基于多模型集成的鐵礦粉庫存量預測方法

蔡雁，吳敏，王紹麗，王春生

(中南大學 信息科學與工程學院，湖南 長沙，410083)

鋼鐵企業的采購物流成本占企業總成本的60%～70%，并且隨著世界經濟發展，各個鋼鐵企業對于原材料的需求日益增加，企業出現原料存放場地不足、資金緊張等問題[1]。這時，通過準確預測原材料庫存量，制定合理的采購計劃是節約企業成本的關鍵。通過對鋼鐵企業鐵礦粉庫存量的準確預測，根據預測結果制定合理的采購計劃，可以防止因采購量過大導致庫存積壓引起的成本制約和采購量過小引起的異常生產。目前國內外鋼鐵企業主要采用擴大料場規模及合理安排料場原料存放位置等方法來增加原材料庫存儲量[2-4]，而一些礦產公司則采用全流程跟蹤礦粉供應鏈的方法實現企業庫存量的實時監控[5]。鋼鐵企業為滿足生產需求，通過擴大原料存儲場地面積，從新布局堆位的方法來實現，但這種方式耗費較大資金，不能從根本上優化企業采購成本。通過對庫存量進行準確預測，然后制定合理采購計劃，這是解決原料供應優化問題的重要途徑。從理論上說，鋼鐵企業鐵礦粉的庫存量主要由每天或每批次的生產計劃和采購計劃決定，但是在實際生產中，鐵礦粉庫存量受到采購瓶頸，季節型訂單或訂單波動，物料損失等外在因素的影響，存在較多的不確定性因素。這些不確定因素較難預測，而且其對庫存量的影響也較難定量描述。本文作者考慮到不確定因素對庫存量的影響實際上反映在庫存量的時間序列數據中，通過對時間序列數據的有效分析與建模，可以真實反映庫存量影響的主要因素及影響因子較小的不確定性因素。根據以上庫存量預測特點，本文作者提出一種基于灰色系統模型與時間序列模型集成的預測方法來預測鐵礦粉庫存量。首先利用灰色系統可以反映數據序列整體發展趨勢的優點，通過對庫存量歷史數據的濾波、統計、累加或累減生成，建立庫存量灰色預測模型，然后利用時間序列模型可以反映數據序列細節波動的優點，通過數據序列進行時序分析，建立時間序列自回歸積分移動平均模型；最后，建立基于信息熵的鐵礦粉庫存量集成預測模型，集成可以充分集合不同類型模型的優點，準確預測鐵礦粉庫存量。

1 原料場工藝及其特性分析

鋼鐵企業原料場工藝流程如圖1所示。

原料場鐵礦粉原料分為火車來料和汽車來料，也可分為國內礦粉與國外礦粉。影響各種礦粉庫存量的首要因素為來料量。原料到達原料場后經由傳送帶進行大塊篩分，篩分后用堆料機將鐵礦粉堆至一次料場，形成實際的鐵礦粉料堆，鐵礦粉料堆經過堆取料機與相關皮帶放置原料場的多個預配料倉中稱為上料，上料過程是預配料的前提。原料場存放的鐵礦粉原料一部分經過堆取料機與傳送帶直接送至高爐稱為高爐用料。經過預配料過程形成中和粉，將混合后的中和粉經傳送帶與堆取料機根據一定的規則放置二次料場稱為混勻堆料，混勻堆料環節完成后會在二次料場形成實際的中和粉料堆。在原料場物料被不斷傳送的過程中，有多種因素會引起物料庫存量的變化。

(1) 在大塊篩分環節汽車運走的大塊料不計量導致少量物料流失，使個別礦粉的實際庫存量偏低。在物料堆放至一次料場過程中由于灑料等因素會有少量的物料流失。

(2) 上料過程因天氣影響，存在傳送帶或預配料倉粘料而導致物料流失的情況。

圖1 原料場工藝流程Fig.1 Process of raw material plant

(3) 混勻堆料過程物料計算精度較高，物料流失可忽略。

(4) 物料在一次料場存放過程中消耗時間長短不同，某些物料會因堆放時間過長而導致料堆下限，使實際的庫存量偏高。

從原料場工藝可以看出：鐵礦粉庫存量受到設備、天氣等因素的干擾，且干擾因素影響庫存量的具體值較難統計，而這些干擾因素可以間接體現在庫存量的統計結果中。因此，本文采用針對結果建模的方法對庫存量進行預測，以克服眾多干擾因素對庫存量影響難于估計的局限性。

