基于彈道計算的截斷誤差估計與補(bǔ)償

陳紅英,李輝芬,伍輝華,何 晶,吳 君

(中國衛(wèi)星海上測控部,江蘇江陰214431)

0 引言

彈道測量數(shù)據(jù)事后處理的結(jié)果是作為型號試驗(yàn)的精度分析、評定和性能改進(jìn)、提高的重要依據(jù),不斷改進(jìn)測量數(shù)據(jù)處理方法和技術(shù),提高彈道測量數(shù)據(jù)精度,對于提高海上測控水平和綜合試驗(yàn)?zāi)芰τ兄匾饬x。由于種種原因,外測系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù)總含有隨機(jī)誤差,必須通過相應(yīng)的平滑與濾波處理,以減小隨機(jī)誤差的影響。但當(dāng)彈道變化的曲率較大時,速度和加速度參數(shù)變化劇烈,微分平滑公式的誤差對計算結(jié)果的影響很大,會產(chǎn)生較大的截斷誤差。如何進(jìn)行截斷誤差的補(bǔ)償、提高彈道參數(shù)的精度是數(shù)據(jù)處理中面臨的迫切問題。通過對截斷誤差補(bǔ)償原理和方法的介紹,采用理論彈道補(bǔ)償法對外彈道特征點(diǎn)前后數(shù)據(jù)進(jìn)行了補(bǔ)償計算,分析了對彈道參數(shù)進(jìn)行截斷誤差補(bǔ)償?shù)挠行院涂尚行浴?/p>

1 誤差原理分析

運(yùn)載火箭的飛行過程極其復(fù)雜,為了降低隨機(jī)誤差的影響,擬合多項(xiàng)式的階數(shù)越低越好,觀測數(shù)據(jù)的總平滑點(diǎn)數(shù)越多越好。為此,輸入觀測數(shù)據(jù)的真實(shí)信號要用低階多項(xiàng)式來近似描述,這樣又會造成嚴(yán)重“失真”,另外在一定的觀測采樣頻率f下,參與平滑的觀測點(diǎn)數(shù)越多,則總的平滑區(qū)間T=N?h也越長,就需要用一個較高階多項(xiàng)式來描述。采用曲線擬合平滑微分方法計算彈道參數(shù)不可避免地會有截斷誤差,對于位置和速度變化劇烈的彈道段,更是存在較大的截斷誤差。例如級間分離段、關(guān)機(jī)段和再入段等彈道曲率較大,這也是人們比較關(guān)注的弧段,為能正確反映目標(biāo)飛行軌跡,得到精確的彈道參數(shù),必須對其進(jìn)行修正補(bǔ)償。

根據(jù)彈道動態(tài)情況,實(shí)際數(shù)據(jù)誤差特性和所需精度要求,對非關(guān)機(jī)點(diǎn)附近的主動段彈道、自由段彈道和再入段彈道,位置數(shù)據(jù)一般采用1階或3階中心平滑,速度數(shù)據(jù)采用2階中心平滑,加速度數(shù)據(jù)采用3階中心平滑比較合適。平滑區(qū)間則根據(jù)彈道動態(tài)各外測系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù)采樣率來決定。對于中心平滑,假設(shè)輸入的觀測數(shù)據(jù)序列為xi,i=-n,-n+1,…,0,…,n,并且記中心平滑后輸出的中心點(diǎn)的估計值為于是輸入觀測數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)的關(guān)系為:

現(xiàn)將輸入觀測數(shù)據(jù)xi關(guān)于中點(diǎn)i=0做k階泰勒展開,并用積分形式表示其余項(xiàng),則

將輸入觀測數(shù)據(jù)的泰勒展開式代入中心平滑公式,那么濾波輸出數(shù)據(jù)為:

由wi的性質(zhì)可將式(4)變?yōu)?

式中,第1項(xiàng)為中心點(diǎn)i=0真實(shí)信號的L階導(dǎo)數(shù),而是中心平滑后輸出的數(shù)據(jù)?？梢钥闯龊拖嗟鹊某湟獥l件是上式右邊第2項(xiàng)為零,也就是只有輸入觀測數(shù)據(jù)的真實(shí)信號x(t)為k階時間多項(xiàng)式,余項(xiàng)的濾波結(jié)果才能為零?；蛘哒f,x(t)是高于k階的時間多項(xiàng)式,則中心點(diǎn)濾波后的就有誤差。令

并稱T為k階多項(xiàng)式中心平滑的截斷誤差。

2 補(bǔ)償方法

截斷誤差補(bǔ)償方法常用理論彈道補(bǔ)償法和外遙聯(lián)合補(bǔ)償法,另外還有截斷誤差函數(shù)補(bǔ)償法。

2.1 理論彈道補(bǔ)償法

假若有理論彈道數(shù)據(jù)X和,則事先可由理論彈道的坐標(biāo)數(shù)據(jù)X用微分平滑方式計算出t時刻的速度值,再將t時刻的理論速度值X與做差,得到該時刻的截斷誤差估計量為處理時把作為實(shí)測數(shù)據(jù)微分得到的的補(bǔ)償值,該方法稱為理論彈道補(bǔ)償法。對于加速度微分平滑也可按同樣原理處理。但應(yīng)注意的是,實(shí)際彈道與理論彈道是有差別的,必須把特征點(diǎn)對齊后,再由此向特征點(diǎn)前后進(jìn)行相應(yīng)的補(bǔ)償。

