y軸方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明及解題應(yīng)用

歐永華

(福建省仙游第一中學(xué),福建仙游 351200)

1 問(wèn)題的提出

2011年福建卷理科綜合第22題:如圖1-甲,在 x＞0(原考題如此—編者)的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B.一質(zhì)量為 m,帶電荷量為 q(q＞0)的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處,以初速度 v0沿x軸正方向射入,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖1-甲,不計(jì)粒子的重力.

(1)求該粒子運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)=h時(shí)的速度大小v;

(2)現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮?發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡(y-x曲線)不同,但具有相同的空間周期性,如圖1-乙所示;同時(shí),這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)(y-t關(guān)系)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),且都有相同的周期 T

Ⅰ.求粒子在一個(gè)周期內(nèi),沿x軸方向前進(jìn)的距離s;

Ⅱ.當(dāng)入射粒子的初速度大小為 v0時(shí),其 y-t圖像如圖1-丙所示,求該粒子在y軸方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅Ay,并寫(xiě)出 y-t的函數(shù)表達(dá)式.

圖1

本題第(2)問(wèn)中將“這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)(y-t關(guān)系)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),且都有相同的周期直接陳述為已知條件并應(yīng)用求解.現(xiàn)將參考答案轉(zhuǎn)錄如下.

解析:(2)Ⅰ.由圖1-乙可知,所有的求粒子在一個(gè)周期T內(nèi),沿 x軸方向前進(jìn)的距離相同,即都等于恰好沿 x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離.設(shè)粒子恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v1,則

由(1)、(2)式解得

(2)Ⅱ.設(shè)粒子在 y方向上的最大位移ym(圖1-丙曲線的最高點(diǎn)處),對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度大小為 v2(方向沿 x軸),因?yàn)榱Ｗ釉?y方向上的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),因而在 y=0和y=ym處粒子所受的合外力大小相等、方向相反,則

由動(dòng)能定理有

由(3)～(5)式解得

可寫(xiě)出圖1-丙曲線滿足的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y-t函數(shù)表達(dá)式為

但是為什么帶電粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)一定是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)而且都有相同的周期,周期一定為呢?是否有其他的求解方法?

2 做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及周期的證明

當(dāng)帶電粒子以初速度 v0沿 x軸正方向射入時(shí),設(shè)帶電粒子還具有圖2所示的沿 x軸方向上的兩個(gè)速度+v1和-v1(即+v1和-v1疊加的合速度為零).

圖2

圖3

首先讓帶電粒子由+v1這個(gè)速度引起的洛倫茲力正好與電場(chǎng)力相平衡,有

那么,帶電粒子還具有沿x軸正方向上的速度v0和負(fù)方向上的速度-v1的合速度

帶電粒子在v這個(gè)速度引起的洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖 3,即

則勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期

可見(jiàn)帶電粒子的運(yùn)動(dòng)形式可以視為由沿 x軸正方向以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度v做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成.所以初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡(y-x曲線)不同,但具有相同的空間周期性,周期為是與初速度 v0的大小無(wú)關(guān)的物理量.

其中帶電粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)(y-t關(guān)系)是由v這個(gè)速度引起的洛倫茲力作用下的勻速圓周運(yùn)動(dòng)在y軸方向上的投影隨時(shí)間的變化關(guān)系來(lái)表述的(如圖3),即

這正是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)公式,所以粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)(y-t關(guān)系)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

3 解題應(yīng)用

第(1)問(wèn)略.

第(2)問(wèn):

Ⅰ.帶電粒子的沿 x軸正方向以速度v1做勻速直線運(yùn)動(dòng),且周期為則

Ⅱ.帶電粒子還具有沿 x軸正方向上的速度v0和負(fù)方向上的速度-v1的合速度

帶電粒子在v這個(gè)速度引起的洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng),即

由(7)～(11)式解得

角速度

可寫(xiě)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的y-t的函數(shù)表達(dá)式為