軸向荷載對(duì)橫向受荷樁承載性狀影響的參數(shù)分析

梁發(fā)云，陳海兵，宋 著

（同濟(jì)大學(xué)a．巖土及地下工程教育部重點(diǎn)試驗(yàn)室；b．同濟(jì)大學(xué) 地下建筑與工程系，上海200092）

在橋梁、高層建筑以及海洋工程中，樁基礎(chǔ)通常承受軸向與橫向荷載的共同作用。常規(guī)樁基設(shè)計(jì)方法中，一般是將2種受力情況分別計(jì)算，然后基于小變形假定直接進(jìn)行應(yīng)力疊加［1］。然而，當(dāng)作用在樁上的軸向荷載較大時(shí)，樁的彈性撓曲變形和軸向荷載之間的相互作用影響不容忽視，也即軸向與橫向荷載之間產(chǎn)生了明顯的耦合效應(yīng)［2］。對(duì)此，橫山幸滿［3］曾指出：同時(shí)承受軸力和水平力作用的樁，嚴(yán)格的來說，應(yīng)力疊加原理是不適用的。

軸向與橫向荷載共同作用下的樁基問題引起了一些學(xué)者的關(guān)注，多數(shù)研究表明［2－5］，軸向荷載對(duì)橫向受荷樁的作用會(huì)使樁身彎矩增加或增大樁的側(cè)向變形，主要區(qū)別是對(duì)于軸向荷載影響程度的分析結(jié)論有所不同。但是也有研究認(rèn)為軸向荷載對(duì)樁基水平承載特性的影響與土性有關(guān)［6］或者對(duì)樁的側(cè)向變形和內(nèi)力幾乎沒有影響［7］。

Zhang等［5］系統(tǒng)地回顧了相關(guān)研究文獻(xiàn)，指出關(guān)于軸向與橫向荷載共同作用的試驗(yàn)研究［8－10］多是基于軸向荷載較小的前提下進(jìn)行的（軸向荷載通常小于樁頂承臺(tái)的重量），難以清晰地揭示出軸向荷載對(duì)橫向受荷樁承載性狀的影響機(jī)理。特別是當(dāng)樁頂作用的軸向荷載比較大時(shí)，如何正確評(píng)估軸向荷載對(duì)橫向受荷樁承載特性的影響非常重要。

本文基于彈性地基梁法，建立軸向與橫向荷載作用下的樁基撓曲微分方程，采用有限單元法進(jìn)行求解，通過參數(shù)分析研究軸向荷載對(duì)橫向受荷樁承載特性的影響，以期為工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 分析方法

對(duì)于軸向荷載作用下的橫向受荷樁，橫向荷載使樁身產(chǎn)生彎矩和撓曲變形的同時(shí)，由于樁身撓曲變形的出現(xiàn)，軸向荷載也可能會(huì)對(duì)樁身的內(nèi)力和變形產(chǎn)生明顯影響，因此，有必要考慮軸向荷載的作用效應(yīng)。此時(shí)樁身的受力情況如圖1所示，圖中N、H和M分別為作用于樁頂?shù)妮S向荷載、橫向荷載以及彎矩，p（x，z）為直接作用在樁身上的外荷載，q（x，z）是由外荷載作用產(chǎn)生樁身變形引起樁側(cè)土產(chǎn)生的連續(xù)分布的地基反力。

圖1 樁身受力示意

將樁視作彈性地基梁，通過樁身微元受力分析，建立軸向與橫向荷載共同作用下的樁單元撓曲微分

方程如式（1）。

其中：N（z）為樁在z深度處承受的軸力。

dH／dz＝q（x，z）－p（x，z），樁側(cè)土抗力q（x，z）可以由地基系數(shù)的Cz根據(jù)式（2）確定。

利用梁的彎矩與位移之間的微分關(guān)系（3），代入式（1）可推導(dǎo)出樁的撓曲微分方程如式（4），其中，EI為樁身抗彎剛度。

將樁離散成長度為l的樁單元，采用如圖2的坐標(biāo)系，得到軸向與橫向荷載的平衡樁單元微分方程如式（5）。對(duì)軸向荷載作用下的橫向受荷樁進(jìn)行分析，可采用Galerkin法對(duì)式（5）進(jìn)行求解。

圖2 樁單元

式（5）為變系數(shù)微分方程，其建立的前提是在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上，因此對(duì)第3項(xiàng)的二階微分是可以忽略的［3］。事實(shí)上，若離散后的梁?jiǎn)卧銐蛐。烧J(rèn)為單個(gè)單元的N（z）相等，記為N。式（6）即為經(jīng)典的基于梁柱原理的樁身單元微分表達(dá)形式：

