論“三角形法”解平衡問題的局限性

唐 龍

(南京師范大學附屬中學,江蘇南京 210003)

共點力平衡問題是實際生活中最常見的問題之一,涉及的主要知識是共點力平衡條件的應用,其中,三力平衡問題是現行高中物理教學中的重點內容,而如何處理這類問題又是高中物理教學的難點.在高中物理教學中,解三力平衡問題常用的方法有“三角形法”和“正交分解法”.

所謂“三角形法”是指在研究三力平衡時,根據任意兩個力的合力與第三個力大小相等方向相反這一平衡條件,作出三個力構成的力的矢量三角形,然后應用三角形的有關知識來建立平衡關系式的研究方法.這當中用到的三角形的有關知識是非常豐富的,有直角三角形的邊角關系和邊與邊的關系(勾股定理)的應用;也有一般三角形的正弦定理和余弦定理的應用;還有力的矢量三角形和空間幾何三角形相似的關系應用等等.這就使得“三角形法”在解三力平衡問題時,顯得方法直接、多變而獨具魅力,受到廣大師生的青睞.

所謂“正交分解法”是指研究三力平衡時,選擇合適的兩個相互垂直的方向建立正交的直角坐標系,然后把不在坐標軸上的力都分解到這兩個坐標軸上(或者說是投影到軸上).再分別列兩個坐標軸方向上的平衡關系式,聯立為方程組進行求解的方法.“正交分解法”在解三力平衡問題時,常顯得有些繁瑣、呆板.

然而,任何一事物都具有其兩面性,方法的好丑也常常是相對的.下面就通過兩例來談談“三角形法”在解平衡問題時存在的的局限性.

例1.如圖1所示,一個重為G的小環套在豎直放置的半徑為R的光滑大圓環上,一個勁度系數為k,自然長度為L(L＜2R)的輕質彈簧,其一端與小環相連,另一端固定在大環的最高點,求小環處于靜止狀態時,彈簧與豎直方向的夾角 φ.

圖1

解析:分析小球受力如圖 2所示,小環受重力G、沿大圓環半徑方向的支持力 N、彈簧對它的拉力F的作用.根據胡克定律應有

方法1:“三角形法”.因小球處于平衡狀態,若將表示三力的矢量線段平移,這三個力必可構成一首尾相連的閉合的矢量三角形.如圖3所示,容易判斷,圖中的力三角形和空間位置三角形△AOB是相似的,所以有對應邊成比例,即

由(1)、(2)兩式即可得

圖2

圖3

這是一道很典型的三力平衡問題,如果學生能夠想到用上述方法解到這一步已屬不易,這樣的學生對相關知識已掌握得很好,解題的能力也相當不錯,很多的教學參考書也是這樣解答的.可是,當我們看到下面的問題對話時,是否有別有洞天的感覺呢?

答:從數學的角度來看應該是無解.可是,無解就意味著找不到一個可以平衡的位置.

問題2:在這樣的封閉圓環上找不到一個可以平衡的位置,這可能嗎?如若不可能,那會在什么位置平衡呢?

答:肯定存在平衡的位置,好像在最低點是可以平衡的?對!最低點三力在一條直線上,N的大小可取任意值,故總能平衡,這也就是說φ=0也是該題目的一個解.因而,該題目的完整答案應該是

或(φ=0).

問題3:為何解法1求不出這樣的解呢?

答:上述解答中用到兩三角形相似的規律,而當球在最低點時,兩三角形都已不存在了,所以,由三角形相似的規律得出的解也就不一定成立了.

問題4:那我們在解這道題時是不是還要另外記住φ=0這個特殊的解呢?

答:不是記住,而是要善于發現它.這種發現才是最重要的.

問題5:那我們能不能用一種方法將這兩個解都解出來呢?

答:那就要回避三角形法,可以嘗試一下正交分解法.

方法2:正交分解法.如圖 4所示,選取坐標系,以小環所在位置為坐標原點,過原點沿水平方向為 x軸,沿豎直方向為y軸.

圖4

由(1)、(3)、(4)三式即可解得

由此可見,用“三角形法”研究三力平衡時,當三個力變化到一條直線上時,三角形已不復存在了,由三角形規律得出的解也就不一定成立了.這就是“三角形法”在解平衡問題時存在的局限性.為了加深對其的理解,不妨再舉一例.

例2.一輕繩跨過兩個等高的定滑輪(不計滑輪大小和摩擦),兩端分別掛上質量為 m1=4kg和 m2=2 kg的物體,如圖5所示.在滑輪之間的一段繩上懸掛物體 m,為使三個物體保持平衡,求 m的取值范圍.

圖5

解析:分析O點受力如圖6所示,O點受三力而平衡.

圖6

方法1:“三角形法”.

作 T1、T2的合力 T′,應有 T′=T.根據余弦定理可得

其中T1=m1g,T2=m2g,T=mg.

代入數據得

進行如下討論:

當θ=0時,m最大mmax=6 kg;

當 θ=180°時,m 最小mmin=2 kg.

答案:平衡時m的取值范圍2 kg＜m＜6 kg.

方法2:正交分解法.

圖7

建立如圖7所示的直角坐標系,根據正交分解法得到的平衡方程為

其中T1=m1g,T2=m2g,T=mg.

由(8)、(9)兩式即可解得

進行如下討論:

當 θ2=0時,m 最大,mmax=6 kg;當 θ2=90°時,m 最小,mmin=2kg.

上面兩種解法得出的結論是不完全一致的.其中,第1種解法運用了“三角形法”,也是學生常用的解法.但這種解法得出的結論是不符合題意的,原因在于“三角形法”中余弦定理只反映三個力的大小關系,不能準確反映出 T1、T2的夾角θ的變化范圍.從方法2中可以看出,由正交分解法得到的(9)式可知,θ2最大值可取90°,而θ1的最大值卻只能取30°,那么,θ的最大值就只有 120°了.若將 0°＜θ＜120°代入到(5)式中,得到的結果就是正確的了.

通過上述的探討,我們不僅可以認識到“三角形法”解平衡問題的局限性,還應從中得到一個啟示:我們在研究和解決物理問題時,既要善于把一個物理問題轉化為數學問題去求解,又要有把數學的解還原到物理的問題情景中去檢驗的意識.