簡諧環形荷載作用下飽和土體中圓形襯砌隧洞的動力響應研究

黃曉吉，扶明福，徐 斌，黎劍華

(1. 華東交通大學土木建筑學院，南昌 330013;2. 南昌大學建筑工程學院，南昌 330031;3. 南昌工程學院土木工程系，南昌 330099)

Biot 建立飽和土的波動理論以來，后續學者在此基礎上對飽和土的動力響應開展了大量研究。Kumar等［1］分析了飽和介質中圓形隧洞在變荷載作用下的徑向位移，并推導出脈沖荷載作用下的封閉形式解。通過Laplace 變換，文獻［2］分析了軸對稱荷載和流體壓力作用下飽和介質中圓形隧洞的動力響應，得到了無限彈性飽和介質中圓形孔洞動力響應的解答。文獻［4］假設襯砌為完全柔性，分析了平面應變條件下軸對稱簡諧荷載和簡諧內水壓力兩種荷載作用下的動力響應。文獻［5］通過引入Carcione 的黏彈性本構方程，研究飽和多孔介質中圓柱孔洞在襯砌表面作用軸對稱簡諧荷載和流體壓力平面應變條件下的頻域響應問題，分析了襯砌和飽和介質的相對剛度及其他因素對動力響應幅值的影響;謝康和等［3］分別考慮襯砌材料為多孔彈性、柔性及剛性介質，研究了黏彈性飽和土體中半封閉圓形隧洞在軸對稱荷載和流體壓力作用下的動力響應，隨后文獻［6］考慮襯砌材料和土體的多孔性質，利用Laplace 數值變換研究了任意荷載條件下黏彈性飽和土體中半封閉圓形隧洞襯砌—土動力相互作用問題，得到平面應變條件下瞬時移動等響應模式條件下的數值結果，并討論了襯砌和土體的相對剛度對隧洞動力響應的影響。劉林超等［7］基于連續介質混合物公理和體積分數概念的多孔介質理論模擬圓形隧洞周圍的飽和土體，研究平面應變軸對稱簡諧荷載作用下無襯砌隧道的穩態響應問題，并分析滲透系數、阻尼系數對隧洞動力響應的影響。而文獻［8］采用波函數展開法，分析了垂直入射P 波作用下，埋深、襯砌剛度以及入射頻率對中、淺埋隧道襯砌內壁環向動應力分布的影響。基于Biot 理論，陸建飛等［9］研究了移動的空間軸對稱荷載作用下飽和土中無襯砌隧洞的動力響應，并討論了移動荷載的速度對隧洞動力響應的影響。在此基礎上，本文研究飽和土中圓形襯砌隧洞在簡諧軸對稱荷載作用下的動力響應。在本文中，襯砌視為彈性體，土體視為飽和多孔彈性介質，且考慮土體和孔隙流體的壓縮性，引入勢函數，結合邊界條件和連續條件，通過傅立葉變換得到波數域中的動力響應幅值，最后通過傅立葉的逆變換得到空間域內動力響應幅值的數值解。

1 控制方程

如圖1 所示，在飽和土中有一簡諧集中環形軸對稱荷載作用下的圓形襯砌隧洞，R1與R2分別為隧洞襯砌的內外半徑。

1.1 飽和土體的基本方程

假定土體為飽和多孔彈性介質，則飽和土體的本構方程為

圖1 簡諧集中環形荷載(Fn = neiωt，Ft = teiωt)作用下的襯砌隧洞的幾何模型

式中，σsij，εsij為土體應力和應變張量;δij為克羅奈克符號;es，? 分別為土骨架體積應變和單位體積孔隙水的流體體積增量，es= usi，i，? = - wi，i(usi，wi為土骨架的位移和孔隙水的滲透位移);i，j =1，2，3;p 為孔隙水壓力;λs，μs為土體的lame 常數;α，M 為與孔隙水壓縮性有關的Biot 參數。

根據Biot 理論，不計體力時飽和土體和孔隙水的運動方程為

式中，ρb，ρf分別為飽和土體與孔隙水密度;m =a∞ρf/f(a∞為孔隙流體彎曲系數，f 為土體孔隙率);bp= η/k表示土骨架與孔隙流體間的相互作用力(η 為孔隙流體黏性系數，k 孔隙流體的動力滲透系數)。

1.2 襯砌的基本方程

襯砌的本構方程和運動方程分別為

式中，σlij和εlij為襯砌的應力和應變張量;ulij為襯砌的位移(i，j =1，2，3);el= uli，i為襯砌的體積應變;λl、μl為襯砌的lame 常數;ρl為襯砌的密度。

1.3 控制方程求解

在簡諧荷載(Fneiωt，Fteiωt)作用且穩態情形下，襯砌隧洞的所有動力響應均有ˉfeiωt的形式，其中，ˉf 表示振幅，ω 表示圓頻率。把ˉfeiωt形式代入運動方程(2)和(4)中，可得