橫向荷載作用下梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚕跭 p］e的集成總體剛度矩陣［K p］，軸向荷載作用下梁?jiǎn)卧膭偠染仃嚕跭 N］e集成總體剛度矩陣［K N］，地基剛度單元矩陣［Ks］e集合成總剛度矩陣［Ks］。

式（6）離散后可寫成如下的矩陣形式：

其中，n為分段數(shù)，Cz i表示深度z i處的地基系數(shù)，Ne為梁?jiǎn)卧妮S向壓力。除了特別說明，本文將N e統(tǒng)一視為樁頂荷載進(jìn)行處理，在第3．4節(jié)說明此處理方法的合理性。

2 算例驗(yàn)證

為說明計(jì)算方法的實(shí)用性，將采用Cz地基系數(shù)為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行計(jì)算，由地基系數(shù)分布形式帶來的影響將在第3．3節(jié)中討論。在計(jì)算中將地基作為連續(xù)彈性體確定地基系數(shù)的方法［3］，可采用 Vesic［11］提出的方法來確定Cz，該方法的特點(diǎn)是可將地基系數(shù)與土體的變形參數(shù)和土的泊松比聯(lián)系起來，即：

式中，Es和υs分別為土的彈性模量和泊松比，其他參數(shù)定義同上。

算例1：本文方法與Poulos ＆Davis的彈性理論法［12］對(duì)比如圖3所示，計(jì)算時(shí)樁長與直徑比為L／d＝25，樁的柔度系數(shù)為K R＝Ep I p／（Es L4），土的泊松比為0．5，樁頂自由。樁頂作用有水平力或彎矩時(shí)的樁身彎矩分布曲線分別如圖3（a）和圖3（b）所示，對(duì)于樁身剛度較大的樁，本文解答與Poulos＆Davis分析結(jié)論是一致的，而對(duì)于樁身剛度較小的樁，本文方法的樁身彎矩要略大一些。

算例2：以文獻(xiàn)［13］的有限元算例進(jìn)行對(duì)比分析，樁長66 m，樁身彈性模量為28 000 MPa，樁徑為1 m，土的彈性模量為50 MPa，泊松比為0．35，樁頂水平力400 k N，軸向荷載為3 000 k N。樁端持力層與樁周土相同。本文方法得到的單樁彎矩如圖4所示，與有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合，產(chǎn)生偏差主要是由于2種方法所采用的土體本構(gòu)模型不同所致，文獻(xiàn)［13］在有限元計(jì)算時(shí)土體采用的是彈塑性本構(gòu)模型。

3 參數(shù)分析

本節(jié)將對(duì)軸向荷載作用下橫向受荷樁進(jìn)行參數(shù)分析，算例中的樁頂均為自由，樁身全部埋入土中。

圖3 與Poulos ＆Davis計(jì)算結(jié)果彎矩對(duì)比圖

圖4 單樁彎矩對(duì)比圖

3．1 軸向荷載的影響

Broms ＆Hansbo認(rèn)為當(dāng)軸向荷載小于屈曲臨界荷載的10%時(shí)，軸向荷載對(duì)側(cè)向撓曲一般只有很小的影響［14］。而對(duì)于軟粘土，樁的臨界荷載較低，有必要分析軸向荷載大于屈曲臨界荷載10%的情況。為方便研究軸向荷載的影響，本文采用直樁撓曲荷載Ncr作為基準(zhǔn)來分析軸向荷載的影響，Ncr可按式（9）確定［14］。

取樁長與直徑比L／d＝25，土的泊松比υs＝0．25，樁土彈性比E p／Es＝1 000，樁頂作用的水平力和軸力分別為H＝πGsd2＝12．7%Ncr和N＝0、0．5H、H、2H、3H，樁身的彎矩和變形情況如圖5所示，Gs為土體剪切模量。

圖5 不同軸向力作用下的水平樁

從圖5中可看出，軸向荷載對(duì)樁身彎矩和側(cè)向撓曲的影響主要在上部z／R＝0～20，水平樁最大彎矩發(fā)生在地面線以下z／R＝5～10范圍，樁頂水平位移增加很快。當(dāng)N＝0．5H，即6．35%Ncr時(shí)，最大彎矩增加16．6%，樁頂位移增加10．8%；當(dāng)N＝H，即12．7%Ncr時(shí)，最大彎矩增加39．0%，樁頂位移增加25．1%。

