基于無抽取Haar算法的實時卡爾曼濾波方法

譚平，蔡自興

(中南大學 信息科學與工程學院，湖南 長沙，410083)

卡爾曼濾波是最常用的最優狀態估計方法，在滿足線性和標準噪聲(零均值、高斯分布)的條件下，通過遞推形式得到最小二乘意義下的最優狀態估計[1]。而基于小波多尺度分解的正交變換能夠把單一尺度的狀態估計轉化到不同尺度上的狀態估計，得到比原來單一尺度上好的處理效果[2]，特別針對 1/f類分形信號，小波變換可以使得不同尺度下的小波系數序列的自相關和互相關函數衰減很快[3-4]。為此，研究者們將小波多尺度分析和卡爾曼方法結合，提出了多尺度卡爾曼濾波方法。多尺度卡爾曼濾波能充分發揮小波變換與卡爾曼濾波的優點，取長補短，在信號去噪[5-6]、信號檢測[7]、信息融合[8-9]、目標跟蹤等方面效果明顯。現有的多尺度卡爾曼濾波通常采用分段方式，先對狀態序列進行小波多尺度分解，接著在各個尺度上進行卡爾曼濾波，然后通過小波重構得到狀態估計值。但是，這種方式不滿足在線實時處理，在進行多尺度分解時需要得到t時刻后的數據才能進行分解[10-11]，即在t時刻，不能同時得到不同尺度上的信息，而且存在較大的延時，特別是分解尺度越多，其延時越大。為了實時準確的得到各個尺度上的信息，本文作者提出基于無抽取Haar算法[12]的實時卡爾曼濾波，該方法能在t時刻獲得各個尺度信息，降低了實時響應時間，另結合各小波閾值去噪方法，在信號處理方面表現出良好去噪性能。

1 多尺度卡爾曼濾波方法

1.1 多尺度動態系統建模

當采樣時刻為t(t≥0)，在某一尺度j上建立動態系統：

系統隨機噪聲序列和觀測隨機噪聲序列滿足：

1.2 多尺度卡爾曼濾波方法

多尺度卡爾曼濾波方法(Multi-scale Kalman Filter，MKF)是在通過小波變換后，在各個尺度上對信號進行卡爾曼濾波[13]，圖1所示為多尺度卡爾曼濾波的結構，其實現過程如圖2所示。在計算時刻t的多尺度信號時，需要使用(t-2J-1)到(t+2J-1-1)(J為最大尺度)時刻的數據，因此其信號處理延時了2J-1-1個時間步長。當實時性要求較高時，將無法滿足系統要求。

圖1 多尺度Kalman濾波結構Fig.1 Structure of multi-scale Kalman filter

從圖2可知這種方法存在以下2 個缺點：(1) 在t時刻計算得到的小波系數，不能為下次小波系數的計算所使用，需要重復計算，效率低；(2) 由于小波的對稱性，為了計算t 時刻小波系數，需要延時2J-1-1個時間步長。圖2 中延時為7 個時間步長，因此，實時性較差。

圖2 t時刻小波變換中小波系數所使用數據示意圖Fig.2 Input signal used to calculate wavelet coefficient at t time step

2 多尺度實時卡爾曼濾波算法

2.1 多孔算法

考慮時間序列信號{c0,t}，可定義為在t時刻函數f(x)與尺度函數φ(x)的內積，即

尺度函數滿足方程：

這里h是與尺度函數相關的離散低通濾波。由定義可知：信號通過低通濾波后與相鄰尺度信號非常接近，而2層之間的距離通過因子2從一層增加到另一層。

在時刻t和尺度j下，逼近系數{cj,t}是函數f(x)與尺度函數內積：

它也可以通過卷積計算得到：

因此，連續2個層之間的差可以表示為：

也可獨立表達為：

這里，小波函數定義為：

原始信號的重構可以表示為：

2.2 基于無抽取Haar算法的Kalman濾波

為了減少邊界影響，同時提高變換的實時性，Renaud等[12]建議選用濾波器系數盡量窄的小波函數。并針對局部階躍效應提出了無抽取Haar算法，該算法使用Haar小波基的低通濾波器h(k)={1/2,1/2}替換標準多孔算法，這里h是非對稱的，考慮到第1層小波分解，可以使用原始信號與h進行卷積，則：

通過式(10)和(11)變換可知：在任意時刻 t，都不需要使用t時刻以后的數據來計算小波系數，因此，增強了實時性。顯然該算法由于不需要平移信號，因此，信號＜x1，x2，…，xt＞在尺度j下的小波系數嚴格等價于信號＜x1，x2，…，xN＞的前t個小波系數，其中N＞t。該方法在實際中計算容易，只需要加減運算和右移運算即可完成，而且由于數據是進行有規律地更新，前面計算得到的小波系數可以為后面的計算使用，不需要重新計算，提高計算效率。

