含裂紋Timoshenko梁自由振動分析

徐福后，張玉祥

（第二炮兵工程學院 203室，西安 710025）

1 引 言

裂紋是最典型的結構損傷形式之一，裂紋的損傷檢測對于保證設備的正常工作、預防突發災難性事故具有重要意義。基于振動的裂紋損傷檢測方法因其高效性被廣泛關注，其檢測原理是：當結構出現裂紋時，動力學特性參數如固有頻率、振型將發生相應變化，從而通過監測結構固有頻率的變化檢測結構的裂紋損傷。目前，許多學者對裂紋梁結構固有頻率和模態開展了研究[1-3]，這些研究大多針對Euler-Bernoulli梁結構，研究成果只能應用于梁結構細長比較大的情況。對于細長比較小的梁結構，Euler-Bernoulli梁理論會產生較大偏差，必須采用Timoshenko梁理論，由于Timoshenko梁理論考慮了剪切變形和轉動慣量的影響，問題更為復雜、研究難度更大[4]，因而目前含裂紋Timoshenko梁研究較少[5]。

本文研究含裂紋Timoshenko梁的自由振動問題，將裂紋模擬為一無質量的扭轉彈簧，扭簧的柔度為裂紋深度和截面高度的函數，采用傳遞矩陣法，結合具體的邊界條件給出含裂紋梁的頻率方程。對簡支梁進行數值模擬，研究裂紋對梁的固有頻率的影響。

2 Timoshenko梁自由振動分析

考慮一矩形截面Timoshenko梁，其幾何尺寸是：長為L，寬B，高h，如圖 1所示。

圖1 含裂紋Timoshenko梁Fig.1 The cracked Timoshenko beam

圖2 含裂紋Timoshenko梁彈簧等效模型Fig.2 The equivalent model of cracked Timoshenko beam

裂紋在距左端LC處，深度為hc。將裂紋處模擬為一無質量扭轉彈簧，如圖2所示，扭轉彈簧的柔度系數可以表示為裂紋深度和高度的函數[6]，

對于完整Timshenko梁（不含裂紋），彎曲變形時橫向位移可以分解為

式中，w1（x,t）為彎曲變形引起的，w2（x,t）為剪切變形引起的，因此有

式中，α為變形后截面的法線與水平軸的夾角，φ為剪切變形的剪切角，如圖3和圖4。根據材料力學的知識，梁的彈性方程為

圖3 Timshenko梁微元變形示意圖Fig.3 The deformation of infinitesimal Timoshenko beam element

