含干摩擦兩單自由度碰撞振動系統的動力學分析

楊 昊，王樹國

(蘭州交通大學數理與軟件工程學院，蘭州 730070)

在工程技術的許多領域，機械系統內部或邊界上的間隙常使系統產生碰撞振動，最常見的是零部件之間或零部件與邊界之間的往復摩擦碰撞。由摩擦力和碰撞引起的振動是強非線性、非連續、非光滑性的，所以含干摩擦振動是比較復雜的系統，吸引了眾多學者從事這方面的研究［1－3］。Holmes［1］對彈跳球模型、Shaw［2］對雙面碰撞振動系統進行數值模擬，并發現了Smale馬蹄。Ivanov等［3－4］對碰撞周期倍化過程中的“擦邊”運動及奇異性進行探討。Masri［5］首次提出單自由度沖擊消振器任意碰撞次數穩態周期運動的精確解，研究了對沖擊周期運動與非對稱沖擊周期運動的相互轉化。Ding用中心流形－范式的方法研究多自由度碰撞振動系統強共振的hopf分岔與次諧分岔問題。

在碰撞振動和摩擦振動的研究中，很少涉及同時存在干摩擦和碰撞時的系統動力學問題。對于包含干摩擦的碰撞振動系統來說，往往寫不出分段響應的解析式，其理論研究較為復雜。Cone等［9］采用數值方法研究包含干摩擦的單自由度雙面沖擊振子，結果發現系統存在周期倍化序列、擦邊分岔以及黏滑碰撞運動。Virgin等［10］描述了包含庫倫摩擦阻尼的雙邊諧激勵碰撞振子的全局動力學，由吸引域的研究給出系統的完全解集，并說明擦邊分岔是系統行為突變的來源。本文主要用了數值方法結合理論分析研究了干摩擦激勵下兩單自由度碰撞振動系統在皮帶輪速度變化下的分岔現象，并討論了摩擦因數和激勵振幅比對系統粘滑振動的影響。

1 力學模型及運動方程

1.1 力學模型

圖1為含干摩擦兩單自由度碰撞振動系統模型。質量為M1和M2的質塊的位移分別用X1和X2表示，質塊M1和M2分別由剛度為K1、K2的線性彈簧和阻尼系數為C1、C2的線性阻尼器連接。質塊M1和M2放置在以速度V運動的皮帶輪上，質塊與皮帶輪間的動摩擦因數為U。作用在質塊M1和M2上的激勵振幅為P1和P2，頻率為Ω的簡諧激勵為 Pisin(ΩT+τ)，i=1，2。

圖1 干摩擦碰撞振動模型

1.2 運動微分方程

當2個質體的位移間隙為 B，X1(t)－X2(t)=B時質量為M1和M2的質塊將會發生碰撞，碰撞由動量守恒定律描述，并且假設碰撞持續的時間忽略不計。假設模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，系統的碰撞恢復系數由R確定。在任意2次碰撞之間，2個單自由度振子的無量綱運動微分方程:

假設碰撞為剛性碰撞，碰撞過程在瞬息完成，根據動量守恒定律及恢復系數R描述碰撞前后碰撞體的速度跳躍，且能耗在撞擊細節中不考慮。當x1(t)－x2(t)=δ時，質塊M1和M2發生碰撞。

對于摩擦力，假設質塊與皮帶輪的摩擦力符合庫侖摩擦模型。式(3)中:fμ與 fμm/(1－m)表示質塊 M1和 M2所受的滑動摩擦力;fμs與fμsm/(1－m)表示質塊M1和M2在皮帶輪上受的最大靜摩擦力。

1.3 粘著、滑動及碰撞

在圖1所示系統中，干摩擦和間隙的存在會導致系統出現不連續，但出不連續點外系統是連續的，由此可見系統的動力學模型可以分為一段段的線性系統，并在一完整的運動過程中會產生粘著、滑動及碰撞。系統在一個完整運動過程過程中，有以下幾種情況并給出各種情況出現的邊界條件，可令質塊M1除摩擦力外所受的合外力為質塊M2除摩擦力外所受的合外力為

情況1 x1=v，x2≠v。此時，M1粘著 M2滑動且，直到開始滑動。

情況2 x1≠v，x2=v。此時，M1滑動 M2粘著且，直到－m)，M2開始滑動。

情況3 x1=v，x2=v。此時，M1粘著 M2粘著且)，直到開始滑動或開始滑動。

情況4 x1≠v，x2≠v。此時，M1滑動 M2滑動且，2 個質塊都處于滑動狀態。直到開始粘著或(1－m)，M2開始粘著。

情況5 x1(t)－x2(t)=δ。此時，兩質塊發生碰撞。

質塊M1和M2的運動狀態反復在上述5種狀態間轉換。

2 系統的周期運動及其穩定性

通過運動方程的映射圖對碰撞系統進行適宜的分析，每一次迭代都表示質塊M1和M2發生一次碰撞，在適當參數條件下，2質塊碰撞振子可以呈現周期碰撞運動。令θ=ωt，取Poincaré截面:，建立2碰撞振子 q=1/1運動的Poincaré映射:，式中:X∈R4;v 是實參，v∈R1或 R2;X=X*+ΔX;X'=X*+ΔX';Δx和 Δx'是Poincaré截面 σ 上 q=1/1不動點 ΔX=的擾動量。在適當的參數下，振子的運動呈現周期性，并且圖1所示系統具有對稱性，在一定參數下系統會出現對稱的碰撞運動。假設在n個激勵周期內，經歷了p次右碰撞和k次粘滑后，系統運動重復，稱為n－p－k運動，其無量綱時間t為0。那么下次質塊碰撞前瞬時，無量綱時間 t恰好為 2nπ/ω(n=1，2，…)，即連續兩次碰撞的時間間隔皆為2nπ/ω。對于給的Poincaré映射，由于流的解析解很難給出，對于這些映射的研究一般借助數值的方法來完成。將各個映射的復合映射的鏈式法則復合，可以得到映射P的Jacobi矩陣DP，根據矩陣DP的特征值λ可以判斷出圖1所示碰撞振動系統周期運動的穩定性和局部分岔。

