替代定理在含受控源電路中的應用

周 蕾

(東華大學 信息學院電工電子中心,上海 200051)

0 引言

替代定理是電路分析中應用范圍非常廣泛的定理,它不僅適用于線性電路也適用于非線性電路,常被用來進行電路的化簡,使電路易于分析和計算,也常被用來進行其它的一些定理的證明和推導。

“電路分析”課程教材中在提到替代定理的應用時,一般都有這樣的說明:關于含有受控電源的控制量的支路或網絡由于替代后的控制量不復存在,所以不可以被替代。關于這個問題存在一些不同的看法。主要圍繞在含有受控電源的控制量的支路能否應用替代定理,即能否用電壓源或電流源來替代該支路？是否有必要對替代定理進行補充或修正？對這些問題之前都有過一些討論。可見參考文獻[1-3]。

文獻[1]提出了新替代定理,認為如被替代支路電流IC是其它受控源的控制量,且該支路的電流和電壓為IC和U,則該支路可用獨立電流源IS=IC或受控電壓源US=RIC替代,其中R為該支路的電阻,此時該支路不能用獨立電壓源替代;如被替代支路電壓UC是其它受控源的控制量,且該支路的電流和電壓為I和UC,則該支路可用獨立電壓源US=UC或受控電流源IS=UC/R替代,而該支路不能用獨立電流源替代。

文獻[2]認為教科書對替代定理的應用條件表述得不夠完整,提出“只要在電路改變前后各支路的電壓和電流均是唯一的,并且在替代支路中仍保留了其它支路中受控源的控制量,則原電路的全部電壓和電流就將滿足新電路的全部約束關系,因此也就是后者的唯一解,與k條支路是否為控制量所在支路無關”。

文獻[3]則認為教材所描述的替代定理是完整的,無需加任何修正,替代定理能正確應用的唯一條件是替代后電路應有唯一解。筆者認為文獻[1]的提法值得商榷,而比較贊同文獻[2]和文獻[3]的觀點。關于替代定理能否應用于含有受控電源的電路的問題其實并不復雜,教材中關于受控電源的控制量所在支路能否被替代的說明完全是出于從受控源概念的完整性來考慮的,原因不在替代定理本身而在受控源。如果電路在替代前后具有唯一解,并且能夠在定理應用時注意保持受控源概念的完整性,即保證受控電源及其控制量的存在,那么含有受控源的控制量和受控源的支路照樣可以應用替代定理。而保證受控電源的完整性除了文獻[2]和文獻[3]中提到的保存被替代支路中的控制量外,還可以通過控制量轉移的方法來實現。

1 替代定理及控制量的轉移

《電路》第五版[4]中替代定理的描述上與之前的版本有所不同,將可以用電壓源、電流源替代電路中的某條支路擴大至可以替代一個兩端網絡。其內容敘述如下:在電路中如已求得NA與NB兩個一端口網絡連接端口的電壓up與電流ip,那么就可以用一個uS=up的電壓源或一個iS=ip的電流源來替代其中的一個網絡,而使另一個網絡的內部電壓、電流均維持不變。如圖1所示。

圖1 替代定理

當NA中存在受控電源,而該受控電源的控制量在網絡NB中時,教材指出此時NB被替代后將無法表達這種控制與被控制的關系,這時NB就不可被替代。筆者認為這里說的“NB就不可被替代”,并不是由于替代定理本身的原因,而是從受控電源概念的完整性來考慮的,如果能在NB被電壓源或電流源替代后保留受控電源的控制量,替代定理仍然成立。但這樣的處理在有些情況下可能NB無法用單獨一個電壓源或單獨一個電流源支路來替代。另一種方法是根據NB的電路連接將原受控電源的控制量轉移至NB的端口,用端口電壓up或端口電流ip來表示。因為根據NB中電路的連接總是可以找到原控制量和端口電壓up或端口電流ip之間的關系的,將控制量轉移至端口后,被替代后的電路中受控電源和受控電源的控制量都存在,這時替代定理仍然是成立的。

2 例題分析

在圖2所示的電路中,如虛框所示將電路分成NA和NB兩個兩端網絡。

圖2 電路實例

按通常的分析方法,可寫出電路的節點電壓方程為

求解可得 up=16V,u4=12V,i1=ip=22A,i2=6A,i3=16A。

1)用iS=ip=22A的電流源替代NB

NB是一個含有NA中受控電源控制量的兩端網絡,當用iS==22A 的電流源代替NB后,原NA中的受控電壓源的控制量u4將在電路中消失,受控電源失去了控制量,也就無法體現受控源本來想要反映的電路中的控制與被控制的關系,如圖3(a)所示。這時替代定理似乎無法應用。實際上這時只要能根據被替代網絡內部的電路連接,將控制量轉移至替代支路的端口,將其用端口電壓或端口電流來描述即可。

圖3 用電流源替代NB

由圖2所示電路進行分析可得:u4=up-4,3u4=3(up-4)于是可得圖3(b)所示電路。

此時,受控源和受控源的控制量均在電路中得到體現,可對電路列寫方程:

繼而可得:i1=ip=22A,響應不變。

2)用uS=up=16V電壓源代替NB

用uS=up=16V電壓源代替NB后,出現相同的情況,即受控源的控制量u4消失了。由圖2所示電路分析可知,電路中受控電源的控制量u4與替代支路電流ip之間的關系為

故可得圖4所示電路,由電路可得

ip-3(2ip-32)+16=2 ip=22A,響應仍然不變。

圖4 用電壓源替代NB

3 結語

教材中替代定理的描述是完整的,在被替代前后的電路具有唯一解的情況下,同樣可用于含有受控電源的電路,即受控電源的控制量所在的二端網絡也可被電壓源或電流源替代。具體做法是:當被替代的兩端網絡中含有另一網絡中受控電源的控制量時,可以采用在替代后的電路中保留控制量,或采取將控制量轉移的方法,將控制量轉移至被替代網絡的端口,以保證受控電源概念的完整。

[1] 張美玉,袁桂琴.替代定理的研究[J].南京:電氣電子教學學報,2000年第4期

[2] 湯放奇,譚志揚.也談替代定理[J].南京:電氣電子教學學報,2001年第4期

[3] 張柏順,劉泉.再談替代定理[J].南京:電氣電子教學學報,2003年第6期

[4] 邱關源,羅先覺.電路(第五版[M].北京:高等教育出版社2006年5月