高飽和度土的一維連續方程及其固結分析

徐浩峰，謝康和

(1.浙江大學 軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，杭州310027；2.浙江大學寧波理工學院，浙江 寧波315100)

通常認為水面(或地下水位)以下的土是飽和土。而實際上水面下的天然土往往含有氣泡，并不一定完全飽和；比如湖海底的沉積土以及泥炭土等中可能含有甲烷等有機氣體形成的大小氣泡[1]，另外對某地區軟土的勘察，百余項地質勘察報告均顯示軟土的飽和度并非100%，一般大于94%[2]。雖然如此，工程上往往按飽和土來處理的[3]。但是這類高飽和度土的固結壓縮特性與完全飽和土的固結特性是有差異的，比如存在明顯的瞬時沉降變形[4－5]。這是因為其前提假設相對于完全飽和土發生了一些變化，比如孔隙流體的壓縮性已經不可以忽略。因此對高飽和度土的連續方程和固結方程應重新給予考慮和梳理。

對于飽和土的連續性問題，體積守恒等式是適用的；但當土體是三相體時，體積的守恒式就顯得復雜。如對高飽和度土的連續性描述為：在不排水條件下，高飽和度土排出的水氣混合物量等于土骨架的壓縮量與水氣混合物的回彈量之和[6]；將水和氣看成混合的可壓縮流體，提出混合流體的連續性為單位土體體積的壓縮量等于排出的流體體積與殘存流體壓縮量之和[7]；土體單元中滲流出的水體積等于孔隙中水體積的變化量[8]等。

可見，對于高飽和度土的體積守恒式從不同的角度有不同的表述方式，這在理解上是困難的。有必要以新的思路來建立連續性方程。對于非飽和土的連續方程，若按體積守恒，建立的困難主要在于氣相體積的變化難以把握[9]。不過，如果從質量守恒的角度，則可以避免氣相給連續性問題所帶來的麻煩，因為氣體質量的變化在一般情況下是可以忽略的。

為此，擬建立了一個可變體積的微六面體元，使該微六面體元中的土粒質量不隨運動過程而變化，推導出非飽和土體的連續方程。在這個連續方程的基礎上，假設有效應力原理仍適用于高飽和度土，引入與太沙基一維固結相類似的假設，建立起了一維固結方程，隨后分析討論了其固結特性。

1 一維連續方程

如圖1，取一微六面體元，令土粒質量不隨運動過程而變化，于是經體元面遷移的質量僅是混合流體的質量。設孔隙水的密度為ρw，滲流速度為vw；孔隙中氣體的密度為ρa，流動速度(與滲流速度類似，也指的是相對于整個截面的假想流速)為va。那么，在z軸方向上，單位時間內流入的質量為(ρwvw＋ρava)dxdy，流出的質量為

這里，在z軸方向上的上下邊界可能是變動的，即控制體為可變體積，要求速度是相對于邊界面的相對速度。上式即為泰勒展開式，當dz為小量的時候才成立。

對于體元內質量的變化，設t時刻該點土體密度為ρ(x，y，z，t)。于是，t時刻體元內質量為ρdxdydz，則單位時間體元內的質量增加為(在壓縮過程中dz將隨時間發生變化)

根據質量守恒定律，體元內質量的增加等于流入體元的總質量，等式兩邊消去dxdydz，整理得

由微元體體積dV＝(1＋e)dVs，則?dV＝?edVs，又有dV＝dxdydz及?dV＝dxdy·?dz，所以：

于是，將上式代入式(1)，可得

式中，e為土體孔隙比。

圖1 通過可變微六面體元的一維混合流體滲流

若土體顆粒和孔隙水不可壓縮，并忽略氣體質量，令Sr為土體飽和度，ds為土粒比重，由ρ＝ρw(ds＋Sre)／(1＋e)可得

若水氣不相互轉化或轉化很少(此處假設為等溫過程)，可忽略排出氣體的質量，則

假設孔隙水滲流服從Darcy定律，于是

式中uw為孔隙水壓力，k為非飽和土中孔隙水的滲透系數。假定k不隨深度變化，上式兩邊對z求導，將式(4)、式(5)和式(7)，代入式(3)得

上式即為忽略氣體質量、水流服從Darcy定律的非飽和土體一維連續方程。

2 一維固結方程

2.1 高飽和度土的有效應力公式

嚴格地說，太沙基有效應力原理僅適用于完全飽和土，因為只有此時孔隙水壓力才是一個“中性應力”。而研究非飽和土體，一般采用Bishop于20世紀50年代末提出的試探性的非飽和土有效應力表達式：

