淺談小波分析教學(xué)

◆丁 杰

(揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院)

淺談小波分析教學(xué)

◆丁 杰

(揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院)

本文介紹了如何利用學(xué)科發(fā)展的線索串聯(lián)起教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐掌握抽象理論的實(shí)質(zhì)，并結(jié)合了教學(xué)實(shí)際講授學(xué)科的最新發(fā)展，拓展了學(xué)生的眼界和知識(shí)面。

小波分析 教學(xué)內(nèi)容 學(xué)科發(fā)展

一、引言

小波作為信號(hào)處理的強(qiáng)有力的工具已經(jīng)在圖像處理、語(yǔ)音處理、時(shí)頻分析、故障診斷、金融分析、模式識(shí)別等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。JPEG2000就采用了小波變換作為圖像壓縮的標(biāo)準(zhǔn)。在很多高校，小波分析已是數(shù)學(xué)學(xué)科和信息學(xué)科的研究生的必修課和高年級(jí)本科生的選修課程。筆者在揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院也多次講授了這門課程。選課對(duì)象是以信息與信號(hào)處理專業(yè)為主的碩士研究生和部分高年級(jí)本科生。鑒于選課學(xué)生并沒有學(xué)過(guò)課程所涉及到的調(diào)和分析和泛函分析等較深的數(shù)學(xué)知識(shí)，甚至對(duì)Fourier分析也缺乏較深入的了解，筆者不得不從Fourier分析的內(nèi)容開始講授。因此筆者所講授的這門課程涵蓋了從Fourier分析到小波分析的基本內(nèi)容。

二、以時(shí)頻局部化分析為中心任務(wù)，利用學(xué)科發(fā)展線索串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容

考慮到學(xué)生起點(diǎn)較低的實(shí)際狀況，我們緊緊圍繞時(shí)頻局部化這一中心任務(wù)，依次介紹Fourier變換、加窗Fourier變換、加伸縮窗的Fourier變換、小波變換的基礎(chǔ)知識(shí)。按照這條線索串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容不僅順應(yīng)了學(xué)科的自我發(fā)展規(guī)律，而且由淺入深、從低到高的知識(shí)階梯讓學(xué)生容易掌握。在這條線索中，把加伸縮窗的Fourier變換中的頻率部分eiξ去掉，就自然引出了小波變換。也即僅依靠伸縮率和時(shí)間變量也能夠分解和重構(gòu)一個(gè)信號(hào)，這就是小波變換。因?yàn)槿∠司哂蓄l率或者周期性的指數(shù)函數(shù)eiξ，小波變換要求“窗函數(shù)”(在小波變換中稱為小波函數(shù))具有某種震蕩性。跟周期性相比，震蕩性顯然要來(lái)得更寬松。如果采用一般教科書上直接給出小波變換的定義的方法，而缺乏學(xué)科發(fā)展背景的鋪墊的話，學(xué)生不容易掌握其實(shí)質(zhì)且無(wú)法從總整體上把握小波變換在學(xué)科發(fā)展中的作用和地位。

信號(hào)處理學(xué)科中最重要的主題是時(shí)頻局部化的研究。時(shí)頻局部化的研究也推動(dòng)著這門學(xué)科的發(fā)展。Fourier分析只能分別處理時(shí)域或者頻域而不能二者兼顧;加窗Fourier變換能夠同時(shí)對(duì)時(shí)域和頻域進(jìn)行分析，但因窗函數(shù)的類型是固定的，分析的精度或分辨率因而不能隨意調(diào)整;對(duì)于伸縮窗而言，則可以通過(guò)調(diào)整伸縮率來(lái)調(diào)整時(shí)域或者頻域的分析精度。剛才已經(jīng)提到，小波變換只用伸縮率和時(shí)間變量就可以同時(shí)做時(shí)域和頻域的分析，而且時(shí)域與頻域的分辨率或者精度可以通過(guò)伸縮率的變化而得到調(diào)整。這就是小波變換的精妙之處。學(xué)生如果了知這一點(diǎn)，就可以掌握小波變換以及Fourier變換的精髓了。當(dāng)然，在小波變換中伸縮率通常叫做尺度，頻域也被尺度域取代。但是頻率和尺度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是很明確的，因而我們可以做這樣的對(duì)比。