2.2 外遙測聯(lián)合補(bǔ)償法

視為截斷誤差,加到對應(yīng)的外測所得到的速度和加速度上進(jìn)行補(bǔ)償,該方法稱為外遙測聯(lián)合補(bǔ)償法。具體計算步驟如下:

①由遙測過載參數(shù)nx、ny和程序俯仰角φ計算

③根據(jù)前述的原理得到對應(yīng)量的截斷誤差補(bǔ)償值。

2.3 函數(shù)補(bǔ)償法

構(gòu)造截斷誤差補(bǔ)償函數(shù)Ri(n,p)。假設(shè)ti的速度真值為,微分值為對應(yīng)的截斷誤差為Ri(n)。顯然,截斷誤差與點(diǎn)數(shù)n有關(guān)。假設(shè)在同一時刻ti,取n=k,k+1,…k+L,則由微分公式可得一系列計算速度值和L均為正整數(shù)。于是有:

當(dāng)采樣間隔h確定后,截斷誤差隨n的增大而增大,而同一時刻的是確定的常數(shù)。因此隨n的增大而遠(yuǎn)離反之則接近在O-n坐標(biāo)系中,以n為自變量,并用最小二乘擬合法求出擬合曲線Ri(n,p),其中p為曲線的階數(shù)。即設(shè)

式中,待定常數(shù)ai在K、L、P給定時,由最小二乘法求得,并稱Ri(n,p)為誤差補(bǔ)償函數(shù),用它作為的近似值,相當(dāng)于對的補(bǔ)償。

3 應(yīng)用效果分析

綜合考慮上述3種截斷誤差補(bǔ)償方法的優(yōu)點(diǎn)和局限性,在短時間內(nèi)采用理論彈道補(bǔ)償法對外彈道測量數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。

在測量船某型號任務(wù)R中,將理論彈道數(shù)據(jù)資料進(jìn)行整理,并對火箭運(yùn)行過程各特征點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了截斷誤差的補(bǔ)償,具體方法是利用理論時刻的加密彈道對實(shí)際特征點(diǎn)時刻前后若干點(diǎn)的彈道數(shù)據(jù)進(jìn)行補(bǔ)償,其中包括X、Y、Z方向的速度x?和加速度x

¨處理數(shù)據(jù),彈道傾角、偏角,切向、法向和側(cè)向加速度等。根據(jù)理論彈道補(bǔ)償法的原理,對齊特征點(diǎn)是補(bǔ)償?shù)闹匾襟E。

表1中列出了某型號任務(wù)R在特征點(diǎn)A時刻T(相對時1 100 s)X方向速度和加速度前后補(bǔ)償結(jié)果的部分?jǐn)?shù)據(jù)。

表1 特征點(diǎn)A時刻前后數(shù)據(jù)補(bǔ)償情況

從表1中可以看出在特征點(diǎn)A附近補(bǔ)償量數(shù)據(jù)變化激烈,補(bǔ)償量明顯變大。

由于速度數(shù)據(jù)采用2階中心平滑,加速度數(shù)據(jù)采用3階中心平滑,實(shí)戰(zhàn)任務(wù)R中補(bǔ)償前的數(shù)據(jù)做了平滑處理,而截斷誤差補(bǔ)償后的特征點(diǎn)A和特征點(diǎn)B時刻X方向速度和加速度數(shù)據(jù)變化情況如圖1和圖2所示。

圖中2條曲線分別為未做誤差補(bǔ)償和已做誤差補(bǔ)償?shù)那€,從圖1和圖2可以看出,任務(wù)時間段內(nèi)整個曲線的變化趨勢,在2個特征點(diǎn)時刻曲線發(fā)生明顯跳變,通過對特征點(diǎn)時刻局部放大,可以更加清楚地看出補(bǔ)償量的大小,這也驗(yàn)證了在特征點(diǎn)時刻截斷誤差較大的理論。

圖1 各特征點(diǎn)時刻X方向速度截斷誤差補(bǔ)償

圖2 各特征點(diǎn)時刻X方向加速度截斷誤差補(bǔ)償

對火箭運(yùn)行過程中位置和速度曲率較大的特征點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行誤差補(bǔ)償,真實(shí)地體現(xiàn)了目標(biāo)的飛行軌跡,得到較為精確的彈道參數(shù),證實(shí)了對特征點(diǎn)時刻參數(shù)作截斷誤差補(bǔ)償?shù)谋匾浴?/p>

4 結(jié)束語

采用理論彈道對速度和加速度等彈道參數(shù)進(jìn)行截斷誤差補(bǔ)償,取得了明顯的效果,從計算的結(jié)果可以看出,在特征點(diǎn)利用理論彈道對參數(shù)進(jìn)行截斷誤差補(bǔ)償,其計算精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于通過微分坐標(biāo)求解的結(jié)果精度,該方法的成功運(yùn)用大大提高了彈道參數(shù)的處理精度,為不斷提高測量船海上測控任務(wù)數(shù)據(jù)處理方法和技術(shù)提供了重要依據(jù),也被應(yīng)用于測量船后續(xù)的各種任務(wù)中用于獲取高精度的雷達(dá)等外測設(shè)備的彈道參數(shù)數(shù)據(jù)。

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