對于氣相以微小的封閉氣泡形式而存在的高飽和度土來說，包承綱[10]指出此時土中基質吸力很小，并且幾乎不隨飽和度變化。因此，他建議可以將高飽和度土看成具有可壓縮性流體的兩相土，吸力的作用也可以忽略。限定于以挾氣水形式排出而固結的高飽和度土，可被視為是被可壓縮流體所飽和的“飽和土”，其有效應力公式可采取如下形式[6、11]：

式中，uaw為孔隙混合流體壓力。當氣泡可以隨孔隙水一起流動時，孔隙混合流體壓力可取孔隙水壓力[12]，即uaw＝uw。對此證明如下：設氣泡呈球形，則在土體內作一截面，如圖2所示。

圖2 高飽和度土中一點的截面各相組成及應力

設截面中有n個氣泡，所截某一氣泡(球半徑為Ri)的面積為Aai(圓半徑為ri)，氣泡內氣壓為uai。對其中任意一個氣泡，分析與孔隙水壓的關系，表面張力的作用如圖3所示(T為表面張力系數)。

圖3 氣泡所截半徑及表面張力的作用

圖中可見，ri＝Risinθi。又因為

所以

由上式可見，懸浮于孔隙水中的氣泡，對混合流體的表觀壓力沒有影響。

對于氣相以大氣泡的形式而存在的高飽和度土來說，情況是復雜的[13]。

2.2 一維固結方程的推導

由土體體積的變化量dV與土體有效應力關系dV＝－mvV?σ′，有

混合流體體積Vv的變化量與其壓力的關系為dVv＝－lvVv?uw。設孔隙水不可壓縮，Vw保持不變：

由式(11)和式(12)，并結合有效應力公式，代入式(8)，可得

若總應力σ不隨時間變化，則式(13)可整理為

式中，n為土體孔隙率，n＝e／(1＋e)；mv、lv分別為土體和混合流體的體積壓縮系數。

上式即為高飽和度土的一維固結方程。當飽和度Sr＝100%時，混合流體即為孔隙水，其體積壓縮系數lv＝0。于是，上式即可退化為太沙基的一維固結方程。上式亦可記為：

式中，C′v＝k／[γwSr(mv＋nlv)]，即為高飽和度土的固結系數。

2.3 固結方程的求解

取分析土層如圖4所示。均質高飽和度淤泥質粘土地基厚度為2H，雙面透水。假定：1)外部荷載是一次瞬時施加的；2)固結過程中滲透系數、土體和混合流體的體積壓縮系數以及飽和度均為常數(對于非飽和土，在壓縮固結過程中飽和度是會變化的，正如土體的滲透系數和土體的壓縮系數都會發生改變一樣。假設飽和度為常數也為Conte等[14]所采用)。于是，邊界條件為：z＝0，uw＝0(t＞0)以及z＝2H，uw＝0(t＞0)。

圖4 一維均質土層固結模型

對于初始條件，分析高飽和度土的壓縮固結過程：假設在加壓瞬時，混合流體來不及排出，荷載將由混合流體和土骨架共同承擔，兩者發生相同的壓縮量。設一土體體積V＝Sh(S為截面積，h為厚度)。在加壓瞬時產生壓縮變形Δhis，則體積壓縮量為SΔhis。按土體計算的體積壓縮量ΔV1＝mvVΔσ′，按孔隙流體計算的體積壓縮量ΔV2＝lvnVΔuw。因為ΔV1＝ΔV2＝SΔhis。又由p＝Δσ＝Δσ′＋Δuw，可解得加載瞬時孔隙混合流體的壓力增量。于是初始條件為：