這些變換都有類似的的基本性質(zhì)，比如各種變換的反演公式、Parseval恒等式和不確定原理等。盡管這些性質(zhì)在不同的變換下有著不同的表現(xiàn)形式，但是表達(dá)的內(nèi)容卻是固定的。比如，Parseval恒等式告訴我們信號(hào)的能量是守恒的，即從頻域的角度和從時(shí)域的角度去計(jì)算能量都是相等的;不確定性原理則告訴我們時(shí)域和頻域的分析精度不可能同時(shí)得到無(wú)限提高。這樣的教學(xué)有利于學(xué)生透過(guò)外在的不同形式去掌握這些原理和性質(zhì)的本質(zhì)內(nèi)容，整個(gè)教學(xué)過(guò)程也因此可以串聯(lián)成一個(gè)整體。

三、結(jié)合實(shí)例和應(yīng)用，介紹多分辨分析等小波分析的核心內(nèi)容

多分辨分析是小波分析的精髓，也是學(xué)生難以掌握的內(nèi)容。在多分辨分析理論提出之前，有著五花八門的小波基的構(gòu)造方法。最終由Mayer和Mallat提出了多分辨分析，統(tǒng)一了各個(gè)流派的構(gòu)造方法。因?yàn)榫哂幸欢ㄕ齽t性的小波基，一定可以通過(guò)多分辨分析理論構(gòu)造出來(lái)。我們有意避開小波基構(gòu)造的各種這些支流理論而直接講授多分辨分析。

我們結(jié)合應(yīng)用來(lái)講授比較抽象的多分辨分析理論。讓學(xué)生從直觀實(shí)例入手，在實(shí)踐中理解和把握多分辨分析的核心內(nèi)容，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。比如，我們可以用Harr小波對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行逼近和壓縮。逼近的程度或壓縮比的大小可以通過(guò)調(diào)節(jié)Haar函數(shù)的尺度來(lái)實(shí)現(xiàn)。這些不同尺度的Harr函數(shù)很自然地引出由Harr小波生成的多分辨分析。同時(shí)，由Harr分解和重構(gòu)算法也很自然地過(guò)渡到一般的多分辨分析的分解和重構(gòu)算法。我們這部分的教學(xué)思路受到了教材的啟發(fā)。

多分辨分析理論在二維圖像處理中有著重要的應(yīng)用。我們利用Matlab的小波工具箱的使用手冊(cè)以及演示模塊，教導(dǎo)學(xué)生開展圖像壓縮的實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力，也使得對(duì)多分辨分析等小波理論有了進(jìn)一步的體驗(yàn)和理解。

四、拓展學(xué)生知識(shí)面，介紹學(xué)科最新進(jìn)展

在教學(xué)中，我們不僅注重經(jīng)典內(nèi)容的講授，還對(duì)所涉及到的本學(xué)科的最新進(jìn)展做一定程度的介紹。比如，我們從講解小波系數(shù)為什么具有稀疏性入手，繼而延伸介紹了最近發(fā)展起來(lái)的稀疏重構(gòu)技術(shù)。該技術(shù)通過(guò)對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行觀測(cè)而非采樣，只需少量觀測(cè)點(diǎn)就能精確的重構(gòu)原始信號(hào)。其觀測(cè)頻率可以遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率。這種技術(shù)也稱之為壓縮感知或壓縮采樣，是近年來(lái)國(guó)際上迅速興起的熱門研究方向。這樣的安排既深化了教學(xué)內(nèi)容，也拓展了學(xué)生的知識(shí)面，吸引了他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。

五、小結(jié)

本文介紹了作者在小波分析課程教學(xué)方面的一些體會(huì):注重學(xué)科發(fā)展的線索，利用理論線索串聯(lián)教學(xué)內(nèi)容，使之具有整體性和內(nèi)在連續(xù)性;讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐掌握抽象理論的實(shí)質(zhì)，提高動(dòng)手能力，深化對(duì)所學(xué)內(nèi)容的體驗(yàn)和理解;結(jié)合教學(xué)實(shí)際講授學(xué)科的最新發(fā)展，拓寬學(xué)生的眼界和知識(shí)面。受篇幅所限，我們還有一些教學(xué)體會(huì)如利用時(shí)頻對(duì)偶的觀點(diǎn)看待各個(gè)變換的基本性質(zhì)等并未得到展開。

[1]A.Boggess and F.J.Narcowich，A first course in Wavelets with Fourier Analysis Prentice Hall，2001.

[2]S.Mallat，A Wavelet Tour of Signal Processing(third edition)，Elsevier Inc.2009.

[3]Wavelet Toolbox User’s Guide，The MathWorks，Inc.2002.