基于最大Lyapunov指數的市場出清電價預測

楊淑霞，徐琳茜，劉達，韓奇，張麗，丁暉

(1. 華北電力大學 經濟與管理學院，北京 102206；2. 中國電監會山東電監辦，山東 濟南，250101)

市場出清價是體現電力商品在市場中短期供求關系的重要指標。準確預測市場出清電價一方面為發電側競價上網提供重要參考依據，另一方面為市場監管提供重要的科學依據，有效保證電力市場競爭健康、穩定、有序，國內外許多研究者使用不同的方法對出清電價預測進行了研究，如：文獻[1]采用合作協同進化的方法進行出清電價預測；文獻[2]基于歷史電價、電量以及其他信息，采用神經網絡法對電力市場出清電價進行預測；文獻[3]從市場出清價具有非線性和多時間尺度的特性出發，采用人工免疫系統優化后的小波網絡來描述市場出清價的變化規律并對次日市場出清價進行預測；文獻[4]用免疫遺傳算法對模糊神經網絡的學習算法進行改進，對出清電價進行預測；文獻[5]對市場出清電價的影響因素進行了系統分析，認為影響市場出清電價的因素眾多，且這些因素具有較強的隨機性和不確定性，而常規的市場出清電價單值預測模型未充分考慮歷史數據的不確定性，預測結果無法體現市場出清電價的隨機變化特性，預測精度也較低；文獻[6]將BP神經網絡引入出清電價預測，將負荷和清算電價作為輸入變量，出清電價作為輸出變量，構造了3層BP神經網絡模型對未來出清電價進行了預測；文獻[7]將相似性原理和BP神經網絡相結合預測日前市場出清電價，該法尤其適用于只能獲得有限原始數據的情況。由于影響電價的因素很多，電價一般被認為是一種隨機變量，因此，預測市場出清電價時既要給出所預測電價的可能值，還要給出相應的概率信息。文獻[8]研究了西班牙能源市場次日電價的預測問題。上述研究大多采用單一序列的研究方法而忽略了不確定因素的影響，而神經網絡預測方法也有其局限性。為此，本文作者引入相空間重構和最大Lyapunov指數的計算方法，在此基礎上對市場出清電價序列特性進行判定。然后，依據最大Lyapunov指數預報模式，對某電力市場 1999-01-01—1999-08-31的電價數據進行混沌時間序列判定，采用最大Lyapunov指數預報模式進行出清電價預測。最后，將預測結果與 AR(2)模型預測市場出清電價結果進行對比，以探討應用最大Lyapunov指數對出清電價進行預測的可行性。

1 市場出清價混沌特性判定

1.1 相空間重構

相空間重構理論可以通過時間序列來分析非線性系統的混沌特性[9]，它使用非線性時間序列來研究系統的動力學行為，并將混沌理論應用于實際。這一理論表明：混沌動力學系統中任一變量的時間序列里包含確定系統狀態所需要的全部動力學信息。在新的坐標系中考察某一變量的演化過程，所得到的狀態軌跡能夠保留原空間狀態軌道最主要的特征。本文采用目前使用最廣泛的延遲坐標狀態相空間重構法[10]，將實際觀測的時間序列數據擴展到多維的相空間，分析時間序列中所包含的系統信息。

將觀測到的N個電價數據記為1個單變量時間序列x1，x2，…，xN，將其嵌入m維相空間，則m維相空間中的相點表示為：

式中：N為時間長度；x1，x2，…，xN為電價序列；τ為延遲時間；m為嵌入維數。

設D0為估算的最大分數維，D為原系統的維數。根據Takens提出的嵌入定理[11]，時間長度N越大，越能反映出原系統的信息，但過大的時間長度會造成重構時間延長，因此，N通常在區間范圍內取值；延遲時間τ的取值應適當，既保證各分量間的相互獨立性，又要保證延遲坐標的相關性；嵌入維數m的取值應滿足m≥2D+1。

1.2 混沌特性判定原理

混沌運動是一種介于確定與隨機之間的更具普遍意義的狀態，其產生于確定性的非線性系統中，對初始條件具有高度敏感性，并且具有自相似的分形結構和分數維。為了鑒別電價的演化過程是否為混沌運動，可采用相空間重構進行分析，提取特征指標Lyapunov指數來定量判斷電價序列是否處于混沌狀態。

