哥德爾的辯證思維與不完全性定理證明

林世芳

(福建醫科大學人文學院，福州 350008)

哥德爾的辯證思維與不完全性定理證明

林世芳

(福建醫科大學人文學院，福州 350008)

通過對哥德爾不完全性定理的證明語境和證明思維過程進行分析，可以從四個方面揭示出哥德爾思維方式的辯證性。這四個方面分別是:概念的相互隸屬、問題的嬗變、系統與系統的同構轉換以及悖論結構的轉換和利用。

哥德爾;不完全性定理;辯證思維

辯證思維方式是從聯系、運動、變化和發展的觀點來理解和把握事物及其概念的，它反對孤立、片面、靜止和形而上學的觀點。恩格斯指出:“辯證邏輯和舊的單純形式的邏輯相反，不像后者那樣只滿足于把思維運動的各種形式，即各種不同的判斷形式和推理形式列舉出來并且毫無聯系地并列起來。相反地，辯證邏輯由此及彼地推導出這些形式，不把它們并列起來，而使它們互相從屬，從低級形式發展出高級形式?！保?］數學中的概念與命題是相互聯系的，這種相互聯系是具體的、抽象的，也是深刻的，并不能輕易地被發現，需要發現者非凡的想象力和邏輯推理能力。邏輯學家柯琴是這樣評價哥德爾不完全性定理的證明的:“這個證明的兩面性也反映出哥德爾頭腦里某些本質性的東西，狂野的想象力同單調的循規蹈矩結合在一起。”每一個證明都有特定的邏輯結構，該結構是一個相互聯系的系統。杰出的瑞士學者皮亞杰在《結構主義》一書中將結構的整體性、轉換和自身調節性緊密聯系在一起。他認為各種結構都有自己的整體性，結構是可以形式化的，然而一項起結構作用的活動，只能包含在一個轉換體系里面進行，“結構最重要的是要成為一個若干轉換的體系，不是某個靜止的形式，而運算推理是起自我調節作用的?！保?］通過對哥德爾不完全性定理證明的分析，我們可以看到哥德爾具有非凡的數學能力和哲學的辯證思維素養，這使他總能創造性地發現數學結構之間的相互聯系和相互隸屬的關系，并成功進行系統間、關系間、概念間以及問題之間的轉換與化歸。

一、概念的相互隸屬

數學概念是從事數學思維的工具，概念構架是數學理解的工具，是數學家用以對他所探索的世界做出理解的方法。恩格斯指出，辯證思維是“以概念本身的本性的研究為前提”［1］的。辯證思維方式不是從概念和符號的絕對對立中去思維，而是承認概念的內在矛盾性，概念之間的矛盾和關系的多層次性，從對立、差異特殊性、多樣性即在對立統一中去思維。恩格斯指出:“所有的兩極對立，都以對立的兩極的相互作用為條件;這兩極的分離和對立，只存在于它們的相互依存和聯結之中，反過來說，它們的聯結，只存在于它們的分離之中，它們的相互依存，只存在于它們的對立之中。”［1］

概念的辯證本質表現在概念的相互依賴、對立與統一，一個概念向另一個概念的轉化，概念的永恒運動、更換。對概念的關系的準確把握是邏輯的主要內容。哥德爾對哲學與概念思辨的興趣使哥德爾從早期對數論的關注轉向邏輯?！斑壿嫷奈芸炀妥兊脧姸辛?，這既是因為邏輯對哲學整體有明顯的重要性，又是因為它承諾給出富有哲學意義的精確的概念性結果?！保?］哥德爾不完全性定理的證明導源于哥德爾對形式系統的相容性與完備性這兩個概念與概念間的相互關系的辯證思考。相容性是指:一個系統中不存在一個命題與這個命題的否定在系統內都可證。完備性是指:一個系統中的所有的真命題在這個系統中都是可證的定理。有了完備性才能保證系統的所有命題不是可證的就是可反駁(否證)的，這就意味著這個形式系統對數學理論作了完全的刻畫。只有既有無矛盾性又有完備性的理論體系“在理論上看”才是完美的。希爾伯特計劃就是想通過有限主義的元數學方法分別證明形式系統的無矛盾性和完備性。這個計劃把無矛盾性和完備性分開進行考察并預設了一個前提:即無矛盾性和完備性是可以兼得的。而哥德爾則反之，他摒棄了單極的思考方式，對無矛盾性與完備性相互隸屬地進行思考，從而得出無矛盾性與完備性不可兼得的結論。這是一個非凡的轉換和創新，可以說沒有這種思路的根本轉換就沒有哥德爾不完全性定理的證明。