3 數值分析

著重研究干摩擦和振動對系統動力學的影響，任意選定一組參數:m=0.75，ζ1=0.01，ζ2=0.01，fμ=0.2，ω0=1.2，δ=0.01，v=0.2，fμs=1.1fμ，取不同的f0和摩擦因數fμ為變化參數，當ω由1.5到7變化得到的全局分岔圖。由圖2(a)中可以看出摩擦力fμ和激振振幅f0對系統運動影響在不同頻率段的敏感程度不同。激振振幅f0在從2到7增大時候系統的復雜程度降低。運動由多段的單周期到倍周期到混沌交錯出現的過程，逐漸演化成2段，而且質塊穿越Poincaré截面的速度在ω從1.5到3的階段變化相當敏感。隨著f0的增大，在ω從1.5～3的階段質塊穿越Poincaré截面的速度在不斷變大。圖2(b)表現了不同的摩擦力對Poincaré截面投影圖的影響。隨著摩擦力的增大，在激勵頻率比較大的階段，系統從存在混沌帶和一些周期窗口演化成倍周期混沌最后到周期運動。在激勵頻率比較小的時候只是影響的穿越截面的速度大小。混沌帶和一些周期運動窗口與下一次之間是通過穩定的周期一運動過渡。并大整個頻率段多處穩定周期運動進入混沌時存在周期倍化分岔。

圖3為選定 f0=7，fμ=0.5 隨 ω(3 ～3.55)的遞增出現周期倍化分岔(除圖中標明的參數外其他均為基本參數，以下同)，展示系統在粘滑狀態下由周期1－1－1運動(如圖3(b)所示)變為周期2－2－1運動(如圖3(c)所示)，再由周期4－4－1運動(如圖3(e)所示)變為混沌運動(如圖3(f)所示)，經過比較窄的混沌帶后，系統化為周期運動。圖3(g)～(i)分別為M1響應的速度時間歷程圖。無論是從相圖還是時間響應圖中都可以看出質塊粘滯于皮帶輪上的情況，并且展現了隨著摩擦因數的變化系統的運動狀態也發生變化的情況。

圖2 分岔圖ω－

圖3 周期倍化過程

4 結束語

建立了一個2單自由度含間隙和干摩擦耦合碰的撞振動系統動力學模型，給出了判定系統粘滑碰撞準則和判定系統周期運動穩定性的理論方法，對系統在不同摩擦力的影響所呈現的動力學行為進行了非線性動力學分析以及由于摩擦導致的粘－滑振動行為。討論Poincaré截面上的不動點類型的轉化及其向混沌的演化過程。數值模擬的結果表明增大摩擦力對系統動力學性能影響比較大。在頻率比較大的時候影響了系統的拓撲結構，在頻率比較小的時候影響了質塊穿越的速度。激振振幅的變化對系統的運動的拓撲形態產和穿越Poincaré截面的速度產生了比較敏感的影響。對其分岔與混沌行為的研究為機械系統的動力學優化設計提供了理論的依據。

［1］Holmes P J.The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table［J］.Joumal of Sound and Vibration，1982，84(2):173 －189.

［2］Shaw S W.The dynamics of a harmonically exited system having rigid amplitude constraints［J］.Joumal of Applied Mechanics，1985，52(2):453 －464.

［3］Ivanov A P.Stabilization of an impact oscillator near grazing incidence owing to resonance ［J］.Joumal of Sound and Vibration，1993，162(3):562 －565.

［4］Nordmark A B.Non－periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator［J］.Joumal of Sound and Vibration，1991，145(2):279 －297.

［5］Masri S F.General motion of impact damper［J］.The Jourmal of Acoustical Society of America，1970，47:229－237.

［6］Ding W C，Xie J H.Dynamical analysis of two_parameter family for a vibro-impact system in resonance cases［J］.Joumal of Sound and Vibration，2005，287(1 －2):101－115.

［7］Xie J H，Ding W C.Hopf-hopf bifurcation and T2 torus of a vibro-impact system ［J］.Intemational Joumal of Non － linear Mechanics，2005，40(4):531 －543.

［8］Ding W C，Xie J H，Interaction of Hopf and period doubling bifurcations of a vibro－impact system［J］.Joumal of Sound and Vibration，2004，275(1 －2):29 －45.

［9］Cone K M，Zadoks R I.A numerical study of an impact oscillator with the addition of dry friction［J］.Joumal of Sound and Vibration，1995，188(5):659 －683.

［10］Virgin L N，Begley C J.Grazing bifurations and basins of attraction in an impact-friction oscillator［J］.Physica D，2001，132:43 －57.

［11］陸啟韶，金俐.具有剛性約束的非線形動力系統的局部映射方法［J］.固體力學學報，2005，26(2):132－138.

［12］丁旺才，張有強，張慶爽.含對稱間隙的摩擦振子非線性動力學分析［J］.工程力學，2008，25(10):212－213.