雙機拖動系統的魯棒調節器的設計

楊晉萍,王 路,馮 帆

(1.山西大學工程學院,山西太原 030013;2.太原高新技術產業開發區管理委員會,山西太原 030006;3太原理工大學,山西太原 030024)

一個按預期要求做正常運行的線性系統,由于某種外界擾動,或系統特性不穩定,會影響系統的正常運行。這時,我們需要設計一種調節器,使系統具有閉環系統穩定且有達到輸出調節(無差調節)的性質,并且當系統的參數發生微小擾動時,仍然保持這兩種性質。設計具有這種性質的調節器問題,稱為魯棒調節器問題。對于任何實際系統,經常有外部擾動。要求系統在干擾的作用下,使被調信號能跟蹤給定值信號,從而使系統達到無偏差的調節[1]。

1 雙機系統的狀態方程

我們考慮由兩臺電樞控制的直流電機帶動同一負載的調速系統,假定兩臺電機傳動比都為1,此時兩臺電機與負載的角速度相同,設為 ω。假定兩臺電機的勵磁電流恒定,則雙機的狀態方程為這里 ,我們令,式中,Ce1、分別為兩臺電機的電勢常數。分別為兩臺電機的轉矩常數。J為負載的總轉動慣量(包括電機本身的轉動慣量),B為阻尼系數,為負載轉矩,和為兩臺電機的電樞電路電阻和為兩臺電機的電樞電路電感;

負載力矩可視為外界干擾,即Mz=x21,設它為階躍函數,故其狀態方程為

希望在給定范圍內負載能實現無極調速。設轉速的給定值為階躍函數,其狀態方程為

如果將干擾和給定值都視為外部干擾,則式(2)和式(3)為外部輸入的狀態方程。

我們除了希望轉速調到給定值yr外,還希望在穩定運行時兩臺電機的負載能平均分配,如果Cm1=,就是希望電樞電流相同,即=0。因此,可把和作為輸出和,則輸出方程為

這樣,雙機拖動系統由式(1)～式(4)描述,電機的狀態方程為

外部輸入的狀態方程為

輸出方程:

2 調節器問題的一般形式

由上面例題可知,作為調節問題,裝置的狀態方程描述包括裝置本身的狀態方程、外部輸入狀態方程和輸出方程三部分[2]。

作為調節問題,就是要設計控制器

①閉環系統穩定;

②達到輸出調節(無差調節),即對任意初值x1

今后,將具有上述性質的調節器稱為輸出調節器,簡稱調節器。由裝置狀態方程與控制器所組成的閉環系統的狀態方程,經過簡單計算可化為

xL稱為閉環系統的狀態向量,它所在的空間記為Vx1,易知VxL=Vx1Vxc,Vxc為調節器式(10)所在的狀態空間。

閉環系統(即AL)的特征多項式為

3 魯棒調節器的結構形式

其中b為a(s)的伴隨陣,B為一列向量。

在式(8)和式(9)中,考慮如下形式的控制器:

式中

可見,式(14)是由兩個SE∶式(18)子系統鎮定補償器ST:式(17)和伺服補償器SE∶式(18)所組成。

SE是由p個相同的獨立子系統所組成。每一個子系統的輸入是y的一個分量,其系數陣為外部輸入的最小多項式的伴隨陣。由此可見,魯棒調節器由伺服補償器SE、鎮定補償器ST和控制規律組成。

鎮定補償器和控制規律的作用在于保證閉環系統穩定,鎮定補償器的設計是通常的極點配置。只要系統狀態x可以直接測量,補償器的階數就是零階的;若不能直接測量,則要采用多維觀測器。伺服補償器的作用在于當閉環系統穩定時,使閉環系統達到輸出調節,因為伺服補償器由外部輸入的最小多項式a(s)所確定,這些子系統可以看作是外部輸入模型在調節器中的嵌入,是用來補償外部干擾對系統的影響,從而允許實際系統的參數在鄰域內發生微小變化,此即為內模原理所反映的工程實質。

4 魯棒調節器的設計原理

伺服補償器SE是由外部輸入模型所確定,可用式(18)和式(19)來計算。因此魯棒調節器設計的關鍵在于求出控制規律中的和F以及鎮定補償器ST。

伺服補償器可以看作是串聯在裝置上,這個串聯系統稱為擴張系統,記為。控制規律和鎮定補償器組成擴張系統Se的一個輸出動態反饋補償器。因此就可歸結為設計這種補償器(控制規律和鎮定補償器),使閉環系統穩定,且有滿意的動態響應的問題。

在設計之前,先研究它的能控能觀性,擴張系統Se的狀態方程為

[定理1]擴張系統式(22)和式(23)能控能觀(能穩能檢測)的充分必要條件為對任意λ∈ σ(A2),有

在前述的基本假設條件下,對于系統式(5)、式(6)、式(7),如果式(24)成立,則存在魯棒調節器。還可看出,如果系統是能控能觀的,則存在魯棒調節器,使閉環系統的極點能任意配置。

對擴張系統設計輸出動態反饋補償器,這個補償器即為鎮定補償器和控制規律。

利用動態反饋極點配置的方法,選擇K1和K2,使式(30)在狀態反饋下式的作用下:

閉環系統具有滿意的動態響應。

如設計一個全階觀測器

此鎮定補償器為式(26),控制規律為式(27),如圖1所示。

圖1 魯棒調節器

將式(27)代入式(26)中,消去u,得到式(17)形式的鎮定補償器,閉環系統的極點為

5 雙機拖動系統魯棒調節器的設計

現針對雙機拖動的調速系統,設計一個魯棒調節器(圖1)。

(1)設計伺服補償器,其外部輸入模型為

其最小多項式為a(S)=S,因而b=0,B=1,由式(18)可知伺服補償器為

(2)設計擴張系統的狀態反饋

由式(5)、式(6)、式(7)和式(30)式可知擴張系統為

求如式(31)所示的狀態反饋為

使式(32)和式(33)在式(34)作用下,閉環系統有滿意的極點。

(3)設計鎮定補償器。假設x2=0,雙機拖動的調速系統的狀態方程為式(32),輸出方程為

針對系統式(32)和式(35),設計一個全階觀測器式(26),并將式(34)代入整理得

選擇G得使式(36)有滿意的極點。式(36)即為所求的鎮定補償器。

(5)確定魯棒調節器。所求魯棒調節器由式(36)、式(30)和式(34)組成。

6 結語

如果受控系統的參數,即系統矩陣 A、B和C等元素有某些變化,從而導致補償的不完全,使得擾動補償和靜態無差不能實現,需要改進;而且閉環系統特征多項式的系數在參數附近變化時,的特征根也在變化,但希望仍在復平面的左半平面內,達到閉環系統漸近穩定。為了達到系統穩定和無差調節,必須對受控系統進行魯棒調節器的設計。本文就以雙機拖動調速系統的魯棒調節器的設計為例加以闡明,供讀者參考。

[1] 涂奉生,董達生等編著.多變量線性控制系統[M].北京:煤炭工業出版社,1988。

[2] 涂奉生,齊寅峰編著.多變量線性控制系統分析與設計[M].北京:化學工業出版社,1989。