哥德爾洞悉了相容性與完備性矛盾。不相容的或者說有矛盾的形式系統一定是完全的，因為由一對矛盾命題能推導出任何命題來。只有已證明為無矛盾的系統才需要完全性的證明。這是對完備性與無矛盾性相互隸屬的初步考察。進一步的思考可以發現從邏輯上來說以下的兩種情況是對等的:由相容性推出完備性即兩可和由相容性推出不完備性即兩不可。哥德爾的助探原理，即對高度超窮的客觀數學真理概念同可證性概念的相互對立性的洞察，使他能夠在證明前肯定第二條道路的可行性和正確性。哥德爾說:“那時人們廣泛認為，數學中的非有窮主義的推理，只是在能夠靠有窮主義元數學來‘解釋’或‘核正’的限度內，才有意義。(按:由于我的結果及爾后的工作才發覺這大抵不可能)這種見解幾乎不可避免地要把非有窮主義推理從元數學中排除掉。……況且容許‘無意義’的超窮成分進入元數學，與這門科學當時盛行的概念本身并不一致。因為，按照這個概念，元數學是數學里唯一有意義的部分，要經過它，(本身無意義的)數學符號才獲得意義的某種替代物，即使用規則。當然，這種觀點的本質是擯棄一切種類的抽象和無窮客體，數學符號的樸實意義則是其實例。也就是說，按這種觀點，意義僅僅屬于談論符號組合這類具體和有窮客體的命題。”“應當指出，我在數學形式系統中構造不可判定的數論命題的助探原理是‘高度超窮’的客觀數學真理概念”［4］。形式主義者把真等同于可證，哥德爾則運用概念辯證法，能夠對概念的精確意義進行思考，從而把握內容與形式、真理和可證的相互區別和聯系。“人們在理性思維上總是習慣于希望通過邏輯推理來證明一切，豈知某些具有‘無限性’飛躍結構的概念系統往往越出有限邏輯推理判斷的范圍之外。因此，如果懂得概念思維的辯證法，也就能夠較自覺地去識別并避免徒勞無功的嘗試了?！保?］正是對數學真理概念和可證性概念的對立統一性以及對相容性與完備性概念間相互隸屬關系的辯證思考，使哥德爾成功地構造出了真卻不可判定的命題。這是完成不完全性定理證明思想的首要條件。

二、問題的嬗變

辯證思維方式擅于把握事物之間的相互聯系和相互轉換，始終根據情境的運動變化來改變問題的思考路徑，從而尋找問題的突破口。問題的嬗變即進行問題間的轉換是哥德爾辯證思維方式的重要表現。1928年9月3日，在波倫亞舉行的國際數學會上，希爾伯特發表演說“數學基礎問題”。在演說中他列出了四個尚未解決的問題。其中第一個問題就是分析的基本部分(或二階函項演算)的(有窮主義)協調性證明。哥德爾證明不完全性定理是從考慮數學分析的協調性問題開始的。他認為，希爾伯特想直接證明分析的協調性是不可思議的，應該把困難分解成幾個部分，以便使每一個問題都容易克服。這樣他把證明一分為二，先證明數論的協調性，然后再用數論來證明分析的協調性。把直接相容性的證明轉換為相對相容性的證明，這是一個成功的轉化。隨后，哥德爾又決定從比較容易的算術系統的協調性入手。哥德爾的不完性定理就是在證明數論的協調性問題中得出的。再后，哥德爾迅速覺察數論真理與可證性的不同，這點無論數論取如何完善的形式公理系統都成立，這樣哥德爾領悟了相容性與完備性的不可兼得，轉而構造不可判定命題。為此王浩指出:哥德爾不完全性定理的發現過程是一個“問題嬗變”的過程。這一連串問題的嬗變過程共可以分為五步。一是哥德爾把用有窮主義方法證明分析的一致性問題一分為二。二是他決意先攻打較為明確的相對一致性問題。三是他注意到數論中的真理在數論中不能定義。四是從真實性轉而考慮(形式)可證性，他找到了不可判定命題。最后，他明白了一致性陳述本身也是不可判定的［4］。

