對非最小相位環(huán)節(jié)的一個誤解

冉晟伊，熊于菽

重慶工程職業(yè)技術學院，重慶 400037

在自動控制系統(tǒng)中，由于開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）的分子和分母多項式的系數(shù)皆為實數(shù)，因此系統(tǒng)開環(huán)零極點或為實數(shù)或為共軛復數(shù)。函數(shù)的性質由G（s）的零點和極點在s平面上分布的情況的不同所決定。根據(jù)開環(huán)零極點可將分子和分母多項式分解成因式，再將因式分類，即得典型環(huán)節(jié)。典型環(huán)節(jié)可分為兩大類。一類為最小相位環(huán)節(jié)；一類為非最小相位環(huán)節(jié)。最小相位環(huán)節(jié)定義是：函數(shù)G（s）的全部極點均位于s平面的左半部，而沒有零點落在右半s平面上。非最小相位環(huán)節(jié)定義是：函數(shù)G（s）有一個或多個極點或零點落在s平面的右半部。“最小相位”與“非最小相位”的概念來源于網絡理論。它指出：在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當ω從0變至∞時，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小，而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常要比前者大，故而得名。

除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位置。非最小相位環(huán)節(jié)對應s右半平面的開環(huán)零點或極點，而最小相位環(huán)節(jié)對應s左半平面的開環(huán)零點或極點。對于每一種非最小相位的典型環(huán)節(jié)，都有一種最小相位環(huán)節(jié)與之對應，其特點是典型環(huán)節(jié)中的某個參數(shù)的符號相反。如最小相位慣性環(huán)節(jié)和非最小相位慣性環(huán)節(jié)、最小相位振蕩環(huán)節(jié)和非最小相位振蕩環(huán)節(jié)、最小相位一階微分環(huán)節(jié)和非最小相位一階微分環(huán)節(jié)、最小相位二階微分環(huán)節(jié)和非最小相位二階微分環(huán)節(jié)。其幅頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關于實軸對稱；對數(shù)幅頻曲線相同，對數(shù)相頻關于0°線對稱。

根據(jù)上述特性，列出最小相位環(huán)節(jié)：

1）比例環(huán)節(jié)K（K＞0）；

2）慣性環(huán)節(jié) 1/（Ts+1）（T ＞ 0）；

3）一階微分環(huán)節(jié)Ts+1（T＞0）；

非最小相位環(huán)節(jié)：

1）比例環(huán)節(jié)K（K＜0）；

2）慣性環(huán)節(jié)1/(Ts-1)（T＞0）；

3）一階微分環(huán)節(jié)Ts-1（T＞0）；

請注意，非最小相位慣性環(huán)節(jié)1/（Ts-1）（T＞0）存在問題。首先，開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）=1/（Ts-1）（T＞0）對應s右半平面存在開環(huán)極點，的確是非最小相位環(huán)節(jié)。但是推出其幅頻和相頻特性為

而對應的最小相位慣性環(huán)節(jié)G（s）=1/（Ts+1）（T＞0）的幅頻和相頻特性為

可以看出，兩者幅頻特性曲線相同，但相頻特性曲線不存在符號相反的性質。

上述結論產生的原因是對非最小相位慣性環(huán)節(jié)G（s）=1/（Ts-1）（T＞0）的不規(guī)范討論造成的。開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）=1/（Ts-1）（T＞0）的形式，是根軌跡法的討論形式。滿足

在復數(shù)范圍內分解， s項前系數(shù)為1的要求。

而討論頻率特性，開環(huán)傳遞函數(shù)一定要是頻率法的形式

在實數(shù)范圍內分解， 要求所有因子的常數(shù)項為1。所以，非最小相位慣性環(huán)節(jié)的開環(huán)傳遞函數(shù)應該寫為

G（s）=1/（-Ts+1）（T ＞ 0）

推出其幅頻和相頻特性為

符合幅頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關于實軸對稱；對數(shù)幅頻曲線相同，對數(shù)相頻關于0°線對稱的性質。

同理，討論非最小相位一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性時，開環(huán)傳遞函數(shù)應改為

G（s）=-Ts+1（T ＞ 0）。

進行討論。

另外，通過頻率法形式分析，最小相位典型環(huán)節(jié)中，積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和一階微分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)。其特性是對數(shù)幅頻曲線關于0dB對稱，對數(shù)相頻曲線關于線對稱。在非最小相位環(huán)節(jié)中，同樣存在傳遞函數(shù)互為倒數(shù)的典型環(huán)節(jié)，其對數(shù)頻率特性曲線的對稱性亦成立。

[1]胡壽松.自動控制原理[M].5版.科學出版社，2007.

[2]趙四化.自動控制原理[M].2版.西安電子科技大學出版社，2009.

[3]涂植英.自動控制原理[M].2版.重慶大學出版社，2005.

[4]姜孟文.關于非最小相位系統(tǒng)的幾個結論[J].華中科技大學學報，1986.