隨著N／H比值繼續(xù)增加，樁身彎矩和撓曲增幅將快速增加，N／H越大，軸力對(duì)樁身彎矩越加顯著。因此，在一定范圍內(nèi)，隨著N／H比值的增加，樁身上部的內(nèi)力和側(cè)向撓曲增幅影響顯著。軸向與橫向荷載作用下的樁基內(nèi)力和變形實(shí)際上是與兩類荷載的大小密切相關(guān)，其主要原因是軸向荷載引起的樁基橫向變形是非線性的。

3．2 樁土彈性模量比的影響

取樁長與直徑比L／d＝25，土的泊松比υs＝0．25，樁土彈性比Ep／Es＝100、500、1 000、5 000、20 000，圖6是在水平力H＝12．7%Ncr和軸力N＝H作用下，樁身的彎矩和變形受樁土彈性比的影響情況。

從圖6中可看出，除Ep／Es＝100外，隨著Ep／Es的增加，受軸向壓力的影響，水平樁最大彎矩點(diǎn)逐漸下移，發(fā)生在地面線以下z／R＝5～15的距離內(nèi)，樁頂位移減小。軸向荷載對(duì)樁身彎矩和側(cè)向撓曲的影響主要在上部z／R＝0～25，當(dāng)Ep／Es越大時(shí)，樁身上部彎矩增幅越大，而樁側(cè)向撓曲變形趨于平緩。

圖6 Ep／Es下水平力和軸力作用樁

3．3 地基系數(shù)的影響

地基系數(shù)為常量的假設(shè)對(duì)于非均質(zhì)土可能會(huì)帶來較大的偏差，本節(jié)主要分析地基系數(shù)的影響。取樁端土的彈性模量Esb＝1／4 000Ep，按式（8）計(jì)算樁底地基系數(shù)。計(jì)算結(jié)果如圖7所示：1）表示地基系數(shù)為常數(shù)；2）表示地基系數(shù)為線性變化；3）取樁頂?shù)乇硗恋哪Ａ縀s0／Esb＝1／3，得到的地基系數(shù)為梯形分布；4）取沿深度方向地基模量按Esb·（z／L）0．3分布，地基系數(shù)隨深度呈拋物線變化。取水平荷載H＝12．7%Ncr進(jìn)行計(jì)算，土的泊松比為0．35，L／d＝25。

圖7 地基系數(shù)分布形式

圖8 地基系數(shù)下水平力和軸力作用樁

圖8表明樁端地基系數(shù)相等時(shí)，上部地基系數(shù)的分布形狀對(duì)于受軸向與橫向荷載作用的樁基承載性狀影響是不同的。其中，地基系數(shù)呈線性增加時(shí)，軸向荷載對(duì)水平載荷樁的影響是最大的，樁身最大彎矩值增加62．1%，樁身的最大彎矩位置明顯下降，樁頂位移也顯著增加；地基系數(shù)為常數(shù)時(shí)，影響是最小的，樁身最大彎矩值增加15．7%；地基系數(shù)呈梯形和拋物線形模式，計(jì)算得到樁身彎矩和位移大于地基系數(shù)為常數(shù)的情況，但小于地基系數(shù)呈線性增加的情況，樁身最大彎矩值分別增加27．5%和25．6%。

3．4 樁身軸力沿深度變化的影響

考慮樁自重及樁側(cè)土的摩阻力的影響，軸力沿深度是減小的。但在工程設(shè)計(jì)中，通常假定橫向受荷樁上作用的樁身軸力沿深度的分布是不變的。上文分析表明樁的最大彎矩通常是發(fā)生淺部，樁身軸力在此范圍內(nèi)衰減較小，而橫向荷載對(duì)于樁的深部影響則較小。因此，當(dāng)樁頂軸力較小時(shí)，將樁身軸力假定為常量是合理的。但是對(duì)于樁頂作用荷載較大時(shí)，樁身的軸力變化可能就不容忽視了。

為進(jìn)一步分析此情況下的影響，圖9給出了不同軸力水平下樁身軸力變化對(duì)樁身彎矩和變形的影響，其中軸身軸力變化是采用了Poulos彈性理論單樁計(jì)算方法，將樁身離散后得到各段單元的壓力Ne，近似得到了沿樁身的軸力分布特性［12］。

