一維準(zhǔn)晶體III型切口的應(yīng)力與位移

巫建清，施偉辰

(上海海事大學(xué)物流工程學(xué)院，上海 201306)

0 引言

準(zhǔn)晶體被發(fā)現(xiàn)于1984年，其晶格點(diǎn)陣呈現(xiàn)準(zhǔn)周期性，即晶格結(jié)構(gòu)存在局部重新排列現(xiàn)象.在外載荷的作用下，準(zhǔn)晶體的宏觀力學(xué)特性隨材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)的改變而變化.［1]由于準(zhǔn)晶體的應(yīng)變能密度為標(biāo)量，而且準(zhǔn)晶體中存在使晶格局部重排的相位子場(chǎng)的位移和應(yīng)力，因而在應(yīng)變能密度形式不變的點(diǎn)群操作中可獲得多種反映其材料特性的材料系數(shù).［2]對(duì)于準(zhǔn)晶的裂紋問題，已有一些研究［3-4]，但針對(duì)V型切口問題的研究相當(dāng)少.本文由一維準(zhǔn)晶的III型問題［5-6]出發(fā)，以解析函數(shù)的方法分析研究該材料III型切口問題的應(yīng)力和位移，給出其圍繞切口尖端的分布，然后討論其切口尖端處的J積分.

1 一維準(zhǔn)晶基本方程

由文獻(xiàn)［7]給出的一維準(zhǔn)晶二次不變量，可得一維準(zhǔn)晶的應(yīng)變能密度

再由廣義Hooke定律

可推導(dǎo)得出本構(gòu)方程(見附錄).考慮III型問題，令u1=u2=0，u3=u3(x1，x2)，w3=w3(x1，x2)，代入總體本構(gòu)方程(見附錄)中，可得到III型問題的本構(gòu)方程:

Laue類5，7和9

Laue類8

式中:u3和w3分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)在z方向上的位移;C44和K2分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的彈性常數(shù);R3和R4分別為聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的彈性耦合系數(shù).

將式(3)和(4)分別代入平衡微分方程σ3i，i=0和 H3i，i=0 中，均有▽2u3=0，▽2w3=0.由于解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為調(diào)和函數(shù)，可令

式中:Ω(z)和ω(z)為關(guān)于z的解析函數(shù);z=x1+ix2.將式(5)代入式(3)和(4)后，應(yīng)力可表示為L(zhǎng)aue類5，7和9

Laue類8

直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的應(yīng)力轉(zhuǎn)化公式為

將式(6)和(7)分別代入式(8)中，得極坐標(biāo)系下的應(yīng)力形式:

Laue類5，7和9

2 切口問題

研究準(zhǔn)晶III型切口的應(yīng)力奇異性，見圖1.

圖1 準(zhǔn)晶III型切口

切口面剪切應(yīng)力為零，邊界條件表示為

假設(shè)

將式(12)代入式(9a)，(9b)，(10a)和(10b)后，得Laue類5，7和9

Laue類8

由于M和N可為任意復(fù)數(shù)，對(duì)Laue類5，7和9，可取

對(duì)Laue類8，可取

式中:A和B 為任意復(fù)數(shù).令z=reiθ，則Laue類5，7，8和9中應(yīng)力可取統(tǒng)一表示形式:

令 A=A1+iA2，B=B1+iB2，由式(5)可得位移為L(zhǎng)aue類5，7和9

Laue類8

將式(15)代入邊界條件式(11)中，有

將兩個(gè)方程組展開后，實(shí)部和虛部分開，寫成矩陣形式有

由于A和B為任意復(fù)數(shù)，要使A和B有非零解，系數(shù)矩陣的行列式必須為零，即

則有

切口尖端位移為有限值時(shí)，則可求得

將式(20)代入式(15)中，可得應(yīng)力為

引入切口應(yīng)力強(qiáng)度因子［8-9]

其中

將式(20)，(22)和(24)代入式(16)和(17)可得位移:

Laue類5，7和9

Laue類8

3 J積分

將文獻(xiàn)［10-11]中的J積分

用于切口問題，其積分路線取圍繞切口尖端的圓周路徑，見圖2.

圖2 切口問題積分路徑

式(27)中:W為應(yīng)變能密度;δj1為克羅內(nèi)克函數(shù).線性材料III型問題的應(yīng)變能密度［11]可表示為

將式(23)，(25)，(26)和(28)代入式(27)，經(jīng)計(jì)算可得

Laue類5，7和9

Laue類8比較式(25)，(26)，(29)和(30)可知，盡管 Laue類5，7和9位移中出現(xiàn)項(xiàng)，與一般晶體和Laue類8均不相同，但是在J積分中并未出現(xiàn).對(duì)于切口問題π/2＜α＜π，從而當(dāng)r→0時(shí)，J→0，這和一般彈性體一樣;另外，當(dāng)α→π時(shí)，J積分變?yōu)榱鸭y開裂的能量釋放率:

Laue類5，7和9

Laue類8

同樣可見，Laue類8與Laue類5，7和9的能量釋放率的數(shù)學(xué)形式也相同.顯然，當(dāng)無相位子場(chǎng)時(shí)，ΛI(xiàn)II=0，式(31)和(32)退化為一般彈性材料的能量釋放率形式，與經(jīng)典力學(xué)中結(jié)果一致.

4 結(jié)束語(yǔ)

由一維準(zhǔn)晶基本彈性理論的本構(gòu)方程，利用解析函數(shù)的理論給出基于極坐標(biāo)系的應(yīng)力方程.由切口邊界條件得出本征方程并求出切口問題的聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)應(yīng)力位移的漸進(jìn)解，最后引入應(yīng)力強(qiáng)度因子，給出切口尖端處的應(yīng)力位移分布，并計(jì)算切口尖端的J積分.計(jì)算結(jié)果表明，聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)通過本構(gòu)方程耦合，切口尖端處聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的位移也具有耦合性，其中Laue類5，7和9的位移與Laue類8的不同，也與一般材料不同，然而J積分仍具有相同的形式.當(dāng)切口變?yōu)榱鸭y時(shí)，J積分給出能量釋放率.

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附錄 一維準(zhǔn)晶各Laue類本構(gòu)方程

Laue類5

Laue類9

方程中σij和εij分別是聲子場(chǎng)應(yīng)力和應(yīng)變，Hij和wij分別是相位子場(chǎng)應(yīng)力和應(yīng)變.