基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計——記一堂《基本不等式》公開課

215400 江蘇省太倉高級中學(xué) 張 敏

基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計
——記一堂《基本不等式》公開課

215400 江蘇省太倉高級中學(xué) 張 敏

1 何謂APOS理論?

APOS理論是由美國數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基(EdDubinsky)在20世紀(jì)80年代提出的一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的新理論，是一種具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，被譽為近年來數(shù)學(xué)教育界最大的理論成果之一.它分別是由英文action(操作)、process(過程)、object(對象)和schema(圖式)的第一個字母所組合而成.這種理論認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念必須要進(jìn)行心理建構(gòu)，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷四個階段：

(1)活動階段：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，操作運算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為.學(xué)生與數(shù)學(xué)家一樣，要親自投入，通過實際經(jīng)驗來獲得知識.

(2)過程階段：不斷重復(fù)這種操作，學(xué)生從中得到不斷反思，于是就會在大腦中進(jìn)行一種內(nèi)部的心理建構(gòu)，即形成一種過程模式.這種過程模式使得操作呈現(xiàn)出自動化的表現(xiàn)形式，而不再借助于外部的不斷刺激.

(3)對象階段：當(dāng)學(xué)生意識到可以把這個過程看作是一個整體，并意識到可以對這個整體進(jìn)行轉(zhuǎn)換和操作的時候，其實已經(jīng)把這個過程作為一個一般的數(shù)學(xué)對象，形成一個“實體”.這時不但可以具體地去指明它所具有的各種性質(zhì)，也可以此為對象具體地去實施各種特定的數(shù)學(xué)演算.

(4)圖式階段：個體對操作、過程、對象以及他自己頭腦中的原有的相關(guān)方面的問題圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精選就會產(chǎn)生出新的問題圖式，這種圖式的作用和特點就是可以決定某些問題或某類問題是否屬于這個圖式，從而就會作出不同的反應(yīng).顯然，個體的思維和認(rèn)識狀況在這種持續(xù)建構(gòu)中已經(jīng)上升到更高的層次.即對有關(guān)概念進(jìn)行了更高層次的加工和心理表征.

2 APOS理論下的基本不等式教學(xué)策略

2.1 基于APOS理論的基本不等式的教學(xué)策略

教材中，對基本不等式內(nèi)容的編排符合APOS理論對于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的心理建構(gòu)過程，因此運用此理論能設(shè)計出更好的基本不等式教學(xué)策略.下面以基本不等式的教學(xué)為例.

最后一環(huán)節(jié)“圖式”階段.盡管大量的習(xí)題對學(xué)生鞏固基本不等式是有效的，但不可效仿傳統(tǒng)的“題海式”，而應(yīng)考慮例題的特點，以生活中的實例(回到開始天平稱物重的實例)，讓學(xué)生從具體到抽象進(jìn)一步體會運用基本不等式解決函數(shù)的最值問題及不等式的證明問題，通過對基本不等式的多種幾何解釋，完成最后的圖式階段，從另一個角度加深對基本不等式的認(rèn)識.

2.2 基于APOS理論的基本不等式的教案

基本不等式在高中數(shù)學(xué)中的重要性不僅在于它的概念理解，還體現(xiàn)在利用基本不等式解決函數(shù)的最值問題和不等式的證明問題.根據(jù)筆者對APOS理論的理解設(shè)計出以下基本不等式的教學(xué)方案.

第一階段：觀察與操作(活動階段)——表現(xiàn)活動為主的感性認(rèn)識

問題1 用一個天平稱一件物品，如何操作方能合理的表示物體的重量?

生1：把砝碼放在一邊，物體放在另一邊就行了!

生2：不對，天平可能不等臂，為此要左右各秤一次，將兩次所稱重量a，b相加后除以2就可以了.

師：生2的做法合理嗎?請大家討論，給出理由!

生3：不合理，生2這樣的做法仍然存在偏差，根據(jù)物理學(xué)科的杠桿原理，在生2的基礎(chǔ)上可求出物體的真實重量，應(yīng)該為

第二階段：綜合分析(過程階段)——思維活動為主的理性思考

師：理由呢?

師：非常好，能自我修正!那么在數(shù)學(xué)中，驗證能替代證明嗎?有沒有更加嚴(yán)格的論證方法呢?