圖4 Timshenko梁微元受力示意圖Fig.4 The load on the infinitesimal Timoshenko beam element

其中，E為彈性模量，I是單位長度的轉動慣量，w是橫向位移，G為剪切模量，k為與橫截面形狀有關的剪力修正系數，A是截面面積，M是彎矩，Q為剪力。

由力的平衡和力矩平衡方程得

上式中，ρ是梁的密度，m是單位長度梁的質量。

由（4）、（5）式可以得到Timoshenko梁自由振動的橫向位移控制方程：

假定橫向位移為：

將（7）式代入（6）式整理得到：

本文考慮ω小于臨界頻率時的情況，即：

作如下變換：

將（10）式代入（8）式，求解微分方程可以得到梁的橫向撓度為

Timoshenko梁自由振動彎曲引起的轉角控制方程為：

按照（6）式的求解方法可以得到αˉ的解。

將（11）、（16）式代入（5）式可以得到彎矩為：

3 傳遞矩陣

對圖1所示裂紋梁結構可以分成3部分：裂紋部分和裂紋左右完整部分，分別求出梁各部分結構的傳遞矩陣，選擇狀態矢量Z，

上式中，上角標T為轉置操作符，后文同此。

3.1 完整部分傳遞矩陣

由（24）式和（26）式可得T1為裂紋左段的傳遞矩陣：

同樣的方法可以求得裂紋右段的傳遞關系為：

T2為裂紋右段傳遞矩陣：

3.2 裂紋部分傳遞矩陣

在裂紋處，左右兩部分保持橫向位移，彎矩和剪力的連續條件，但在裂縫處轉角不連續，扭轉彈簧的轉角θ為左右兩部分梁在裂紋處的轉角差，即

裂紋處的傳遞關系為

式中Tc為裂紋處的傳遞矩陣，具體表達式如下：

上式中D為扭轉彈簧的柔度系數，見（1）式。

3.3 總體傳遞矩陣

將（35）和（28）兩式代入（30）式，整理可得

式中T為裂紋梁的總體傳遞矩陣，

根據邊界條件可以簡化總體傳遞矩陣，固支端wˉ=0，αˉ=0，鉸支端wˉ=0，Mˉ=0，自由端Mˉ=0，Qˉ=0，如對于簡支梁，（37）式可以簡化為

上式即為含裂紋Timoshenko梁的頻率方程，求解方程即可得到裂紋梁的各階固有頻率。

4 數值算例

為了便于比較，采用文獻[5]與文獻[7]中的簡支梁作為算例來驗證本文提出方法的有效性。文獻[5]與文獻[7]中梁的幾何參數和物理參數相同，如表1所示。裂紋處于梁的中間位置，即Lc/L=0.5。計算結果如圖5所示，圖中實驗值由文獻[7]給出，縱坐標為含裂紋梁與對應的無裂紋梁的各階頻率基頻的比值ω/ω0，橫坐標為裂紋深度相對深度hc/h。

表1 梁的幾何參數和物理參數Tab.1 Properties of the beam

圖5 裂紋深度對梁前三階固有頻率的影響Fig.5 The first three nature frequency of cracked beam

從圖5可以看到裂紋使得梁的一階、三階固有頻率均有所下降，裂紋越深，頻率下降得越多，呈拋物線的形式，而對二階固有頻率幾乎沒有影響。本文方法計算結果與文獻[5]及實驗都很接近，二階與三階固有頻率計算結果比文獻[5]更接近實驗值。

為了研究裂紋對不同細長比梁的影響，文獻[5]分別對L/h=15、10和5的簡支梁進行了計算，本文取文獻[5]中的參數進行數值計算，參數如表2，裂紋處于梁的中間位置，即Lc/L=0.5，梁的高度為h。計算結果如圖6所示，圖中縱坐標為裂紋梁的基頻率與完整梁的基頻的比值。

表2 梁的幾何參數和物理參數Tab.2 Properties of the beam

圖6 裂紋深度對不同細長比梁基頻的影響Fig.6 The first nature frequency of cracked beam with different slenderness ratio

從圖6可以看出，在細長比（L/h）較大時（圖6（a））裂紋對基頻的影響相對較小，隨著細長比的減小，裂紋對基頻的影響越來越大。本文方法計算結果與文獻[5]很接近，尤其是在計算細長比較小的情況，兩者更為相似，這說明本文方法能夠很好地用于分析含裂紋的Timoshenko梁。

5 結 論

本文提出了利用傳遞矩陣法分析含裂紋Timoshenko梁自由振動，這種方法只需要計算一個2×2矩陣的行列式值，計算簡單、高效。以文獻[5]、文獻[7]中的簡支梁為例，采用本文方法進行了數值計算，驗證了本文方法的有效性，并得到如下結論：

（1）裂紋梁的一階固有頻率與完整梁的固有頻率比值隨裂紋深度增加而減小，并且減小的速率比其它各階頻率大。

（2）對于裂紋處于梁的中間位置時，二階固有頻率幾乎不隨裂紋的深度改變。

（3）梁的細長比越小，裂紋對它的影響越大。

[1]吳國榮,張曉君.含裂紋梁自由振動分析[J].船舶力學,2007,11(5):798-803.Wu Guorong,Zhang Xiaojun.Analysis on the free vibration of cracked beams[J].Journal of Ship Mechanics,2007,11(5):798-803.(In Chinese)

[2]李學平,余志武.含多處裂紋梁的振動分析[J].應用力學學報,2007,24(1):66-68.

[3]Zhang Xiaoqing,Han Qiang,Li Feng.Analytical approach for detection of multiple cracks in a beam[J].Journal of Engineering Mechanics,2010,136(3):345-357.

[4]Leszek Majkut.Free and forced vibrations of Timoshenko beams described by single difference equation[J].Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2009,47(1):193-210.

[5]Swamidas A S,Yang X,Seshadri R.Identification of cracking in beam structures using Timoshenko and Euler formulations[J].Journal of Engineering Mechanics,2004,130(11):1297-1308.

[6]Fernandez-Saez J,Rubio L,Navarro C.Approximate calculation of the fundamental frequency for bending vibrations of cracked beams[J].Journal of Sound and Vibration,1999,225(2):345-352.

[7]Christides S,Barr A D S.One-dimensional theory of cracked Bernoulli-Euler beams[J].Int.J Mech.Sci.,1984,26:639-648.