NURBS曲線修正插補算法的研究

鄔再新，張萬軍，胡赤兵，張 峰

（1. 蘭州理工大學 數字制造技術與應用省部共建教育部重點實驗室，蘭州 730050；2. 蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050；3. 蘭州瑞豐工貿有限公司，蘭州 730050）

0 引言

目前只有極少數FANUC、Siemens、三菱等數控系統支持NURBS插補，而絕大多數數控系統支持直線、圓弧或拋物線等插補[1]。于是研究NURBS插補方法在開放的CNC系統中就顯得十分必要，CNC系統中添加NURBS曲線插補[2]，通常使用參數遞推方法插補。對NURBS曲線插補參數遞推一階、兩階求解(導數)比較麻煩，加工誤差較大。本文給出一種NURBS曲線修正的插補算法，該算法可以提高加工精度、實現高效率的加工。

1 NURBS曲線的數學定義[3,7]

NURBS曲線一分段的矢值有理多項式函數，其表達式為：

式中wi為權因子（i＝0, 1, …, n），vi分別控制頂點相聯系（i＝1, …, n)，Bi, k(u)為k次樣條基函數。一條NURBS曲線由它的幾何三要素定義控制頂點、權因子和節點矢量等構成。

2 NURBS曲線插補修正

NURBS曲線用控制點、權因子和節點矢量來表達曲線信息。減少了精度損失，可用CNC原理上的最小步長(由系統插補周期確定的進給弦長)來逼近輪廓，獲得最高的逼近NURBS曲線插補的精度。參數作為NC系統程序的一部分，由CNC系統內部進行實時計算生成NURBS曲線[5]，就可以滿足NURBS實時性。

2.1 NURBS插補預處理

為減少NURBS曲線插補中實時計算的工作量，可把不需要在實時插補中進行的所有操作（如控制頂點、權因子、節點矢量等）放在插補預處理中完成，降低實時插補的計算復雜程度，提高插補計算的速度[4]。

2.2 插補方法

本算法采用快速遞推的近似算法來預估新插補點。以對時間的二階差分代替微分[6]，即：

代入二階泰勒級數展開式

然后將估計參數u′i+1代入曲線方程可得預估插補點 p′i+1及預估插補點對應的進給步長 Δl′i＝p (ui+1)－p (ui) 得到該插補周期增量值，但是由求解比較麻煩，故而采用修正法對其改進。

2.3 插補修正

2.3.1 滿足插補前修正各軸控制的關系式[8]

利用樣條曲線構造方法，產生一條空間n階導數連續的自由曲線。該空間自由曲線第i段為：

滿足如下條件：

2.3.2 參數插補過程中滿足的算法條件

利用式（1）求方程pi(u)得一階導數、兩階導數建立關于參數u 的方程。令V0＝p0，Vn+2＝pn：

式中“×、空格”，分別表示有數值、零。通過曲線參數化求解（同樣可建立兩階參數方程可求出解）、改變“×”的值（含參數u)、反算控制點，完成整過插補。

筆者提出的NURBS曲線修正算法插補流程圖如圖1所示。

圖1 NURBS曲線修正算法流程圖

2.4 插補算法實現

在NURBS曲線插補的過程中，首先設置插補實時滿足的條件參數遞推和NURBS曲線求導（一階、兩階），判斷在插補中是否從在常量進行預處理，從而實現插補。同時，在插補的過程中要使誤差（弓高）在一定范圍內，完成插補。筆者給出的插補算法實現簡圖，如圖2所示。

圖2 NURBS曲線插補算法實現簡圖

2.5 誤差（弓高）計算和分析

在插補中為了保證插補精度，要使插補曲線與NURBS曲線的弓高誤差在規定的精度范圍之內，如圖3所示。

圖3 NURBS曲線誤差分析

圓弧插補時的逼近誤差e與插補周期T、進給速度F以及該曲線在逼近處的的曲率半徑ρ的關系為：

因為△l＝FT，代入上式有：

當 e＝ eh，Δli＝ Δl時，由式（3）得：

可見在整個插補的過程中，若T越長，或F越大，或ρ越小，則插補誤差越大。在實際的數控系統中，通過對F進行限制來保證e在允許的范圍內。NURBS曲線模擬(近似)誤差e與實際誤差MN如圖4所示：

圖4 NURBS曲線近似誤差與實際誤差

根據計算由圖4列出eh的關系式：

弓高誤差和實際誤差相比較小，只在曲線拐點的地方有較小的影響。因此在一般情況下可忽略，說明曲線實際控制與模擬控制相吻合。

3 驗證

上述算法在matlab7.0上進行驗證，利用不同控制點的坐標(x, y)，節點、權因子、次數等，以X軸的控制位置和Y軸的控制位置作出實際輪廓控制位置和插補控制位置的NURBS曲線插補運算仿真圖。驗證曲線實際控制與模擬控制，如圖5所示。

4 結論

圖5 曲線實際控制與模擬曲線插補

本文建立的NURBS曲線插補修正算法通過在matlab7.0上，模擬曲線實際控制與模擬控制相吻合，從而驗證該算法是正確的，達到參數修正的目的。該算法不僅滿足加工精度方面的要求，同時滿足了加工實時性要求。

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