問題2 上述不等式成立嗎?請說明理由!

學(xué)生活動，小組討論部分：

師：這就是證明不等式的基本方法之一：作差法.這種證法大家很容易發(fā)現(xiàn).

問題3 如何理解“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義?

生6：就是兩者等價的意思!

師：說得能否再明白點呢?

師：這種證法的特點是怎樣的呢?

生7：從結(jié)果出發(fā)，一步一步倒推到已知的結(jié)論(或條件)!

師：這種“執(zhí)果索因”的證明方法稱為“分析法”.其書寫格式必須是：(1)要證，即證(或用?表示即證)(2)上述各步均可逆

生8：我將上面的證法“倒過來”寫，即

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.)

這種證法顯然與分析法過程恰恰相反，是由已知結(jié)論(或條件)出發(fā)，一步一步推導(dǎo)結(jié)果.

師：這種由因索果的證明方法稱之為“綜合法”.

教師點評

①比較法(比差、比商法)、分析法、綜合法是證明不等式的基本方法.

②強(qiáng)調(diào)“當(dāng)且僅當(dāng)”的重要作用;

③比較上述兩個不等式的特征(強(qiáng)調(diào)它們的限制條件，并舉反例加以說明).

設(shè)計意圖 學(xué)生在頭腦中對反復(fù)的不等式的證明活動作出嘗試，并不斷進(jìn)行分析、反思，通過思維的內(nèi)化、整合與壓縮，形成過程模式，抽象出基本不等式的概念，即“活動”內(nèi)化為“過程”.此時個體能夠?qū)静坏仁降母拍钸M(jìn)行一般化，認(rèn)識其實質(zhì)，由此對概念的認(rèn)識從感性上升到理性，從而為第三階段形成概念做好鋪墊.

問題6 學(xué)習(xí)了基本不等式，可以有何用途呢?

生11：可以用基本不等式來證明不等式.

例如，設(shè)a，b為正數(shù)，證明下列不等式成立：

問題4 你能用準(zhǔn)確的文字語言表述基本不等式嗎?

生9：兩個正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù).

問題5 我們能否將基本不等式的條件進(jìn)一步完善呢?

生10：我發(fā)現(xiàn)當(dāng) a=0，b＞0 或 b=0，a＞0 或 a=b=0時，不等式同樣成立，所以我們把不等式

問題7 (2)在結(jié)論成立的基礎(chǔ)上，條件“a＞0，b＞0”可以變化嗎?

設(shè)計意圖 在APOS理論中達(dá)到對象階段，把a和b看成一個整體，對其進(jìn)行分析.著重體現(xiàn)運用基本不等式的條件(非負(fù)實數(shù))和定值(和定積最大，積定和最小).

在學(xué)生完成求解過程后，引發(fā)大家思考：問題8 我們能否對這個例題進(jìn)行一定的變形呢?生12：可以! 已知 x＜0，當(dāng) x取什么值時，x+的值最大?最大值是多少?

生13：也可以這樣變!已知x＞1，當(dāng)x取什么值時，x+的值最小?最小值是多少?

生14：也可以這樣變!已知x≥2，當(dāng)x取什么值時，x+的值最小?最小值是多少?

師：非常好!我們不妨分組來解決大家提出的問題!

設(shè)計意圖 通過學(xué)生互動，感受利用基本不等式來求解函數(shù)的最值問題，需要注意的有三點：一正二定三相等.在教學(xué)實踐中，教師要充分利用實際問題、變式問題、開放問題以及學(xué)生自己的反例等具有啟發(fā)性和探索性的問題，組織生動有趣的操作活動，將概念作為一個已知對象應(yīng)用到它生存的土壤和背景中，并把它作為一個工具、一個新的對象來對待，力求從不同角度來加深學(xué)生對概念的認(rèn)識，豐富學(xué)生對概念的理解，促進(jìn)學(xué)生對概念的建構(gòu).

第四階段：形成圖式(圖式階段)——辨析與反思

問題9 我們學(xué)習(xí)了基本不等式及其簡單的應(yīng)用，那么我們能否換個角度來欣賞基本不等式呢?比如通過形的角度來解釋此不等式呢?

大家開始討論，各小組內(nèi)成員均發(fā)表自己的見解!

