疊層板狀結構的非線性振動特性分析★

付 超

0 引言

工程實際中存在著大量的流固耦合振動現(xiàn)象，是設計和應用時必須考慮的重要因素。流固耦合力學的重要特征就是固—液兩相介質之間的交互作用，并通過其耦合面的變形和協(xié)調關系體現(xiàn)于控制方程中。

1 模型的建立

核反應堆中的疊層板元件是由多層薄窄板疊合而成，相鄰板間一般僅有毫米級的間隙供冷卻劑流過。本文采用一個置于剛性矩形槽的兩端簡支板狀結構模型進行模擬，并在板的中間位置設置彈簧支承。如圖1所示，板只在xoz平面內振動。

流體以平均流速U0，從A端流入，B端流出。并假設:

2)各板在流場中自由振動時橫向振型完全相同;

3)流體為x和z方向流動的二維不可壓縮無粘性流體。

2 理論分析

若假定各板具有相同的相位和振幅，根據(jù)經(jīng)典小薄板彈性理論可得到流體動壓力的表達式:

其中，EI為單塊板的抗彎剛度;y為板的橫向位移;m為單位面積上板的質量;p為板上、下表面的壓力差。

考慮勢流理論，流致振動的運動方程可表示為:

其中，Mc為流道內流體單位長度的質量;U為流體沿疊層板狀結構長度方向的流速。

將式(2)代入式(1)，流致振動控制方程可表示為:

受振蕩流的影響，假定速度U為:

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其中，ε為微小量;v為頻率參數(shù)。

在板的中間支承處添加彈簧支承，并考慮阻尼系數(shù)的影響，則板狀結構的流致振動控制方程為:

其中，EI為板的抗彎剛度;m為板的單位長度質量;c0為結構阻尼系數(shù);δ為DIRAC函數(shù);K0為彈簧的線性剛度系數(shù);K1為非線性剛度系數(shù);y為板的共同振幅。運用RITZ-GALERKIN離散化方法，將式(5)離散化，可假設:

其中，φj(x)=Asin(jЛ/L)

考慮模態(tài)的對稱與反對稱性，取兩個自由度，即N=2。將式(6)代入式(5)，再利用主振型的正交性，在方程兩邊同時乘以φj(x)=Asin(jЛ/L)，j=1，2，并沿板長取(0，L)進行積分，將式(4)代入方程，整理得到:

其中，d1=m+Mc;c1=c0/d1;d2=16McU/(3Ld1);d3=EIЛ4/(L4d1);K2=2K1/(Ld1);d4=McU20Л2/(L2d1)。當結構阻尼和剛度系數(shù)較小時，可設:c1=ε×c，K2=ε×K3。

根據(jù)多尺度理論方法，首先假設考慮基本參數(shù)共振:

其中，σ為調諧參數(shù)，只取一階近似值。令T0=t，T1=εt，并同時引進算子:

將式(8)～式(11)的關系方程代入式(7)，整理并消去違背保守系統(tǒng)機械能守恒的物理定律的永年項后，得到自治微分方程:

由式(12)可見，非線性剛度項沒有直接作用在振幅上，而是通過相位間接影響振幅。另若假定a=ψ1=b=ψ2=0，可得其一階振幅的定常解為:

式(13)中由于幅值必須是一個大于零的實數(shù)，只需考慮振幅a滿足條件，即要求 d24≥c2ω21。即:ε≥c1ω1/d4，并且得到式(13)的非零解:

令E=εσ1=v/2－ω1，E為一階振動的頻率差，表示激勵頻率的1/2與線性頻率的差。則式(13)變?yōu)?

由式(14)可知，當a=0時，得:

另外，由式(15)可看出，當系統(tǒng)共振時，即各階模態(tài)不存在相位差(E=0)時，振幅a與微量ε和參數(shù)d4成正比，與頻率參數(shù)v和參數(shù) c1成反比，其中 d4=Mc2/(L2d1)，c1=c0/(m+Mc);若取Mc/(m+Mc)為質量比，則振幅a還與質量比、流速U0成正比關系，而與阻尼系數(shù)c0、板長L成反比;且振幅隨相位差E的增大而不斷增大。

3 結語

1)利用多尺度的分析方法，發(fā)現(xiàn)非線性剛度對振幅的影響，體現(xiàn)為通過相位間接的影響振幅。

2)系統(tǒng)共振時，即各階模態(tài)間不存在相位差(E=0)時;振幅a與微量ε、參數(shù)d4、質量比和流速U0成正比，而與頻率參數(shù)v和參數(shù)c1、阻尼系數(shù)c0以及板長L成反比;且振幅a隨相位差E的增大而不斷增加。

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