三、系統與系統的同構轉換

辯證思維方式的一個重要的特點就是系統性。系統性就是在思考問題的過程中把握問題的相關性、整體性、動態演化性、綜合性。哥德爾辯證思維表現在他的系統轉換意識中。哥德爾在進行不完全性定理證明中，對映射思想進行了天才地應用。根據一一對應原則，哥德爾建立兩個不同系統的同構性，從而可以通過研究一個相對簡單的系統來研究另一個相對復雜的系統。哥德爾在不完全性定理的證明中利用哥德爾配數法，把算術系統中的符號、公式和公式的序列都以自然數進行編碼，從而把關于符號、公式的問題轉化為自然數函數的理論。隨后，哥德爾又通過遞歸函數的引進證明了所有元數學中關于表達式的結構性質的命題均可在算術系統中得到表示，這樣元理論中的命題和算術系統中的命題實現了一一對應。哥德爾是這樣表述自己的證明思路的:“從形式的觀點看，所謂證明實際上就是公式的一個有限序列。對于元數學來說，究竟用什么東西來作為基本符號當然是沒有關系的。我們不妨就用自然數來作基本符號，如此，一個公式就是一個自然數的有限序列，而一個證明便是一個有限的自然數或其序列的基本概念(命題)，從而即(至少是部分地)在對象系統本身的符號中得到表示，特別是人們可以證明‘公式’、‘證明’、‘可證公式’等都可在對象系統中加以定義。”這種一一對應與系統間的同構轉換思想十分深刻。每一種映射都是一種變換，這種變換的目的是保持某些關系不變。如何通過分析去發現這種映射，這種映射如何揭示不變性的關系，這種映射如何使不變性適用于推理，這些都需要非凡的辯證思維能力和想象力。

簡單性的信念一直在數學家的思維中占據重要的地位，著名的數學家馮·諾伊曼曾指出:“人們要求一個數學定理或數學理論，不僅能用簡單和優美的方法對大量的先天彼此毫無聯系的個別情況加以描述，并進行分類，而且也期望它在‘建筑’結構上‘優美’?！绻评硎侨唛L或復雜的話，那么就應該包含某種簡單的一般原理，用以‘說明’各種復雜和曲折的情況，把明顯的武斷化為少數幾條簡單的指導性的推動因素，等等?！保?］數學家始終追求著更大的抽象性和簡單性。不管是公理化和形式化，還是同構映射反演都反映了這種目的。哥德爾對算術形式系統的分析是從簡化入手的。他力求尋找出各種使復雜事物賴以構成的原始因素。分析時力圖尋找出最基本的指稱，即使用一種語言進行指稱的最簡單的模式的某些例證。哥德爾通過分析尋找到元理論對應的簡化系統即自然數算術系統，這種變換反映了哥德爾對數學世界的簡單性與復雜性的對立統一關系的深入理解［7］。

四、悖論結構的轉換和利用

辯證思維方式是系統性與辯證性的統一。辯證性就是把握事物的對立統一，并對具體問題進行具體分析。哥德爾的辯證思維還表現在對不可判定命題的構造中。“關于這個證明最奇怪的事情之一是，它利用了自指性悖論這些推理所討厭的東西的根本結構，并重塑這些結構來支持自己。”［8］悖論是指邏輯矛盾，悖論對數學發展的影響十分巨大，現代邏輯許多最為深刻的成果，都從分析悖論中產生。悖論的出現常常給數學家帶來消極的情緒，數學家也以消除悖論為己任。

