靜水壓力下變厚度圓柱（錐）殼結構強度分析

王永軍，萬正權，沈永春

（中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引 言

現代潛艇均包括多個不同功能的艙段，彼此間通過連接結點進行連接。對于結構尺度相差較大的艙段進行連接，其連接結點也必須特殊設計，如“厚板削斜連接”[1-2]、“鍛鋼環連接”[3]、“錐—環—柱連接”[4-5]等等。這些結構可以有效減緩結構的應力集中，同時有效降低結構重量。即便如此這些連接結點區域仍然是潛艇耐壓結構的高應力區，必須對其在靜水壓力下的強度進行準確分析。

對這些連接結點進行觀察可以發現，它們可以分解為等厚度柱（錐）殼、變厚度柱（錐）殼等基本結構。等厚度圓柱殼結構求解相對簡單，利用克雷洛夫函數可以進行精確求解[6]。對于等厚度圓錐殼也存在解析解[7]或準確解[8]，但需使用Besse函數等高等函數，數學處理過程較為復雜。變厚度圓錐殼更加復雜，其平衡方程包括兩組變系數，進行精確求解更為困難。本文作者在文獻[9]中利用冪級數法建立了一種簡化的等厚度圓錐殼結構強度解析方法。本文將在文獻[9]研究的基礎上，將其推廣到線性變厚度圓錐殼上，利用冪級數法推導其殼單元剛度陣及載荷陣，建立可以對變厚度強度進行準確分析計算的解析單元法（Analytic Element Method,AEM）。

2 變厚度圓柱（錐）殼單元

在文獻[9]圓錐殼平衡方程的基礎上，推導考慮大撓度效應的線性變厚度圓柱（錐）殼單元的剛度矩陣與載荷列陣。線性變厚度圓柱（錐）殼單元包括兩個節點四個自由度。當殼體的母線為曲線或厚度為非線性變化時，可以利用為多個變厚度圓柱（錐）殼單元進行近似分析，因而該單元具有更大的通用性。

變厚度圓柱（錐）殼單元簡圖、單元坐標系及變形與載荷方向見圖1，假設靜水壓力始終垂直作用于殼體中面。

圖1 變厚度圓柱(錐)殼單元結構簡圖與坐標系Fig.1 Sketch and element coordinate system of cone shell with varible thickness

2.1 變厚度圓柱（錐）殼平衡微分方程

根據變厚度圓柱（錐）殼結構特點，可得如下方程組：

由于厚度與主曲率半徑均為線性變化，因此它們可以用母線坐標表示為：

上式中所有系數均為冪函數，表達式如下：

2.2 平衡微分方程的解

2.2.1 齊次微分方程的冪級數解

方程（5）對應的齊次方程為：

該方程的通解可以用冪級數進行如下表示：上式的一到四階導數分別為：

將（7）、（8）式代入（6）式可得

當n≤9時有

當n≥10時有

2.2.2 級數收斂性證明

下面對微分方程變量ξ定義域區間（-1,1）內的收斂性進行證明：

首先，確定（7）式的收斂半徑R，R=X

由（10）、（11）式可得

將 A0、A1、A2、A3、A4、A5表達式代入上式可得

由于λ1，λ2∈（-1，1 ），故由（13）式可得：

即（7）式的收斂半徑R大于1，收斂區間為 ξ∈（-R，R），而微分方程的定義域 ξ∈（-1，1），顯然在此收斂區間內，從而證明變厚度圓柱（錐）殼方程（6）可以利用冪級數法進行求解。

2.2.3 平衡微分方程特解

本節將利用伽遼金法確定邊界為無矩狀態時的非齊次方程特解。假定方程（5）在邊界ξ＝±1上彎矩M=0，剪力N=0，方程的在無矩邊界條件下的近似解及伽遼金權函數形式同[9]，此時殘差函數為：該方程組中各系數項的表達式如下：

方程組（16）是關于 a1′、a2′、a3′和 a4′的四元線性方程組，對其求解即可得到 a1′、a2′、a3′和 a4′。 因此方程（5）的通解可以表示為：

利用（17）式即得變厚度柱（錐）殼結構各點的轉角、彎矩與剪力的表達式：

2.3 變厚度圓柱(錐)殼單元剛度矩陣與節點載荷列陣

2.3.1 節點位移

變厚度圓柱（錐）殼單元A、B節點位置分別為x=±l/2即ξ=±1，每個節點上各有徑向位移、轉角、彎矩和剪力四組量，其中徑向位移、轉角為節點廣義位移，彎矩、剪力為節點載荷。靜水壓力下變厚度圓柱（錐）殼單元在節點處的徑向位移與轉角可以用矩陣表示為：

