巧用時鐘轉(zhuǎn)動模型,速解天體追及問題

黃江銘

(浙江省新昌澄潭中學,浙江新昌 312500)

天體的追及問題是學生學習的難點,如何突破這個難點呢?實踐表明,應用學生容易理解的“時鐘轉(zhuǎn)動模型”能順利解決這類問題.

1 時鐘轉(zhuǎn)動模型

例1.12點整時,鐘面上的時針、分針剛好重合,如圖1所示.請你計算一下,再過多長時間,鐘面上的時針與分針再次重合?

圖1

圖2

解析:由于分針比時針轉(zhuǎn)得快,當分針轉(zhuǎn)動1周時,時針才轉(zhuǎn)動1格,接下去是分針去追趕時針,最后在某個位置又再次重合,如圖2所示.

不難發(fā)現(xiàn),分針與時針再次重合,分針比時針多轉(zhuǎn)動1周,并且運動的時間又相同,因此,我們可得出以下式子

其中φ表示時針轉(zhuǎn)過的弧度,ω1表示分針轉(zhuǎn)動的角速度,ω2表示時針轉(zhuǎn)動的角速度.

其中分針轉(zhuǎn)1周的時間T1=12 h,時針轉(zhuǎn)1周的時間T2=1 h.

聯(lián)立(1)、(2)式,化簡為

總之,代入數(shù)據(jù),可得

時針和分針(或者分針和秒針)再次重合時,存在著以下關(guān)系式

2 應用時鐘轉(zhuǎn)動模型,解決天體追及問題

例2.如圖3所示,火星和地球繞太陽的運動可以近似看作在同一平面內(nèi)同方向的勻速圓周運動,已知火星的軌道 r1=2.3×1011m,地球的軌道半徑 r2=1.5×1011m,從圖示的火星與地球相距最近的時刻開始,試估算火星再次與地球相距最近需多長時間.(以年為單位計算)

圖3

解析:行星繞太陽做近似勻速圓周運動,有

可得

所以

火星轉(zhuǎn)得慢,地球轉(zhuǎn)得快,要再次相遇,地球比火星多轉(zhuǎn)1周,運動情況與“時鐘轉(zhuǎn)動模型”相同.

根據(jù)“時鐘轉(zhuǎn)動模型”的導出式(Ⅰ),

其中 T1表示火星繞太陽轉(zhuǎn)動的周期,T2表示地球繞太陽轉(zhuǎn)動的周期.可得t=2.1年.

例3.假設有一載人宇宙飛船在距地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動,地球半徑約為6 400km,地球同步衛(wèi)星距地面高度為36 000 km,宇宙飛船和地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動,每當二者相距最近時,宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號,然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站,某時刻二者相距最遠,從此刻開始,在一晝夜的時間內(nèi),接收站共接收到信號的次數(shù)為

(A)4次. (B)6次. (C)7次. (D)8次.

其中R1、R2分別是同步衛(wèi)星和宇宙飛船的軌道半徑;T1、T2分別是同步衛(wèi)星和宇宙飛船的運動周期.代入數(shù)據(jù),可得

開始時刻,宇宙飛船、同步衛(wèi)星和地球的位置如圖4所示,第1次接收到信號時,宇宙飛船、同步衛(wèi)星和地球的位置如圖5所示,宇宙飛船比同步衛(wèi)星多轉(zhuǎn)動0.5圈.

圖4

圖5

第2次接收到信號時,宇宙飛船、同步衛(wèi)星和地球的位置如圖6所示,宇宙飛船比同步衛(wèi)星多轉(zhuǎn)動1圈.

圖6