生16：在圖1中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a，BC=b.過點C作垂直于AB的弦DD'，連接 AD，BD，OD.那么 DO=，DC=，通過圖形我們發(fā)現(xiàn)半徑不小于半弦.因此利用這個圖形得到了基本不等式的幾何解釋.

圖1

圖2

師：很好!剛才的這個圖標(biāo)是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會，它是最高水平的全球性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)術(shù)會議，被譽為數(shù)學(xué)界的“奧運會”.這就是本屆大會會徽的圖案.這個圖案是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的“趙爽弦圖”.

點評 從形的角度來看，基本不等式具有特定的幾何意義;從數(shù)的角度來看，基本不等式揭示了“和”與“積”這兩種結(jié)構(gòu)間的不等關(guān)系.

設(shè)計意圖 通過圖形的認(rèn)識，加深學(xué)生對重要不等式的認(rèn)識和理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法和對比的數(shù)學(xué)思想，多方面思考問題的能力.完成最后圖式階段，使學(xué)生從數(shù)和形兩方面掌握完整的基本不等式的內(nèi)涵和其他概念的區(qū)別和聯(lián)系，并能在解決問題時創(chuàng)設(shè)與概念相關(guān)的問題情境.

3 教學(xué)感悟

上述案例，按照這一理念，圍繞著“活動”、“過程”、“對象”和“圖式”四個階段實施概念教學(xué)，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進(jìn)，牽引并支持著學(xué)生在自己的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)本質(zhì)之間不斷對話，在連續(xù)性地回顧與反思過程中提升、擴(kuò)充學(xué)生的經(jīng)驗、認(rèn)識，深化對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，使學(xué)生明確了：

(1)概念的發(fā)生、發(fā)展過程及其產(chǎn)生的背景;

(2)概念中有哪些規(guī)定和限制條件，它們與以前學(xué)過的哪些知識有著怎樣的聯(lián)系;

(3)概念的名稱和表示方法有何特點;

(4)概念有沒有等價的敘述;

(5)運用概念能解決哪些數(shù)學(xué)問題.

從而實現(xiàn)了真正意義上的概念建構(gòu)，取得了較好的教學(xué)效果.

但運用APOS理論指導(dǎo)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)時需要注意以下幾點.

(1)數(shù)學(xué)概念的建立應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則，不能一蹴而就.這就需要經(jīng)過多次反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解.同時APOS理論的四個階段并非一定體現(xiàn)在一堂數(shù)學(xué)課當(dāng)中，也不是每一課都必須遍歷四個階段，它適用于數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的一段時期，并不局限于某一堂課.

(2)A-P-O-S四階段是一個相對連續(xù)的過程.四個階段也可認(rèn)為代表著概念在學(xué)生腦海中建立起來的四個必經(jīng)路段，并且他們是相對連續(xù)的過程.如果忽略P階段直接由A階段跳躍到O階段，或是跨越O階段直至S階段都是不現(xiàn)實的.概念在學(xué)生大腦建立期間，任一階段都是不可缺少的.或缺其中任一階段建立起來的數(shù)學(xué)概念要么現(xiàn)實根基不牢，要么缺乏抽象、提升或是成熟應(yīng)用.

(3)不能將APOS絕對化，實際操作時，往往“活動”與“思考”可以穿插進(jìn)行，活動中有思考，思考中有活動;“對象”與“圖式”也可以穿插進(jìn)行，兩個階段可以交替螺旋式進(jìn)行.

總之，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的一項重要內(nèi)容，如何教好數(shù)學(xué)概念，怎樣的概念教學(xué)更有效?這是實施新課程教學(xué)的一個極其重要的課題，也是我們數(shù)學(xué)教師的一個永恒的話題，值得我們在教學(xué)實踐中認(rèn)真研究，積極探索和不斷反思.盡管APOS為我們提供了數(shù)學(xué)概念教學(xué)的模式，但也需要根據(jù)實際情況理智、審慎而科學(xué)的運用.

1 張奠宙，李俊.數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論.北京：高等教育出版社，2003，4

2 張偉平.基于APOS理論的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2006，2

3 鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育.上海教育出版社，1998

4 陳曦.于活動中生成，從過程中體驗，在操作中建構(gòu)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)2010，5

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