向量ei1i2…it(i1

引理3 當p+q=2k+1，k∈{0，1，2，…}時，

(5)

證明 當k=0即p+q=1時，由引理1知命題成立.當p+q=2k+1，k∈{1，2，…}時，考察t次向量ei1i2…it(i1

對于基元e12…p+q，因為p+q=2k+1，任取ek∈{e1，e2，…，ep+q}均有

eke12…p+q=e12…p+qek，1≤k≤p+q.

所以

ek1ek2…ekse12…p+q=e12…p+qek1ek2…eks，其中ek1，ek2，…，eks∈Clp，q，

對于Clifford代數Clp，q中任意元素

α=a0+a1e1+…+ap+qep+q+a12e12+…+ap+q-1p+qep+q-1p+q+…+a12…p+qe12…p+q，

均有

αe12-p+q=e12…p+qα，

即

e12…p+q∈Cen(Clp，q)，

因此，

定理1 Clifford代數Clp，q的中心Cen(Clp，q)由如下公式確定

(6)

關注Clp，q的n次單位向量e12…n的如下表達式

(7)

可得與(6)式相關的兩個推論.

推論1

(8)

其中n=p+q.

推論2

(9)

其中n=p+q.

參考文獻：

[1]Pertti Lounesto.Clifford Algebras and Spinors [M].New York: Cambridge University Press，1997.

[2]Thomas W. Hungerford. Algebra [M].New York:Springer-Verlag，1974.

[3]李武明，張慶成.思維雙曲復空間與Lorentz群[J].東北師大學報，2005，37(2).

[4]李武明，許寧.多內積空間的性質[J].通化師范學院學報，2010，31(10).

[5]李武明.Clifford代數上的一類矩陣[J].通化師范學院學報，2000(5).

[6]李武明.Clifford代數與Minkowski空間的性質[J].吉林大學學報，2000，13(4).

[7]李武明.時空平面的Clifford代數與Abel復數系統[J].吉林大學學報，2007(5).

[8]吳亞波.Clifford代數中的雙曲相位變換群及其在四維相對論時空中的應用[J].物理學報，2005(11).

[9]曹文勝.四維Clifford代數的相似與合相似[J].數學物理學報，2010，30A(2).

[10]Cao W S.Solvability of a quaternion matrix equation[J].Appl Math J Chinese Univ Ser B，2002，17:490～498.

[11]Cao W S，Parker J， Rang X T.On the classification of quaternion Mobuis transformations[J].Math Proc Cambridge Philos Soc，2004，137:349～361.