2 基于殘差修正的等維新息GM(1,1)庫存量預測模型

鐵礦粉庫存量不僅受到企業采購計劃及生產計劃的影響，且受到各種外在因素，如訂單的突然增加或減小、采購瓶頸、季節性的交通瓶頸等問題的影響，不僅具有白信息覆蓋，同時具有較大的灰信息覆蓋。

2.1 灰色系統建模思想

灰色系統的基本思想是：使系統從結構上、模型上、關系上由灰變白或增加白度，從對灰色信息的認知不多到知之較多，從而認知其中隱藏的變化規律[6]?；疑到y的思想適用于鐵礦粉庫存量預測，并且由于灰色模型對變化緩慢的序列及波動范圍有限的時間序列有良好的預測效果。由于鋼鐵企業原料場生產要求原料供應充分且準時化，外在影響因素不允許導致庫存量大范圍波動，故采用灰色模型進行預測是合適的。

2.2 庫存量預測GM(1,1)模型

取庫存量最新的6個歷史數據構成原始序列X(0)：

式中：n=6。

首先，對庫存量原始序列(0)X進行一次累加生成，得到：

然后，構造背景值序列：

采用一次累加后序列，建立灰色GM(1,1)模型的白化微分方程，即：

式中：a為發展系數，反映序列庫存量數據序列的增長速度；b為灰色作用量。

利用最小二乘估計求得估計參數列[a,b]T：

式中：

根據式(5)即可求出參數a和b值。

根據選取的庫存量原始數據序列，得到庫存量預測值為：

殘差修正灰色預測模型是將殘差預測值加到原預測值上，以補償原預測值，達到提高精度的目的[7]。原數據序列與預測數據序列之差為殘差序列：

對殘差序列建立GM(1,1)模型，解為：

式中：a′為發展系數，反映庫存量預測殘差序列的增長速度；b′為殘差預測模型灰色作用量。

將式(6)與式(10)相加得殘差修正預測模型的預測結果為：

隨著時間的推移，一些干擾因素不斷的進入系統并產生影響。為了將庫存量新的影響因素考慮進去，GM(1,1)模型將每一個新的庫存量數據送入到原始序列中，重新建立模型，即形成庫存量預測等維新息GM(1,1)模型。在加入新數據并去掉老數據后，再重復GM(1,1)的建模步驟，得到的預測公式會隨著新數據序列而發生改變，使模型更好的適應當前狀態[8]。由于GM(1,1)模型描述的是系統的一階特性，因此，對變化緩慢的序列具有較高的預測精度，適用于長期靜態預測。然而，外在影響變化較大時，或系統的高階信息對輸出的影響不能忽略時，其預測精度下降，因此，本文引入自回歸積分移動平均ARIMA模型，以描述系統的動態特性與高階特性。

3 庫存量預測ARMA模型

鐵礦粉庫存量觀測值之間有一定的依賴性和相關性，時間序列預測認為：通過分析歷史時間序列，根據時間序列所反映出來的發展過程、方向和趨勢，進行類推或延伸，可以預測下一段時間達到的水平。預測模型屬于動態模型，適合于具有動態變化規律的數據，適合做短期預測，與灰色系統理論能夠預測緩慢變化數據的特點能夠互相補充。因此，本文采用灰色預測與時間序列預測結合的方式能夠全面反映庫存量變化特點。

3.1 ARMA模型選擇

自回歸移動平均 ARMA模型是一種精度較高的時間序列短期預測模型，廣泛應用于各種類型時間序列數據的預測與分析[9]。基本思想是：某些時間序列是依賴時間t的一族隨機變量，構成該時間序列的單個序列雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規律性，可以用相應的數學模型加以描述。通過對該數學模型的分析研究，能夠更本質的認識時間序列的結構與特征，達到最小方差意義下的預測[10]。

在本文對于鐵礦粉庫存量數據進行時序分析過程中，根據原料場物料系統特點，可以從不同類型的ARMA時序模型中選擇合適的模型類型，比較典型的ARMA模型有自回歸模型AR(p)，將當前值描述為自身過去p個觀測值的線性組合；移動平均模型MA(q)，將當前值描述為過去q個時期預測誤差的線性組合；ARMA(p,q)是由AR(p)與MA(q)組合構成，以上幾類模型適合于描述平穩時間序列，而對于非平穩時間序列，只要通過適當階的差分運算就可以實現平穩[11]。差分后的模型稱為ARIMA(p,d,q)模型，其中d為差分的階數，所以，在構建庫存量預測模型時，根據庫存量數據原始序列特點，在數據分析基礎上，本文選擇ARIMA(p,d,q)類型的時序模型進行庫存量預測模型的構建。