1.2.1 最大Lyapunov指數的計算方法

Lyapunov指數是指初值不同的2條相鄰軌跡在相空間中隨時間推移按指數規律分離的平均發散速率，以定量描述混沌運動的初值敏感程度。Wolf[12]認為，在判斷動力系統混沌運動時，只需計算最大Lyapunov指數即可。若最大Lyapunov指數為正，則系統具有初值敏感性，其運動為混沌狀態；若最大Lyapunov指數等于 0，表明系統對初值不敏感，呈現周期運動；若最大Lyapunov指數為負，則系統的長期行為與初值無關，將收斂到1個平衡點。

對于一維時間序列數據，Lyapunov指數的計算可采用Wolf方法[13]，計算步驟如下。

(1) 根據實際觀測的時間序列數據及樣本總數N，確定延遲時間τ，構造N維空間的單變量時間序列，相點數為m=N-(m-1)τ。

(2) 選取初始相點 y0，在點集中選擇最靠近y0的點yj，以y0和yj為端點構成初始向量，兩端點間的歐式距離記為L(t0)(其中，t0為初始時點)。

設時間步長為 k，t1=t0+k，初始向量按t1向前演化得到新向量，該向量兩端點間距離記為L(t1)，在相應時段內系統線度指數增長率為：

其中：λ為系統線度指數增長率。按步驟依次計算，直至所有相點為止。最大Lyapunov指數估計值為各指數增長率的平均值，即：

逐次增加嵌入維數n，重復以上步驟，直至λ1(m)隨n變化趨于平穩為止，由此得到的計算結果即為最大Lyapunov指數。

1.2.2 市場出清價混沌特性判定結果

本文選用某電力市場 1999-01-01—1999-08-01出清電價，使用 Matlab7.0軟件作為計算工具，根據文獻[14]中相空間重構的Matlab程序接口，對電價序列進行相空間重構。通過Matlab編程計算，得出延遲時間τ=9，Lyapunov指數為0.037＞0，判定該時間序列具有混沌特性；由相關系數選擇Lyapunov指數均大于 0，說明短期內出清電價的演化過程對初始條件具有敏感依賴性，電價序列初值的微小變化將隨時間推移呈指數增長。此外，Lyapunov指數較小，電價的演化速率較慢，電價序列演化過程的短期預測可以實現。

2 基于最大Lyapunov指數的出清電價預測

2.1 基于Lyapunov指數的預報模式

取初始相點為Y(t0)，搜尋Y(t0)的最近鄰點Y0(t0)，設2點距離為L0，考察這2點的時間演化過程，直至這2點間距超過規定值ε為止，此時，時點為t1。令，在Y(t1)附近另尋點Y1(t1)，使得，且 Y0(t1)-Y(t1)與 Y1(t1)-Y(t1)之間的夾角盡可能小；重復上述過程，經過M次迭代后，此時，時點為 tM，Y(t)到達時間序列構成的相空間終點，由此得到的最大Lyapunov指數為：

其中：Li為 Y(ti)與其最近鄰點 Yi(ti)間的距離；Li′為Y(ti+1)與 Yi(ti+1)間的距離；i=0，…，M。在不同步長的演化過程中， Li′ / Li近似為常數，這一特性為建立基于最大Lyapunov指數的預報模式奠定了基礎[15]。

設Y(ti)為預測的中心點，計算其最近鄰點Y(tj)，經過時間尺度 T后的演化相點分別為 Y(ti+T)和Y(tj+T)。若T≤τ，則相點Y(ti+T)只有第1個分量x(ti+T)是未知的，可進行預報。取 T=1，最大 Lyapunov指數為λ1，則基于最大Lyapunov指數的預報模式為：

最大可預測時間尺度通常為 Tmax= 1 /λ1。T的取值具有重要意義，若其大于提前預報時間，則可以對所預測對象進行預測；若其小于提前預報時間，則所預測對象不可預測或誤差超出允許值。

2.2 預測步驟

根據上述基于最大Lyapunov指數預測模式，計算某電力市場 1999-01-01—1999-08-31出清電價的Lyapunov指數。通過 Matlab編程計算，得到出清電價序列的嵌入維數m=9，最大Lyapunov指數λ=0.037＞0，驗證了該電價序列為混沌時間序列，可以采用最大Lyapunov指數預報模式進行出清電價預測。

基于最大 Lyapunov指數的混沌時間序列模型預測的具體流程如圖1所示，其實測值與預測值如圖2所示。

圖1 混沌時間序列模型預測流程圖Fig.1 Flow chart of chaos time series forecasting model

3 市場出清價預測與分析

3.1 基于最大Lyapunov指數的預測結果及分析

根據表1所示的預測結果，通過計算得出：采用Lyapunov指數預測模式進行出清電價預測，得到的預測值和實際值之間的平均絕對誤差率為7.234 7%，最大絕對誤差率為17.017 5%，絕對誤差率大于6%的點占了1/2。從圖3可以看出：出清電價預測誤差率在誤差為0的兩側呈現較均勻分布。

