插值節點不完全具有導數信息的 Hermite插值算法

□高 紅

(國家廣電總局725臺，山西 榆次 030600)

不少實際的插值問題不但要求在各插值節點上插值多項多式函數與原函數的函數值相等，而且還要求對應的導數值也相等，甚至要求更高階的導數相等。在所有節點上具有同階導數信息，且要求插值函數與被插函數對應的同階導數相等的Hermite插值問題研究已經有了良好的算法設計，也有學者研究不是所有的節點上都要求插值函數與被插函數導數值相等的問題，文獻僅給出了導數相等的節點是有序節點集中相鄰節點的情況。本文提出的插值節點不完全有導數信息的Hermite插值算法(簡稱IDIH)，研究了插值節點集中部分節點上插值多項式與被插函數導數相等的情況。

一、插值節點不完全有導數信息的Hermite插值算法

1.問題描述

f(x)∈C1[a,b]，設x0

xj∈Ω1時，H(xj)=yjj=1,2,3…n；xij∈Ω2時，H′(xij)=mjj=0,1,2…r (1)

可以證明滿足條件(1)的次數≤n+r+1多項式H(x)是唯一的。證明：因(1)中包含n+r+2個條件，所以能夠確定次數≤n+r+1的代數多項式H(x)，用反證法，假設P(x)與H(x)一樣均滿足條件，且次數≤n+r+1，于是：φ(x)=H(x)-P(x)也是次數≤n+r+1的多項式，但φ(x)關于集合Ω2中點是二重零點，關于集合Ω1-Ω2中點是一重零點，共n+r+2個零點，故φ(x)≡0，唯一性得證。

2.H(x)的構造

其中：

βk(xj)=0 j=0,1,2,…n;k=0,1,2…r (4)

其中以xij標出的節點屬于Ω2。

αk(x)和βk(x)為次數≤n+r+1的多項式。

顯然只要αk(x)和βk(x)符合以上條件必然使H(x)滿足插值條件(1)，注意到αk(x)為次數≤n+r+1的多項式和條件(3)和(5)：

利用αk(xk)=1可求出bk，可得：

(7)

(8)

注意到βk(x)為次數≤n+r+1的多項式和條件(4)和(6)：

(9)

將(7)(8)(9)代入(2)得相應的Hermite插值多項式。

二、IDIH算法描述

㈠輸入Ω1各節點及相應的相用函數值yj和Ω2各節點及相應導數值mj，x；H=0

㈡對k=0,1,2,…n

若xk∈Ω2用(8)計算αk(x)

否則用(7)計算αk(x)

H=H+αk(x)×yk

㈢對k=0,1,2,…r

用(9)計算βk(x)

H=H+βk(x)×mk

三、實驗結果

表1 初始數據信息

表2 IDIH計算示例

四、結束語

實驗結果可以發現，IDIH方法在內插值時精度可達到較高要求，可以證明當f(x)∈Cn+r+2[a,b]，x∈[a,b]，其截斷誤差為：其中ξ∈[a,b]

參考文獻：

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