由初始條件和邊界條件，解式(15)得到任意時刻，任意深度的孔隙水壓力的表示式為：

式中，M＝ (2m－1)π／2，時間因子T′v＝C′vt／H2。

任意時刻、任意深度的土體有效應力表示式：

任意時刻地基的沉降為：

任意時刻的地基土層平均固結度U為任意時刻地基沉降Sct與最終總變形量之比：

2.4 參數的確定

固結方程式中的土體體積壓縮系數mv可由一維壓縮試驗得到。混合流體的體積壓縮系數lv可由下式計算得到：

混合流體體積壓縮系數也可由下式估算[15]：

式中，ua為氣泡絕對壓強。

對滲透系數k，取與飽和度的三次方成正比[16]，有下式：

式中，kw為飽和土孔隙水的滲透系數。

3 算例分析及其討論

土體孔隙率n＝0.50，Sr＝95%，滲透系數k＝1.10×10－10m／s；土體體積壓縮系數mv＝4.40×10－4kPa－1，孔隙流體壓縮系數lv＝0.96×10－4kPa－1。則mv／(mv＋nlv)＝90.2% ，則由式(17)，可得孔隙水壓隨時間和沿深度的變化曲線，并與飽和情形時相比較，分別如圖5和6所示。

圖5 不同深度的孔隙水壓消散曲線及與飽和土的比較

圖6 不同時刻的孔隙水壓隨深度分布曲線與飽和土的比較

從圖5可見，高飽和度土的初始超靜孔隙水壓力z／H＝0.7處和z／H＝1.0處都相同uw／p＝0.902，小于飽和土時的比值(飽和土的uw／p＝1.0)；離排水面較近的z／H＝0.7處的超靜孔隙水壓，先于離排水面較遠的z／H＝1.0處開始消散；當時間因子較大時，飽和土、高飽和度土不同位置處的超靜孔壓都差別越來越小。在圖6中也可以看到，同一時間因子，沿深度分布的超孔隙水壓力，高飽和度土的都小于飽和土；另外，其差值也不斷縮小，在z／H＝1.0處，時間因子Tv＝0.1時，其差值為0.09，時間因子Tv＝0.5時，其差值為0.04。

由式(20)，作固結度與時間因子的關系曲線，如圖7所示。可見，高飽和度在瞬時就有9.8%的固結度；但是，隨著時間的發展，與飽和土的固結度差別越來越小：當時間因子Tv＝0.1時，其差值為6.30%；時間因子Tv＝1.0時，其差值為0.67%。

圖7 固結度隨時間的發展與飽和土的比較

于是，對于高飽和度土，可以認為當時間因子Tv＝1.0時固結完成。那么結合式(23)，高飽和度土所需時間t′與相應飽和土t之比：

本例中，計算得t′／t＝1.23。由式(24)，作固結完成時間比與飽和度、土體壓縮性的關系曲線，如圖8所示。其中，高壓縮性土的壓縮系數即為上述數值；中等壓縮性土的壓縮系數取1.0×10－4kPa－1；低壓縮性土的壓縮系數取4.40×10－5kPa－1。

圖8 飽和度與固結完成時間比的關系曲線

由上圖可見，飽和度越小，固結完成時間比差別越大，近似呈線性的關系。當飽和度為100%時，固結完成時間比即為1；還可以看到土體的壓縮性越小，固結完成時間比差別越大。

4 結 論

從質量守恒的角度出發，避免了非飽和土中氣相體積難以確定的困難，建立了土體的一維連續方程，推導了高飽和度土的一維固結方程，求解并分析了固結壓縮特點。得到的結論如下：

1)從質量守恒的角度分析，可有效地化解建立非飽和土連續性條件的困難。

2)高飽和度土可視為具有可壓縮流體的“飽和土”，不過固結系數不同。

3)高飽和度土的固結壓縮特點：瞬時超靜孔隙水壓小于所施加的荷載；從固結度與時間因子的關系曲線上看，雖然前期與飽和土比較時差別較大，但是隨后的固結度差距減小，當時間因子為1.0，也可認為固結完成；飽和度越小，土體壓縮性越小，高飽和度土的固結完成所需時間與相應飽和土的之比就越大。

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