增強纖維復合材力學性能指標概率分布類型

吳毅彬，金國芳

(同濟大學 結構工程與防災研究所,上海，200092)

增強纖維復合材料(FRP)的力學性能指標是 FRP應用于土木工程領域中的重要參數之一。各項指標選擇的合理以及對其離散型的評價都會直接影響FRP材料工程應用的安全性與經濟性。由于鋼筋、混凝土等材料本身的離散性較小，性能較穩定，對材料概率統計分布已有一定的研究，因此已廣泛應用于設計規范中。目前關于FRP混凝土結構的可靠度研究主要是在對FRP材料概率分布假設的基礎上進行，研究表明：非正態分布簡化為正態分布帶來的可靠度計算誤差達20%～30%[1]。FRP材料概率統計分布研究和討論較少的主要原因在于一方面FRP材性受生產工藝、施工質量、測試方案、破壞形態等因素的影響較為明顯，另一方面是FRP生產廠商習慣于將這些數據視為專有，不對外公開，而這些數據又是至關重要的，數據不足可能導致假定的性能參數累積概率分布函數形式不同，這對FRP材料在土木工程中的應用有較大影響。對比已有研究中所采用的分布類型[2-11]可知：FRP材料參數的概率分布類型差異性較大，大多分布類型采用正態分布作為概率分布，這主要是基于經驗假設或是建立在鋼筋混凝土材料統計分布研究的基礎上，由于FRP材料的力學性能與土木工程中長期使用的具有明顯彈塑性受力特征的普通低碳鋼和混凝土有較大的差別，且FRP材料本身離散性較強，假設的正確性有待驗證。同時已有統計參數主要針對材料的拉伸強度，由于纖維復合材的破壞形態有脆性斷裂、層間剝離等，因此有必要對其他指標，如彈性模量、厚度等參數進行分析。在此，本文作者通過收集整理近1 000份的FRP材性試驗樣本，運用參數估計和假設檢驗方法對材料性能各指標的統計參數和概率分布進行研究，并分析各參數的相關性，在此基礎上，重新對指標標準值進行定義、計算，為進一步研究基于可靠度的FRP加固混凝土結構設計方法提供一定理論依據。

1 FRP材性試驗研究成果

纖維復合材應用于土木工程階段，國內外對材料的力學性能指標展開較多的研究[12-17]，但研究結果表明，FPR材料強度與破壞呈現離散性、多層次性、各向開性等特點，影響FRP材料的力學性能不僅與纖維布和膠結樹脂緊密相關，且受到施工工藝、工藝水平、施工環境等因素的影響，材料性能離散性較大，各指標統計參數、分布類型較鋼材等材料復雜。

本文所選用FRP材料性能測試數據均為根據國內外標準試驗方法所進行的試驗，部分試驗數據由于試驗條件如試驗環境、儀器等的不同雖存在一定測試偏差，但對影響試驗結果的主要條件上基本保持一致性。收集到的國內外近 1 000份的 FRP材性試驗樣本見表1。

由各指標的統計描述(表1)可知：各組樣本的性能指標變化幅度較大，個別數組中最大值為最小值的 2倍多。材料極限抗拉強度隨材料體系的不同有明顯變化，且與黏貼層數并非呈正比關系，層數越多，片材的拉伸強度反而降低。極限抗拉強度變異系數在0.03～0.23范圍浮動。彈性模量對不同材料與層數也呈現出較大差異，彈性模量隨著層數增加略有增長，變異系數在 0.03～0.28范圍內。試件厚度為平均厚度，厚度小于單層厚度與層數的乘積，表明多層粘貼時存在明顯壓縮現象，厚度變異系數為0.03～0.13。

由上述3個指標的統計描述可看出：纖維復合材料，特別是現場濕貼型FRP，受纖維布本身質量、樹脂性能、周邊環境及施工條件等因素的影響很大，因此，在設計階段應考慮FRP材料的不確定因素，以保證工程安全可靠。

2 概率分布模型與參數估計

Normal分布、Lognormal分布、二參數 Weibull分布和Gamma分布4種分布類型常用于工程中，且較適合于材料模型。每一種分布均可采用概率分布函數(PDF)與累積概率分布函數(CDF)進行描述。

(1) Normal分布

式中：均值-∞＜x，μ＜+∞；標準差σ＞0。

(2) Lognormal分布

式中：均值-∞＜μ＜+∞；標準差σ＞0；x＞0。

(3) 二參數Weibull分布

式中：β為形狀系數；η為比例系數；η，β＞0；x≥0。

(4) Gamma分布

式中：α為形狀系數；β為比例系數；α，β＞0；x≥0。

累積概率分布可由函數CDF圖進行描述，A1和D1組極限抗拉強度CDF圖如圖1所示。由圖1可知：4種分布類型均可適用于該數組，因此由CDF圖無法直觀選擇最合適的類型分布，其他數組也存在類似情況。

表1 FRP材料力學性能試驗樣本與參數統計Table 1 FRP data sets and descriptive statistics for mechanical property

圖1 A1和D1組極限抗拉強度累積概率分布圖Fig.1 Plot of CDF for set A1 and D1 tensile strength

3 參數分布類型擬合優度檢驗

本文采用 3種擬合優度檢驗方法，χ2檢驗(Chi-Square)、K-S檢驗(Kolmogorov-Smirnov)和 A-D檢驗(Anderson-Darling)對試驗樣本進行統計分析。由于不同分布類型對不同檢驗方法的接受標準不同，為了對比不同分布類型的擬合程度，以在同一顯著性水平α檢驗數組接受或拒絕檢驗的程度來衡量分布類型的擬合程度，χ2檢驗和K-S檢驗采用顯著性水平α=0.1進行檢驗；A-D檢驗采用α=0.25進行檢驗。

