滲透水壓下巖體多裂紋相互作用的計算

楊 慧，江學良，曹 平

（1．中南林業科技大學 土木工程與力學學院，長沙410004；2．湖南城市學院 土木工程學院，湖南 益陽 413000；3．中南大學 資源與安全工程學院，長沙410083）

地下巖體常以多裂紋的面貌出現，由于裂紋尖端應力分布的奇異性，容易引發裂紋尖端材料局部失效而導致宏觀破壞，巖石斷裂力學的研究主要集中在對均質材料中特殊單一裂紋或者規律性分布裂紋斷裂力學行為的探討，進而對復雜多裂紋巖體的力學行為進行研究。多裂紋相互作用分析，作為巖體材料細觀破損分析的關健問題，近幾十年來獲得了廣泛的關注，發展了多種分析方法［1－10］。基于應力疊加技術，Kachanov提出了一種計算多裂紋相互作用下應力強度因子的簡單方法，并進一步用來估算多裂紋體等效彈性 參 數 及 分 析 裂 紋 體 的 應 力、應 變 場［6－7］。Li等［10］，李銀平［11］，H．Qing［12］等對 Kachanov法提出了改進，提高了計算精度。Basista［8］、李銀平［13］等將該方法推廣到壓縮荷載下準脆性物體中多個壓剪裂紋相互作用的問題。實際工程中的巖體賦存于一定的地應力和地下水壓力環境中，地下水與巖體相互作用。處于滲透壓下的多裂隙巖體，其力學行為將發生改變。地應力在裂隙面的法向分量一半使結構面受到壓縮并使深埋巖體中的裂隙閉合，而地下水壓力作用于裂隙面的法向，力圖使裂隙面張開。無滲透水壓時裂紋尖端的應力為壓應力，在滲透水壓下可能轉化為拉應力，裂紋尖端的復雜應力狀態直接影響著裂紋尖端的應力強度因子值。關于滲透壓下的巖橋貫通規律，學者已作了一些理論及試驗研究［14－16］，但對于應力場和滲透壓共同作用下巖體中多裂紋相互作用的研究甚少。

本文根據斷裂力學理論，建立無限大板含多裂紋的力學模型，根據疊加原理，推導遠場應力和裂隙水壓力共同作用下的多裂紋應力強度因子，并在此基礎上研究滲透水壓下多裂紋的相互作用，為滲透壓條件下的多裂隙巖體斷裂失穩的研究提供初步理論依據。

1 水－巖力學作用下多裂紋應力強度因子計算

考慮裂隙滲透水壓的情況如圖1所示，無限平面x－o－y內 含 有N條 裂 紋，裂 紋 長 度 為2ai（i＝1，…，N），與x軸的夾角為αi（i＝1，…，N），受遠場雙軸壓應力σ∞＝－（σ1∞，σ3∞），裂隙水滲透壓力為pw，垂直于裂紋表面。

圖1 滲透水壓下多裂紋計算模型

對任意裂紋i，根據任意斜面上應力分量變換關系，可知作用于裂紋面上的法向及切向應力分別為［16］

1）裂紋未閉合情況：

2）裂紋閉合情況：

其中，tanφj為摩擦系數，Cj為內聚力。

將此問題分解為N個子問題，每個子問題中只含有一條裂紋，而無窮遠處應力為零，每條裂紋面上受法向及切向應力作用，是初始面力和由于其他N－1條裂紋的存在而引起的附加面力兩者之和。如圖2所示，例如：第k裂紋面上所受的法向及切向應力為p k（sk）和qk（sk）。該問題又可以分解為N個子問題，每個子問題中只有一條單裂紋，且裂紋表面應力情況未知，例如：單獨考慮第k裂紋，其裂紋面上的應力為Pk（sk）和Qk（sk）。

圖2 多裂紋疊加示意圖

根據疊加原理，得到Fredholm積分方程［5］

式中，f nn，f nt，f tn，f tt為相互作用系數，表達式見附錄A。假設Fredholm積分方程在離散點M處能獲得滿意的計算結果，則由式（3）即可得到N條裂紋的2×N×M個方程，再利用Chebyshev數值迭代規則即可得到

通過分析，將邊界條件帶入式（1）、（2），即可以通過MATLAB編程計算得出Pk，Qk，從而由下式得到水－巖力學作用下各裂紋尖端的應力強度因子

2 算例分析

2．1 2條裂紋算例分析

無限板中含2條裂紋，取2a＝20 mm，裂紋之間垂直距離2d＝2 mm，平行距離2b＝4 mm，取σ1＝10 MPa，σ3＝4 MPa，裂隙水壓力p＝2 MPa，如圖3所示。

圖3 2條裂紋計算模型

根據式（3）得到各裂紋的相關方程并代入式（4）得

求解以上方程組即可求得2條裂紋相互影響下的P1（si），Q1（si），P2（ti），Q2（ti），代入式（6），計算得到不同裂紋傾角下裂紋尖端各點的應力強度因子值。如果不考慮裂紋之間的相互影響，根據斷裂力學理論，將式（1）代入下式，即可得到任一裂尖端應力強度因子為