從表 1、圖 2和圖 3所示的預測結果可見：Lyapunov指數預測模式的平均絕對誤差率為7.234 7%，誤差在評價誤差兩側呈現較均勻分布，最大絕對誤差率為17.017 5%，大于6%的點占了1/2。

表1 Lyapunov指數預測結果Table 1 Results of Lyapunov exponent forecasting

圖2 基于Lyapunov指數的實測值與預測值曲線Fig.2 Curves of actual value and forecasting value based on Lyapunov exponent

圖3 基于Lyapunov指數的實測值與預測值誤差率曲線Fig.3 Curve of error rate between actual values and forecasting values based on Lyapunov exponent

采用最大 Lyapunov指數預測模式進行出清電價預測時，前5個時段的預測精度比較高；隨著時間的推移，預測精度不斷降低。這是因為出清電價的預測受到多種因素的影響，波動非常復雜。在預測過程中，所有預測值都是基于同一嵌入維數的相空間以及相同的最大Lyapunov指數得到的。最大可預測時間尺度為1/λ=1/0.037=27.027，即最大可預測時間為27。本文為了保證預測精度，選取了12個時點進行內預測。

3.2 基于AR(2)模型的預測結果及分析

研究基于最大Lyapunov指數的預測模式的精度，將上述預測結果與文獻[15]中利用 AR(2)模型預測市場出清電價的結果進行對比。

使用相同的歷史數據，利用 AR(2)模型預測市場出清電價時，前12個時段剛好有6個時點為平穩性時間序列，6個時點為非平穩時間序列。每個預測模型只用來預測第2天各自對應時段的出清電價，分別得到12個時段的電價預測結果，然后，將這12個時段電價預測結果組合起來，如表 2所示。基于最大Lyapunov指數預測模型的實測值與預測值見圖2，其誤差率見圖 3。基于 AR(2)模型的實測值與預測值及其誤差率曲線分別見圖4和圖5。

根據表2所示的預測結果，通過計算得出：平衡電價序列構造的 AR(2)模型具有較高的預測精度，市場出清電價預測值與實際值之間的平均絕對誤差率為4.571 7%，但是，非平衡電價預測值與實際值之間的平均絕對誤差率為6.510 0%。這是由于電價的隨機波動性較強，一般很難有效地去除電價時間序列的非平穩過程，從而在一定程度上影響了預測的效果，使得絕對誤差率大于6%的點占了7/12。

表2 AR(2)模型預測結果Table 2 Results of AR(2) model forecasting

圖4 基于AR(2)模型的實測值與預測值曲線Fig.4 Forecasting fitting chart curves of actual value and forecasting value based on AR(2)model

圖5 基于AR(2)模型的實測值與預測值誤差率曲線Fig.5 Curve of error rate curve of error rate between actual values and forecasting values based on AR(2) model

3.3 最大Lyapunov指數預報模型與AR(2)模型的預測結果對比分析

AR(2)模型預測法應用于平穩電價序列預測時精度比較高，但是，在對非平穩電價序列預測時，由于不確定性的影響加大，其平均絕對誤差率較大。

出清電價序列的演化過程具有混沌特性，可采用基于 Lyapunov指數的時間序列預測模型進行預測。采用最大Lyapunov指數預報模型進行電價預測，其預測結果的總體精度略低于 AR(2)模型的預測結果總體精度，但其精度相對穩定，絕對誤差率大于 6%的時點數少于后者。這說明基于最大 Lyapunov指數的市場出清電價預測是有效的。

4 結論

(1) 應用最大Lyapunov指數預測模型預測出清電價時，其最大預測時間 Tm= 1 /λ，在最大預測時間范圍內進行預測均可以保證預測的準確性。在預測計算前可根據λ確定預測精度范圍。在預測過程中，所有的預測值都是基于同一嵌入維數的相空間以及相同的最大 Lyapunov指數得到的，但是，預測精度隨時間降低。

(2) 最大Lyapunov指數反映了相空間中相體積收縮和膨脹的幾何特性。該預測方法以數據序列本身所計算出來的客觀規律進行預測，有效降低了各種主觀因素的影響。

(3) 最大Lyapunov指數預測模型的計算能夠通過Matlab編程實現，且具有較強的可移植性和可擴展性。但采用Wolf方法的計算量較大，這有待進一步改進。

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