3.1 極限抗拉強度指標檢驗

由χ2檢驗結果如表2所示。由表2可知：各數組對4種分布類型均可接受檢驗，但從測試參數χq2看，數值越小表示分布類型接受檢驗的程度越高。表2中黑體為該數組的最優分布類型，可見各組的最優分布類型一致性不強，這主要是由于χ2檢驗將數值進行分組，容易導致差異較大值被忽略，而使假設通過檢驗。但從總體上看 Weibull分布較其他分布更具適用性。K-S檢驗與A-D檢驗結果也列于表2。由表2可知：Weibull分布在顯著性水平下檢驗接受程度高于其他類型分布。雖然 Weibull分布并非完全適用于所有數組，但與其他分布類型相比，Weibull分布的擬合效果最好，且在航空、航天工業中纖維復合材也已廣泛采用Weibull概率分布。因此，選取Weibull分布為材料極限抗拉強度的概率分布類型。

表2 極限抗拉強度擬合優度檢驗結果Table 2 Goodness of fit test result for tensile strength

3.2 彈性模量指標檢驗

χ2檢驗結果表明：Weibull分布與Lognormal分布對彈性模量參數的擬合程度較好；K-S檢驗表明：Weibull分布的接受程度較Lognormal分布高；而A-D檢驗表明：Weibull分布與Gamma分布較優。因此綜合3種檢驗方法結果，建議選取Weibull分布為材料彈性模量的概率分布類型。

3.3 厚度指標檢驗

χ2檢驗、K-S檢驗及A-D檢驗對材料厚度檢驗結果均表明：Lognormal分布的接受程度優于其他分布類型，因此選取Lognormal分布為材料厚度的概率分布類型。

3.4 參數相關性分析

已有研究[2]中均視材料參數為相互獨立變量，然而若各參數間存在相關性，則會對可靠度分析產生影響。以ρ表示各參數之間的相關程度，當|ρ|＜0.2時，視各參數間不相關；當|ρ|＞0.8時，視各參數間完全相關。經參數相關性分析可知：極限抗拉強度、彈性模量和厚度3個參數間呈現一定的弱相關性，相關系數在不同數組間變異性較大。極限抗拉強度與厚度、彈性模量與厚度呈負相關性，這是由于材料強度、彈模與應力相對應，厚度減小，材料橫截面積減小，在恒定拉力作用下，應力增大。因此，高強度、高彈模與較薄厚度相對應。同時，負相關性與廠商也有一定關系，越薄的材料代表制造水平越高，材料性能越好。

4 基于Weibull分布的強度標準值

4.1 已有FRP強度標準值

材料強度標準值的選取是進行設計分析的基礎，一般要求對至少20個樣本統計分析，并考慮環境、工藝、測試方法等因素，取概率分布某一分位值計算確定強度標準值，其計算表達式如下：

式中：xk為強度標準值；μk為樣本均值；σk為樣本標準差；n為常數。不同規范對常數n有不同。由于Weibull分布更合適描述拉伸強度指標，因此本文重新定義拉伸強度標準值。

4.2 標準值定義

Weibull概率密度函數中尺度參數η、形狀參數β與樣本均值μ和變異系數Ck有關。

采用式(7)和(8)計算參數η和β時，未考慮樣本數量限制而使參數η和β產生統計不確定性。因此本文采用最大似然數估計方法，對服從Weibul概率分布的η和β進行估計。假設樣本個數為n，其中x1，x2，…，xn是Weibull概率分布的觀察值，Weibull分布中參數η和β未知，Weibull分布似然函數為：

根據式(9)，采用Matlab編程計算參數η，β的估計量。由η，β估計量，根據分位值p確定拉伸強度標準值，本文按照可靠度統一理論取p=5%分位值，即P[X＜xp]=p，拉伸強度標準值xp為：

4.3 材料標準值計算與對比分析

根據上述推導分析，現以 A1數組為例計算拉伸強度標準值，已知A1組試樣個數n＝100；β=10.81；η=4 121；假設置信水平r＝0.95；p為5%分位值，則由此可得：x0.05為3.131 GPa。

將計算得到各組樣本的等效 Weibull分布拉伸強度標準值與3個規范[18-20]的規范值進行對比，結果如表 3所示，其中，Pd為標準值與規范值的對比度，Pd=[(xp-xk)/xk]×100%。由表3可知，在相同分位值下，等效 Weibull分布材料標準值較各規范建議值偏于安全。由于規范建議值并非基于驗證的概率分布，且系數的選取基本是以混凝土或鋼筋的統計分析為基礎，因此采用經驗證的 Weibull分布及得到的標準值較規范取值具有較高的可靠性及適用性，同時也可為進一步研究基于可靠度的FRP加固混凝土結構設計方法提供一定理論依據。

表3 等效Weibull分布拉伸強度標準值與規范值對比Table 3 Comparision of equivalent weibull characteristic values to current guideline characteristic values

5 結論

(1) 材料極限抗拉強度與彈性模量近似服從二參數Weibull分布；厚度近似服從對數正態分布。

(2) 3個指標間呈現一定的弱相關性，相關系數在不同數組間變異性較大。極限抗拉強度與厚度、彈性模量與厚度呈負相關性。

(3) 通過相同分位值下等效 Weibull分布拉伸強度標準值與現行規范取值的對比分析可知，現行規范對FRP拉伸強度標準值取值差異較大，而采用經驗證的Weibull分布函數計算公式可較好估計材性標準值，計算結果較規范取值更為合理、安全。

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