3.2 庫存量預測ARIMA(p,d,q)模型

ARIMA(p,d,q)模型的構建首先要進行模型結構和階次的辨識。本文將鐵礦粉庫存量歷史數據作為時間序列數據，統計數據以天計算，以某鋼鐵廠單種高品位鐵礦粉庫存量預測為例進行模型的構建，取2009年10月～2010年1月的100個原始動態庫存量數據構成原始序列{xt}，首先進行 Augmented Dickey-Fuller test (ADF test,也稱ADF單位根檢驗)，判斷原始序列是否為平穩序列，否則進行差分處理，直至通過ADF單位根檢驗，此時差分階數即為ARIMA(p,d,q)模型階數，即d。驗證過程利用Eviews 5.0[12]仿真軟件包實現，具體結果如表1和表2所示。

表1和表2中，|t統計值|＜|τ臨界值|，即|t統計值|=2.80＜|τ0.05|＜|τ0.01|，很明顯原始序列沒有通過單位根檢驗；在線性回歸方程顯著性檢驗中，在一定顯著性水平下，若檢驗統計值大于臨界值，則回歸方程顯著。但是，有可能出現原假設是對的卻被拒絕的情況，即“棄真”的錯誤，在模型檢驗中，允許犯這類錯誤的概率，稱為相伴概率P。在仿真分析時，Eviews求解出“棄真”的概率P，若P小于置信度，即認為方程顯著性明顯，否則說明方程顯著性不明顯，本文將置信度設為0.05，從表1可以看出，P=0.061 5，說明方程顯著性不明顯。

通過t統計值與P值檢驗，表明數據序列{xt}為非平穩序列，要進行差分處理。

表1 ADF單位根檢驗Table 1 ADF unit root test

表2 檢驗臨界值Table 2 Check critical value

差分處理將原始序列變換為平穩序列后，要進行模型的識別和定階，即確定模型中p與q，模型的定階要通過計算樣本序列{zt}的自相關函數Autocorrelation Function (簡稱 ACF)與偏自相關函數Partial Autocorrelation Function(簡稱PACF)，自相關函數是描述隨機信號zt在任意2個不同時刻取值之間的相關程度，偏自相關函數為消除噪聲影響下，隨機信號zt是2個不同時刻取值之間的相關程度。{zt}的ACF值ρk的求解式為：

采用Eviews工具，計算結果見圖2。

圖2 差分后序列的自相關-偏自相關函數Fig.2 ACF-PACF functions of differential time series

在圖2中，Autocorrelation為自相關函數ACF，Partial Correlation為偏自相關函數PACF。根據模型差分階次及圖2中模型的ACF和PACF的滯后階數，模型可能存在多種結構，此時需要使用赤池信息量準則(Akaike Infromation criterion，簡稱AIC)和西沃茲信息準則(Schwarz Criterion，簡稱 SC)準則對模型進行比較，在統計學中，建立的多個時間序列模型中，使AIC和SC函數值達到最小的模型為相對最優模型[13]，比較結果如表3所示。

模型結構的判定準則見表 4，根據模型的判定準則與ACF和PACF的計算結果可以看出：自相關系數ACF在滯后階數為4時顯著不為0，即p=4，偏自相關函數PACF在滯后階數為1時顯著不為0，即q=1。

由表3可以看出：當p=4，d=1，q=1時，模型結果 AIC與 SC值達到最小，模型最優，根據分析結果可得出針對該種鐵礦粉庫存量數據序列可建立ARIMA(4,1,1)模型。模型結構確定后判斷模型是否適用需要進行模型的檢驗，對于ARIMA(p,d,q)模型結果的檢驗采用診斷殘差序列{εt}是否服從白噪聲分布的方法，殘差樣本序列n為100，最大滯后期可取n/10或，通過 Eviews計算樣本殘差序列的 ACF與PACF。具體結果如圖3所示。

表3 多個ARIMA模型AIC與SC比較Table 3 Comparison of AIC and SC for more ARIMA models

表4 ARMA(p,q)模型結構識別準則[14]Table 4 ARMA(p,q) model structure identification principle[14]

圖3 殘差的自相關-偏自相關函數Fig.3 ACF-PACF functions of residuals

從圖3可以看出：當滯后期小于10時，殘差序列的自相關系數都落入隨機區間，表明殘差序列是純隨機的，即殘差序列通過白噪聲檢驗。因而，對該種鐵礦粉序列建立ARIMA(4,1,1)模型是合理的，序列{zt}的最終ARIMA(4,1,1)模型為：