將慮裂紋間相互影響計算得到的結果與上式進行對比，得到無量綱應力強度因子值，見圖4。

圖4 2條裂紋F1A，F1B…，F2D值

2．2 3條裂紋算例分析

無限板中含3條裂紋，取2a＝20 mm，①②裂紋間2b＝10 mm，①③裂紋間2d＝4 mm，取σ1＝10 MPa，σ3＝4 MPa，裂隙水壓力p＝2 MPa，如圖5所示。根據式（3）得到各裂紋的相關方程并代入式（4）得

圖5 3條裂紋計算模型

求解以上方程組即可求得3條裂紋相互影響下的P1（si），Q1（si），P2（ti），Q2（ti），P3（ki），Q3（ki），代入式（6），計算得到不同裂紋傾角下裂紋尖端各點的應力強度因子值。將慮裂紋間相互影響計算得到的結果與式（9）進行對比，得到無量綱應力強度因子值，見圖6。

圖6 3條裂紋F1A，F1B…，F2T值

圖中F各值如下式：

由圖4、圖6可知，多裂紋的相互作用對裂紋尖端處的應力場影響較大，根據裂紋的相對幾何位置和裂紋傾角變化，進行不同疊加后的應力場可產生2種效應，應力強度影響加強區與應力強度影響減弱區，當相鄰裂紋尖端處于加強區時，該裂紋的應力強度因子將會變大，反之則變小。

3 滲透壓下多裂紋相互作用分析

計算模型見圖3，按裂紋滲透水壓p＝0、2、4、6、8、10 MPa；裂紋間垂直距離2d＝2 mm，水平距離2b＝0、2、4、6、8、10 mm共36種情況進行計算，得出了各種情況下裂紋尖端的應力強度因子，如圖7—8所示。

圖7 裂紋1尖端A點KI、KII值

圖8 裂紋1尖端B點K I、K II值

從上圖可知，各條裂紋尖端KI隨著滲透壓的增大而增加，即使－KI逐漸減小，這說明裂隙水壓力抵消了一部分正應力。裂紋外端部A點的KII有相同的變化趨勢，而內端部B點KII的變化還受到相鄰裂紋尖端應力場的影響，隨著裂紋水平間距的增大出現先減小后增大的規律，但最終都趨于一個定值，該值為考慮單一裂紋計算所得到的KII。

對于閉合裂紋，其端部I型應力強度因子恒為零，由裂紋上下表面間摩擦力的存在影響了裂紋面的相對滑動，從而影響應力強度因子KII，見圖9。從圖中可知，2條裂紋尖端的應力強度因子變化趨勢相同，都隨摩擦系數的增大而減小。

圖9 摩擦系數對K II的影響

4 結 論

1）巖體中的裂隙大都成組出現，每一個裂紋都被其他裂隙所包圍，這些都會影響裂紋尖端附近的應力狀態。多裂紋的相互作用對裂紋尖端處的應力場影響較大，根據裂紋的相對幾何位置和裂紋傾角變化，進行不同疊加后的應力場可產生2種效應，應力強度影響加強區與應力強度影響減弱區，當相鄰裂紋尖端處于加強區時，該裂紋的應力強度因子將會變大，反之則變小。

2）滲透水壓的存在，大大的改變了裂隙尖端的應力強度因子，各條裂紋尖端KI隨著滲透壓的增大而增加（使－KI逐漸減小），這說明裂隙水壓力抵消了一部分正應力。

3）不同間距的平行裂紋相互影響所產生的應力強度因子的變化趨勢是完全一致的，且隨著裂紋間距離的加大，計算所得出的應力強度因子值都趨于一個定值，該值為沒有裂紋影響時的應力強度因子值。考慮裂紋間的相互作用與裂紋間的相對距離有關，當裂紋間距＞裂紋長度時，可以忽略裂紋相互作用對裂紋尖端應力場的影響。

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［16］MUSKHELISHVILI．數學彈性力學的幾個基本問題［M］．趙惠元．譯．北京：科學出版社，1958．

附錄A 裂紋相互作用系數和相互作用因子

如圖Al所示，無限大平板內有一條長為2a的裂紋AB，坐標原點取于裂紋中點，x軸與裂紋重合，在裂紋附近考慮一虛擬裂紋CD，與x軸的夾角為α，分析虛擬裂紋CD上任意一點的應力情況。

圖A1 虛擬裂紋計算

式（3）、式（4）中相互作用系數和相互作用因子可以由彈性力學基本解求得如下［A1，A2］：

參考文獻：

［A 1］CHEN Y Z．Multiple crack problems of antiplane elasticity in infinite body［J］．Engineering Fracture Mechanics，1984（20）：767－775．

［A 2］MUSKHELISHVILI．數學彈性力學的幾個基本問題［M］．趙惠元．譯．北京：科學出版社，1958．