從消除悖論的思路轉到分析并利用悖論的合理結構來證明定理，這是哥德爾思想辯證性的重要表現。撒謊者悖論有著最簡單的形式:“我說的這句話是謊話”。那么這句話是真話還是假話，按形式邏輯推導可知，說它是真話，則它是謊話;說它是謊話，則它本來說自己說的是謊話，因此又成了真話，所以按二值邏輯，無法判定其真假。哥德爾在對象系統內構造了這個悖論語句的類似物。即構造這樣一個命題G，使其元數學的意義為“G是不能證明的”，可以把它記為G'。哥德爾指出，一旦構成了這樣的命題，定理的證明就完成了?？梢杂梅醋C法來證明。如果G是可以證明的，那么G為真，根據一一映射原理又可以得到G'為真，由G'的意義知道G是不能證明的，這樣就推出矛盾，命題就得證。同理可以推出這個命題的否命題也不可證。這樣G正是所需要的不可判定的命題。在證明中哥德爾成功地對悖論的基本思想進行了轉換，但又避免了出現悖論。哥德爾指出:“這一推理過程與里查德悖論的相似之處是顯然的，而且和強化了的撒謊者悖論也有一個很大的相似性。因為那個不可判定的命題［R(g，g)］所斷言的正就是…［R(g，g)］是不可證明的”。對悖論思想的利用可以看出哥德爾非常善于利用否定之否定的思想，吸收事物的合理性因素，在繼承的基礎上創新。

數學家需要哲學?！耙粋€采納某種數學哲學的數學家會從中受益，這包括:一種工作傾向，對其前景的一些洞見，以及對其發展方向——哪類問題是重要的、什么疑問應該被提出、什么方法論是合理的、什么看起來能成功，等等——至少是試驗性的指導。”［8］數學家需要辯證哲學。恩格斯指出“自然研究家盡管可以采取他們所愿意采取的態度，他們還是得受哲學的支配。問題只在于:他們是愿意受某種蹩腳的時髦哲學的支配，還是愿意受某種以認識思維的歷史及其成為基礎的理論思維形式的支配。”［1］哥德爾不完全性定理體現了數學思維的辯證性質。數學家需要辯證思維。數學家辯證思維的獲得，可以通過數學家的數學實踐得到啟示，但這種被動的轉變過程十分緩慢，因而更重要的是，數學家要主動去學習和掌握一些辯證哲學。

［1］馬克思恩格斯選集(第四卷)［M］.北京:人民出版社，1995.

［2］皮亞杰.結構主義［M］.北京:商務印書館，1984:9.

［3］［美］王浩.邏輯之旅——從哥德爾到哲學［M］.杭州:浙江大學出版社，2009:86.

［4］徐利治.數學方法論選講［M］.武漢:華中科技大學出版社，2000:58.

［5］鄭毓信.數學方法論入門［M］.杭州:浙江教育出版社，1985:98－99.

［6］［美］麗貝卡·戈德斯坦.不完備性——哥德爾的證明和悖論［M］.長沙:湖南科學技術出版社，2008:18.

［7］溫邦彥.也談正確理解哥德爾不完全性定理——與陳慕澤先生商榷［J］.重慶工學院學報:社會科學，2009(4).

［8］［美］斯圖爾特·夏皮羅.數學哲學——對數學的思考［M］.上海:復旦大學出版社，2009:16.

G?del Dialectical Thinking and Proof of Incompleteness Theorem

LIN Shi－Fang
(Department of Humanities，Fujian Medical University，Fuzhou 50008，China)

By analyzing the contex and the proven thought process about Godel incompleteness theorem，the four aspects can be revealed from G?del dialectical way of thinking.The four aspects are the concept of mutual subordination，issue evolution，the system structure and system of the same conversion and structural conversion，and use of paradox.

G?del;incompleteness theorem;dialectical thinking

B80－0

A

1674－8425(2011)09－0015－04

2011－02－17

林世芳(1976—)，女，福建周寧人，廈門大學哲學系博士研究生，福建醫科大學人文學院講師，研究方向:科學思想史、科學哲學。

(責任編輯 王烈琦)