圖9 軸力變化的對(duì)水平樁影響

圖9的對(duì)比結(jié)果表明，軸力為常量的假定對(duì)樁身彎矩產(chǎn)生的影響在N／H較小時(shí)是可以忽略的，N／H較大時(shí)的影響則較為明顯。但需要注意的是，此時(shí)樁基要承受軸向荷載可能已超過其極限承載力值。

4 結(jié)語

由于軸向荷載引起的樁基橫向變形是非線性的，因而軸向荷載和水平向荷載共同作用下的樁基內(nèi)力和變形實(shí)際上是與兩類荷載的大小密切聯(lián)系在一起的。一般地，基于樁的撓曲微分方程分析軸向荷載和橫向荷載共同作用下的樁基問題，需要重視軸向荷載很大的情況。特別地，軸向荷載的存在對(duì)于柔性樁上部的內(nèi)力和側(cè)向撓曲影響比較顯著，而對(duì)其深部的影響相對(duì)較小。

該文計(jì)算方法受到地基系數(shù)的分布形狀的影響，地基系數(shù)呈線性增加時(shí)，軸向荷載對(duì)橫向受荷樁的影響是最大的；而地基系數(shù)為常數(shù)時(shí)，其影響是最小的。除了在樁發(fā)生屈曲情況外，沿樁身方向軸向荷載的變化對(duì)水平樁的撓曲和彎矩的影響通常比較小。因而，軸向力作為常量的假設(shè)一般是可以滿足工程實(shí)際要求的。

［1］肖世偉．軸向力對(duì)橫向受力樁的影響［J］．西南交通大學(xué)學(xué)報(bào)，1990（4）：58－62．XIAO SHI－WEI．Effect of axial force on laterally－loaded piles［J］．Journal of Southwest Jiaotong University，1990（4）：58－62．

［2］趙明華．軸向和橫向荷載同時(shí)作用下的樁基計(jì)算［J］．湖南大學(xué)學(xué)報(bào)，1987，14（2）：68－81．ZHAO MING－HUA．The calculation of piles under simultaneous axial and lateral loading［J］．Journal of Hu’nan University，1987，14（2）：68－81．

［3］橫山幸滿．樁結(jié)構(gòu)物的計(jì)算方法和計(jì)算實(shí)例［M］．唐業(yè)清，吳慶蓀．譯．北京：中國鐵道出版社，1984．

［4］POULOS H G．Analysis of pile groups subjected to vertical and horizontal loads［J］．Australian Geomechanics Journal，1974，4（1）：26－32．

［5］ZHANG L M，MCVAY M C，HAN S J，et al．Effects of dead loads on the lateral response of battered pile groups［J］．Canadian Geotechnical Journal，2002，39（3）：561－575．

［6］KARTHIGEYAN S， RAMAKRISHNA VVGST，RAJAGOPAL K．Numerical investigation of the effect of vertical load on the lateral response of piles［J］．Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，2007，133（5）：512－521．

［7］ANAGNOSTOPOULOS C， GEORGIADIS M．Interaction of axial and lateral pile responses［J］．Journal of Geotechnical Engineering Division，ASCE，1993，119（4）：793－798．

［8］FEAGIN L．Lateral load tests on groups of battered and vertical piles［C］／／Philadelphia：the 56th Annual Conference American Society for Testing and Materials Special Technical Publication （ASTM STP），1953，154：12－20．

［9］KIM J B，BRUNGRABER R J．Full－scale lateral load tests of pile groups［J］．Journal of Geotechnical Engineering，ASCE，1976，102（1）：87－105．

［10］ROLLINS K M，PETERSON K T，WEAVER T J．Lateral load behaviour of full－scale pile groups in clay［J］．Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering，ASCE，1998，124（6）：468－478．

［11］VESIC A S．Bending of beams resting on isotropic elastic solids［J］．Journal of Soil Mechanics and Foundation Engineering，ASCE，1961，87（2）：35－53．

［12］POULOS H G，DAVIS E H．Pile Foundation Analysis and Design［M］．New York：John Wiley and Sons，1980．

［13］尹武先，姚文娟，程澤坤．軸－橫向荷載作用下超長樁數(shù)值模擬［J］．水利水運(yùn)工程學(xué)報(bào)，2009，7（2）：15－20．YIN WU－XIAN， YAO WEN－JUAN， CHENG ZEKUN．Numerical investigation on interaction of axial and lateral response for super－long pile［J］．Hydroscience and Engineering，2009，7（2）：15－20．

［14］BRAND E W，BRENNER RP．Soft Clay Engineering［M］．New York：Elsevier Scientific Pub．Co．1981．