式(7)～式(8)中，下標r，z 為柱坐標系下的r 坐標和z坐標，s，f，l 分別表示土體、孔隙流體和襯砌。

引入勢函數后無量綱運動方程轉化為柱坐標下的Helmoltz 方程。對Helmoltz 方程進行z→ξ 的傅立葉變換，即可求得波數域中勢函數的解答，進而求得動力響應幅值在波數域中的解答。傅立葉正向變換和逆向變換公式如下

式中，上標“∧”表示正向傅立葉變換值。

對Helmoltz 方程進行z→ξ 傅立葉正向變換后，得到波數域中的勢函數。考慮到無窮遠處飽和土的動力響應趨于零，使γf、γs和γt滿足im(γf)＜0、im(γs)＜0，im(γt)＜0，則可求得

把上述解答代入位移幅值—勢函數關系表達式(7)～式(8)，以及飽和土體和襯砌的幾何方程和本構方程式(1)和式(3)中，可得土體、孔隙水和襯砌的位移、應力及孔隙水壓力在波數域中的幅值表達式。

1.4 邊界條件和連續條件

襯砌隧洞的動力響應幅值(位移、孔隙水壓和應力)表達式中的7 個待定常數應根據邊界條件和連續條件來確定。若圓形襯砌隧洞在簡諧集中環形荷載(Fn，Ft)作用下，在襯砌內表面r =R1處應滿足

式中，δ()為Dirac—δ 函數。

在飽和土體與襯砌的接觸面(r = R2)，若隧洞襯砌完全透水，則孔隙水壓

對上述邊界條件進行z→ξ 的傅立葉變換，使其轉換為波數域中邊界條件

假設襯砌與土體完全接觸，則襯砌和土體的應力在接觸面(r =R2)處應連續，即

本文引入式(14)中的3 個邊界條件及徑向、環向正應力與徑向、環向位移連續的4 個條件，求得襯砌、飽和土體的位移、應力和孔隙水壓力中的7 個待定常數，波數域中應力、位移和孔隙水壓幅值得到完全解答。對波數域中的響應幅值進行傅立葉逆變換即可得到空間領域中的應力、位移和孔隙水壓幅值。

2 算例和分析

圖2 無量綱徑向位移幅值實部和虛部曲線

圖3 無量綱孔隙水壓幅值實部和虛部曲線

從圖2、圖3 可知，襯砌隧洞和無襯砌隧洞的徑向位移和孔隙水壓的幅值實部、虛部均對稱分布于荷載作用平面的兩側，而z 向位移的幅值實部、虛部則反對稱分布于荷載作用平面的兩側。由于襯砌剛度大于飽和土體的剛度，在半徑r =1.1 和r =1.5 處，襯砌隧洞的徑向位移及z 向位移幅值的最大實部與虛部均小于無襯砌隧洞相應位移幅值的最大實部、虛部。此外，由于輻射阻尼的影響，不管是無襯砌隧洞還是襯砌隧洞，r =1.5 處的徑向位移及z 向位移幅值的最大實部與虛部均小于r =1.1 處的徑向位移及z 向位移幅值的最大實部與虛部。在半徑r =1.5 處，襯砌隧洞外周飽和土中孔隙水壓幅值的最大實部、虛部也小于相應位置的無襯砌隧洞孔隙水壓幅值的最大實部和虛部。

圖4 無量綱剪切應力幅值實部和虛部曲線

圖5 無量綱環向正應力幅值實部和虛部曲線

由圖4、圖5 可知，隧洞的剪切應力實部、虛部具有反對稱性，環向正應力實部、虛部則對稱分布于荷載作用平面的兩側。由于襯砌彈性模量遠大于外周飽和土體的彈性模量，且襯砌的泊松比小于飽和土的泊松比，在同樣壓力作用下，襯砌的橫向位移遠小于飽和土體的橫向位移，則襯砌與外周飽和土的界面處存在較大的相對運動趨勢;為使兩者完全接觸，保證兩者界面處不存在相互滑移，在襯砌體內產生很大的剪切應力以阻止兩者的相對滑移。從圖4 可知，在襯砌隧洞r =1.1 處襯砌體內的剪切應力幅值的最大實部、虛部遠大于其它三者的剪切應力幅值的最大實部、虛部。由于襯砌體內存在很大的剪切應力，導致襯砌體內產生較大的環向正應力，從圖5 可知，隧洞襯砌體內的環向正應力幅值最大實部、虛部均遠大于其它三者環向正應力幅值的最大實部、虛部。

3 結語

根據Biot 理論和邊界條件，本文研究了簡諧集中環向荷載作用下襯砌隧洞的動力響應問題，通過傅立葉變換，得到襯砌隧洞的動力響應解答。根據算例分析的結果可得到如下結論:

1)由于襯砌的剛度大于飽和土的剛度，襯砌隧洞中襯砌內部和外周飽和土的徑向位移均比無襯砌隧洞相應處的徑向位移小。

2)由于襯砌和外周飽和土彈性模量、泊松比的差異，襯砌內部存在較大的剪切應力及環向正應力。

3)襯砌的存在使得隧洞動力響應的數值和分布發生改變，因此在襯砌隧洞的動力計算中不能忽略襯砌的影響。

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