換路后兩個連接電容電場能量變化分析

齊 超,王子譽,楊瀚潮,齊 賽

(1.哈爾濱工業大學,黑龍江哈爾濱 150001;2.黑龍江電力職工大學,黑龍江哈爾濱 150030)

0 引言

我們現在討論在如圖1所示的兩個電容相連的情況下,t=0時刻開關閉合,帶電量為Q1的電容器C1與另一帶電量為Q2的電容器C2將并聯。不妨設C1的電壓U1大于C2電壓U2。

并聯之前電容器儲存的靜電能為

開關閉合較長時間后系統穩定,并聯儲存的靜電能為

顯然,系統的靜電能比原來減少了。靜電能損失的值為

由此看似系統能量沒有守恒[1,2]。其原因可以看成是:①由于電容器間導線存在內阻,電荷重新分配過程產生電流,會產生焦耳熱消耗部分能量;②電場的改變要向空間輻射電磁波,能量以電磁輻射的形式消耗。

設電容間的導線電阻為 Rl,等效輻射電阻為Rr,回路的總電阻R=Rl+Rr,電路簡化為如圖2所示的電路。

圖1 兩個連接電容

圖2 考慮兩種損耗的等效電路

1 從串聯暫態電量角度分析

兩邊對t微分得

此零輸入一階微分方程解[3]

換路后電容C1的電量

換路后電容C2的電量

損失的電場能量

可見,其結論和式(3)一致,說明損失的電場能被等效的導線電阻和輻射電阻所消耗。

2 從串聯穩態電壓整體角度分析

如果仔細分析圖2,在有電阻的情況下兩個電容器也可當做串聯。其實,兩個電容不論串聯還是并聯,對結果都不會產生影響。原因在于電容串聯放電到終了時,兩極板的電勢分別相等,相當于短路,與并聯時一致,而能量的變化只與始末態有關,與過程無關。而且上面的分析是根據基爾霍夫電路定律討論的結果,不論串聯還是并聯都可成立。

下面,我們將從串聯穩態電壓角度進行分析。現將兩個電容看做一個串聯整體,等效電容和其電壓分別為

串聯前兩電容的能量為

串聯穩態后對于整體電路相當于零輸入響應,最終電容電壓為零,即能量為

能量損失為

可見結論與式(3)和式(7)一致,我們可將其理解為串聯等效電容CS從電壓US為放電到0時損失的電場能量。

3 從并聯穩態電壓分體角度分析

現若將兩個電容不看做串聯整體,按并聯分開考慮,則有兩個電容的終態電壓U0相等,且滿足電荷守恒。不妨設U1>U2,由電荷守恒,電容C1放電電荷應等于電容C2充電電荷:

得到的并聯穩態電壓為

電容C1損失的能量為

電容C2損失的能量為

總能量損失為

可見,上述結論與式(8)一致。

4 從功率密度角度分析

電磁場理論中,麥克斯韋認為能量是存在于場中的。電容兩個極板上聚集起等量正負電荷時,就會在電容兩端之間建立起電場,也就存儲了能量。單位時間內穿出與能流方向垂直的單位面積上的能量(即功率密度也稱坡印亭矢量)為[4]

圖3 兩個電容功率密度

從換路到放電結束,C1板間圓柱形空間側表面輸出的能量為

將式(4)和式(5)代入上式整理得

將式(4)和式(6)代入上式整理得

將式(10)減去式(11),可得

其結果與式(7)、式(8)及式(9)一致。由此再次說明電容放電過程中發出的能量一部分轉移到充電電容C2中,還有一部分被損失掉。

5 討論

系統損失的電場能量全部轉化為電磁輻射能。

系統損失的電場能量一部分轉化為焦耳熱能,一部分轉化為電磁輻射能。

由此可見,兩個帶電的電容器并聯時損失的靜電能與這兩個電容器串聯時損失的靜電能相等,這反映了靜電場是保守場,靜電能是狀態函數,損失的靜電能只與始末態有關而與中間過程無關。

[1] 程榮龍,楊春蘭.關于電容器連接中能量損失問題的討論[J].滁州:滁州學院學報.2010,12(2):35-36

[2] 祁翔.兩電容器連接時的能量損失初探[J].貴州:貴陽學院學報(自然科學版).2009,4(2):10-12

[3] 陳希有.電路理論基礎(第三版)[M].北京:高等教育出版社.2004

[4] 倪光正.工程電磁場原理(第二版)[M].北京:高等教育出版社.2009