非因果輸入的LTI系統(tǒng)全響應(yīng)求解方法

2011-08-16 01:13:54金欣磊張韻農(nóng)陳紅亮

電氣電子教學學報 2011年4期

任蕾,薄華,金欣磊,張韻農(nóng),陳紅亮

(上海海事大學信息工程學院,上海 200135)

系統(tǒng)全響應(yīng)可以通過分別求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng),通過二者疊加而獲得[1-5]。

而當給定系統(tǒng)非因果輸入、系統(tǒng)初始條件未知的情況時,非因果輸入信號中的反因果分量作用于系統(tǒng),其結(jié)果轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)的初始條件,作用于系統(tǒng)后對應(yīng)零輸入響應(yīng);非因果輸入信號中的因果分量作用于系統(tǒng),其結(jié)果對應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)[6]。因此可無需分別求解零狀態(tài)和零輸入響應(yīng),系統(tǒng)全響應(yīng)可直接求解。

本文從時域、頻域和復頻域三個角度,總結(jié)了已知系統(tǒng)全響應(yīng)信號、初始條件未知情況下,直接求解系統(tǒng)全響應(yīng)的三類主要方法。這三類方法是系統(tǒng)分析問題在不同域的描述形式,三者是統(tǒng)一的。

1 已知非因果輸入直接求解全響應(yīng)

1.1 問題描述

設(shè)線性時不變系統(tǒng)的微分方程為

式中,f(t)是系統(tǒng)非因果輸入信號,即f(t)=f-(t)+f+(t)。其中f+(t)是輸入信號的因果分量,f-(t)是輸入信號的反因果分量,y(t)是系統(tǒng)全響應(yīng)信號。

系統(tǒng)在初始條件下對初始時刻后的輸入在初始時刻后產(chǎn)生的響應(yīng)稱為系統(tǒng)的全響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是系統(tǒng)在初始時刻之前的輸入信號作用的結(jié)果。

1.2 時域分析方法

時域分析方法的思路是利用規(guī)范化方法,首先求解系統(tǒng)沖激響應(yīng),然后利用卷積技術(shù)求解系統(tǒng)全響應(yīng)。

我們利用規(guī)范化方法確定系統(tǒng)的沖激響應(yīng):

其中,hx(t)是對應(yīng)的規(guī)范化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。

利用卷積的概念,系統(tǒng)全響應(yīng)為

1.3 頻域分析方法

由系統(tǒng)微分方程可得系統(tǒng)沖激響應(yīng)對應(yīng)的傅里葉變換為

因此可以求解在整個時間區(qū)間上系統(tǒng)全響應(yīng)為

故系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(t)=ya(t)u(t)。

1.4 復頻域分析方法

由系統(tǒng)微分方程得系統(tǒng)函數(shù)為

利用雙邊拉普拉斯變換得系統(tǒng)于整個時間區(qū)間上的全響應(yīng):

因此,系統(tǒng)全響應(yīng)為y(t)=ya(t)u(t)

1.5 二種方法的對比

可以看出,這三類方法是一個問題在時域、頻域和復頻域的不同表現(xiàn)形式。時域方法求解全響應(yīng),重點是利用系統(tǒng)沖激響應(yīng)的物理意義,統(tǒng)一求解系統(tǒng)零輸入和零狀態(tài),無需再判斷系統(tǒng)的初始條件,卷積后結(jié)果需要取其因果分量;頻域與復頻域方法,均是利用時域卷積定理,首先在變換域中求解全部時間區(qū)間中的全響應(yīng),然后對其做逆變換,同樣需要對該結(jié)果取因果分量。因此,上述三類方法是統(tǒng)一的,是直接求解系統(tǒng)全響應(yīng)問題在不同角度的三種描述。特別需要說明的是,對于復頻域的方法,需要利用雙邊拉普拉斯變換。對于非因果激勵中的直流信號部分,其雙邊拉普拉斯變換需注意。在第三部分例題中將會特別介紹。

當遇到已知系統(tǒng)非因果輸入信號,而系統(tǒng)初始條件未知時,可適當選擇方法,但是無論從時域、頻域或復頻域出發(fā),均可以解決問題。