2.3.2 節點載荷

靜水壓力下變厚度圓錐殼結構在節點處的剪力與彎矩可以用矩陣表示為：

2.3.3 單元剛度矩陣與節點載荷列陣

將廣義位移w轉化到總體坐標系

將廣義力N轉化到總體坐標系

最終可確定二節點變厚度圓柱（錐）殼的剛度矩陣：

節點載荷列陣：

3 算例分析

本節將利用一只線性變厚度錐柱結合殼簡化模型（見圖2），通過與通用有限元法程序ANSYS10.0對比計算驗證本文建立解析單元法對于錐—柱結合殼結構強度計算準確性，同時分析幾何參數對該模型典型位置結構強度的影響。

圖2 變厚度錐柱結合殼結點簡化模型Fig.2 Sketch of a simple cone-cylinder shell with varible thickness

計算模型錐殼中點M的主曲率半徑R0=1 054mm，厚度為t0=8mm，母線長度為l0=180mm，法線與軸線夾角為60°。與錐殼相連的結構為等厚度圓柱殼，長度為la=lb=180mm，厚度等于與之相連的圓錐殼端A點與B點厚度，圓柱殼的另一端A0與B0施加簡支邊界條件。材料彈性模量E=1.96×105MPa，泊松比μ=0.3。在0.46Pcr計算壓力下，保持M點厚度不變，通過調整厚度參數λ1改變錐殼的厚度變化，對該簡化模型進行系列計算。利用解析單元法進行計算時級數取200項。實踐表明級數項取15項以上即可獲得較為準確的計算結果。ANSYS10.0通用有限元方法的網格尺度約為3t0，采用8節點殼體單元。

首先對參數進行無量綱化：

圖3－5分別給出了λ2=0.189 5（θ=60°）時，錐殼小端根部A點中面周向應力系數KA2、外表面縱向應力系數KAt、內表面縱向應力系數KAb、隨厚度參數λ1的變化規律。圖6給出了錐殼中點M的中面周向應力系數KM2隨厚度參數λ1的變化規律。圖7－8分別給出了錐殼大端根部B點外表面縱向應力系數KBt、內表面縱向應力系數KBb、隨厚度參數λ1的變化規律。

由這幾組曲線可以發現，這幾組應力系數AEM計算結果與FEM計算結果基本一致。在考慮大撓度效應與忽略大撓度效應兩種情況下，系數KA2、KAt、KAb、KBt和KBb等最大偏差都在4%以下。考慮大撓度效應時系數KM2的最大偏差約為7%，此時λ1=0.5厚度差較大。因此，可以認為本文建立的變厚度圓（錐）殼強度AEM方法是準確可靠的。

由這幾組曲線可以看出：應力系數KA2、KAt和KAb隨λ1增大而增大，KAt、KAb隨λ1增大而減少，KM2隨λ1增加變化不顯著。主要由于隨厚度系數λ1的增大，A點厚度減薄，B點厚度增加，而M點厚度始終保持不變。

由圖3-8中曲線還可以看出，對于這幾組應力系數，大撓度效應影響明顯，并且這種影響隨λ1的增加越發顯著。例如：當λ1=0時，如果考慮大撓度效應應力系數KA2將增加17%，當λ1=0.5時KA2將增加60%。應力系數KM2，不考慮大撓度效應時，KM2隨λ1增加而增加，考慮大撓度效應后KM2隨λ1增加而減少。

圖3 應力系數KA2隨λ1的變化規律Fig.3 Relationship between KA2and λ1

圖4 應力系數KAb隨λ1的變化規律Fig.4 Relationship between KAband λ1

圖5 應力系數KAt隨λ1的變化規律Fig.5 Relationship between KAtand λ1

圖6 應力系數KM2隨λ1的變化規律Fig.6 Relationship between KM2and λ1

圖7 應力系數KBb隨λ1的變化規律Fig.7 Relationship between KBband λ1

圖8 應力系數KBt隨λ1的變化規律Fig.8 Relationship between KBtand λ1

4 結 語

本文將變厚度圓柱（錐）殼簡化為軸對稱的二節點單元，根據平衡方法推導了該結構的單元剛度陣與載荷陣，建立了求解靜水壓力下變厚度圓柱（錐）殼結構強度的解析單元法（AEM）。利用該方法對一個簡單的變厚度錐柱接合殼算例進行了計算并與有限元方法的計算結果進行了比較。研究表明，本文提出的AEM法可以對靜水壓力下變厚度錐殼結構強度進行準確分析。本文建立的方法可以推廣到各種軸對稱壓力作用下的變厚度圓柱（錐）殼結構強度分析。

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