圖 3所示為計算各個尺度逼近系數所用到的數據，對應的小波系數可以通過式(11)所得。

結合上面所提的快速計算方法，采用卡爾曼方法對各個尺度信息進行濾波，能有效提高收斂速度。為了提高精度，在小波分解后，在各個尺度上進行小波去噪，采用軟閾值方法[14]，小波系數的去噪公式如下：

圖3 t時刻小波變換中系數c所使用數據示意圖Fig.3 Input signal are used to calculate approximation coefficient c at t time step in wavelet transform

圖4 所示為基于無抽取Haar算法的實時多尺度卡爾曼濾波算法(Real time multiscale Kalman filter，RMKF)結構圖。該算法的處理步驟如下(輸入為t時刻采樣數據xt；輸出為t時刻濾波數據yt)：(1) 采用式(10)和(11)進行小波分解，令 c0,t=xt；(2) 利用式(13)在各個尺度上進行閾值去噪；(3) 在各個尺度上進行Kalman濾波；(4) 利用式(9)進行小波重構后得到濾波信號。

圖4 多尺度實時卡爾曼濾波算法結構圖Fig.4 Structure of multi-scale real time Kalman filter

顯然，該算法能夠在t時刻處理完數據，具有較強的實時性，其計算復雜度為 S=J×(4+Skf)(其中，J為最大尺度；Skf為卡爾曼濾波計算復雜度)。

3 實驗結果及討論

3.1 傳感器去噪性能比較

為了驗證該方法的效果，通過三軸低精度加速度和一個精度較高的 GPS/INS中慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)進行驗證，其中高精度數據作為參照對象。實驗在中南大學自主改裝的智能獵豹越野車上進行。

首先實時采集數據，然后分別采用小波閾值、普通卡爾曼濾波，MKF和MRKF 4種方法對低精度數據進行去噪處理，將結果與高精度的IMU加速度數據進行比較，這里采用均方誤差(Mean square error，MSE)對性能進行評價：

其中：xd為算法處理結果，xh為高精度傳感器采集數據。圖6所示為在設定狀態轉移誤差為q=0.02時，4種算法對x軸數據的處理結果。為了驗證算法的有效性，實驗重復20次，結果取平均值，如表1所示。

圖6 4種算法對x方向加速度的處理結果Fig.6 Denoise result of four algorithms to x acceleration

表1 在q=0.02時，4種算法的均方誤差Table 1 MSEs of four algorithms when q=0.02

從圖 6可以看出：(1) 小波閾值去噪處理算法對勻速情況下能有較好的處理，但是在加速度變換特別是智能車顛簸時，處理后數據噪聲依然很大，與實際數據依然相差很大。(2) 在狀態轉移誤差估計準確時，Kalman濾波、MKF和MRKF對大噪聲污染數據都有較好的處理能力，處理后的數據基本接近高精度數據。

為了驗證實時性能，在采樣速率為20 Hz，共有4個尺度的情況下，統計4種算法的平均延時，結果如表2所示。可見：Kalman延時最小，MRKF其次，小波去噪和MKF濾波時間較長，其原因是這2種算法本身需要等待2J-1-1個時間步長。

表2 4種算法平均延時Table 2 Average delay of four algorithms s

3.2 狀態轉移誤差q對濾波結果的影響

對于一個動態系統，其系統狀態轉移誤差通常比較難以估計，為了進一步比較Kalman濾波和RMKF的去噪能力，對系統方程中的狀態轉移誤差q進行分析。設定狀態轉移誤差q從0.001到0.700變化，對每個不同的q計算2種方法的均方誤差，為了保證計算的統計特性，實驗重復20次，取平均值得到結果如圖7所示。由圖7可知：(1) 存在最小估計誤差，即誤差估計有下限；(2) 當狀態轉移誤差模型準確時，卡爾曼濾波是最優估計，q=0.01時，其均方誤差最小；而q小于該值后，估計誤差均方誤差將顯著增大，因此，實際中不能將狀態轉移誤差設得太小。(3) 當狀態誤差模型不精確且q＞0.01時，多尺度卡爾曼濾波后的均方誤差比普通Kalman濾波的小，其估計更精確。

圖7 3種算法的均方誤差隨系統狀態誤差估計變換Fig.7 MSEs of three algorithms with system state error estimated changes

因此，對于一個狀態轉移誤差不能確定的系統，采用RMKF方法能有效提高系統的性能。

4 結論

(1) 提出了基于無抽取Haar算法的卡爾曼濾波實時處理方法，通過采用簡單的加減、移位運算在t時刻完成多尺度變換，克服了基于分段式方法計算量大、實時性差的問題。該方法提高了算法實時性，并且有效減少重復運算，提高運算效率。

(2) 該方法結合小波閾值去噪，對強背景噪聲數據具有較強去噪性能，并通過實驗得到了驗證。

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