其中：B為時間滯后算子；εt為t時刻預測模型殘差，

式(16)經過微分轉化后，得到時間序列預測模型：

對{zt}進行一階反差分可得原始序列{xt}的時間序列模型為：

ARIMA(4,1,1)辨識出系統模型可以充分反映系統高階動態特性。但由于高階系統對于噪聲敏感，降低了模型預測精度，增加了預測模型的風險。因此，需要集成GM(1,1)模型的靜態特性和ARIMA(4,1,1)模型的動態特性，給出庫存量的最佳估計值。

4 基于信息熵的庫存量集成預測模型

集成預測的基本出發點是：承認構造真實模型的困難，將單種模型預測看作代表或包括不同的信息判斷，通過信息的集成，分散單項預測模型的特有的不確定性和減少總體的不確定性，從而提高預測模型精度。利用熵值法確定集成預測模型加權系數的基本思想是：某單一預測模型預測誤差序列的變異程度越大，其在組合預測中對應的權系數就越小[15]。

在建立庫存量預測灰色 GM(1,1)模型和ARIMA(4,1,1)模型后，采用信息熵方法實現子模型的集成，以準確預測庫存量。

基于信息熵加權的計算步驟如下：

首先，計算第i個單一預測模型在t時刻的預測相對誤差的比重pit。

其中：eit為第i個預測模型在第t時刻的預測相對誤差；n為預測樣本個數為單一模型個數，本文中m=2。

其次，計算第i個單一預測模型預測相對誤差的熵值Ei。

其中：k＞0為常數，ln為自然對數。對第i個預測模型而言，如果各個時刻所占比重相等，即2,…,n，那么，Ei取最大值，即Ei=klnn，本文取

然后，計算第i個單一預測模型預測相對誤差序列的變異程度系數di。

最后，計算各單一預測模型加權系數wi：

根據wi，集成預測模型的預測式為：

利用上述步驟，可以得到 GM(1,1)預測模型與ARIMA預測模型相對誤差的熵值為：

由式(21)與E1和E2可求得2個單一預測模型預測相對誤差序列的變異程度系數：

從而得到GM(1,1)模型與ARIMA模型的加權系數分別為：

則庫存量集成預測模型為：

5 仿真驗證及結果分析

以國內某鋼鐵企業某單種鐵礦粉2010年4月至2010年7月的庫存量歷史數據進行分析及建模，數據樣本個數為 100，分別根據上述步驟建立基于殘差的等維信息GM(1,1)模型與ARIMA模型，并根據信息熵確定模型加權系數。

本文采用曲線及指標列表的方式對預測模型結果進行驗證，評價指標分別采用：

(1) 最大誤差Emax：

(2) 均方根誤差(RMSE)：

均方根誤差放大了誤差，可以衡量不同模型之間的細微差別。

(3) 平均絕對相對誤差(MAPE)：

平均絕對相對誤差能夠反映預測的精度。

(4) 模型殘差平均值：

式中：et為預測模型在第t時刻的預測相對誤差；xt為第t時刻實際值；x?t為預測模型在第t時刻的預測值。

根據上述4種評價指標，分別對GM(1,1)模型，ARIMA模型，集成預測模型進行結果分析，具體結果如表 5，預測模型預測曲線與誤差曲線分別如圖4與5所示。

根據仿真結果可知：本文所提出的基于信息熵融合的鐵礦粉庫存量質量預測模型依據子模型誤差對各子模型輸出進行合理加權，充分融合了GM(1,1)模型的靜態特性和ARIMA(4,1,1)模型的動態特性，從而獲得了較單一模型更高的預測精度，適用于鋼鐵企業鐵礦粉原料的庫存量的精確預測。

表5 庫存量預測模型參數指標對比Table 5 Comparison of iron mine powders inventories prediction model indices

圖4 3種預測模型預測曲線Fig.4 Predicting curves of three adopted models

圖5 庫存量預測誤差曲線Fig.5 Inventories prediction error curves of three adopted models

6 結論

(1) 針對鋼鐵企業原料場庫存量預測問題，提出一種基于灰色系統理論與時間序列的集成預測方法，構建了基于信息熵的集成預測模型。

(2) 對結果數據進行建模，降低建模的復雜度。

(3) 分別利用灰色預測模型適用于長期靜態預測與ARIMA模型適用于短期動態預測的特點，結合二者優點進行集成預測。

(4) 利用信息熵方法以統計的形式確定集成模型的加權系數在理論上較為合理，并且模型仿真結果比較客觀，證明該方法的有效性。

(5) 仿真所得到的預測精度已經滿足企業對于庫存量預測精度的要求，對于能夠更加精確地預測庫存量，以制定更為合理精確的采購計劃，節約企業成本具有重大意義。

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